第4章 4 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

1．已知幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则f(x)的单调递增区间是(　　)

A．(0，＋∞)    B．[0，＋∞)

C.(－∞，0)    D．(－∞，＋∞)

解析：选D.设幂函数f(x)＝xα，α为实数，因为f(x)的图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3，可得f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).

2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)

A.y＝x-2    B．y＝x-1

C.y＝x2    D．y＝x

解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y＝x-2和y＝x2是偶函数，y＝x-1和y＝x不是偶函数，故排除选项B，D；又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，故选项C不符合题意，y＝x-2在区间(0，＋∞)上单调递减，故选项A符合题意．

3．给出下面四个条件，幂函数y＝f(x)一定满足的条件为(　　)

A.f(m＋n)＝f(m)＋f(n)

B.f(m＋n)＝f(m)·f(n)

C.f(mn)＝f(m)·f(n)

D.f(mn)＝f(m)＋f(n)

解析：选C.设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，A，B，D不一定成立．故选C.

4．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)

A.n＜m＜0    B．m＜n＜0

C.n＞m＞0    D．m＞n＞0

解析：选A.由题图可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.

5．下列命题正确的是(　　)

A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过(0，0)和(1，1)点

C.幂函数y＝x-2的定义域为[0，＋∞)

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

解析：选D.对于A，当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线除去(0，1)点，故A错误；对于B，幂函数的图象都经过(1，1)点，当指数大于0时，都经过(0，0)点，当指数小于0时，不经过(0，0)点，故B错误；对于C，函数y＝x-2＝，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故C错误；对于D，由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故D正确．故选D.

6．(多选)已知幂函数f(x)＝x，则下列结论正确的有(　　)

A.f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)

B.f(x)的值域是(0，＋∞)

C.f(x)的图象只在第一象限

D.f(x)是奇函数

解析：选BC.对于A，f(x)的定义域是(0，＋∞)，故A不正确；对于B，f(x)的值域是(0，＋∞)，故B正确；对于C，f(x)的图象只在第一象限，故C正确；对于D，f(x)是非奇非偶函数，故D不正确．

7．已知函数y＝ax-2＋3(a＞0且a≠1)过定点P，且P点在幂函数f(x)的图象上，则f(3)的值为________．

解析：由y＝ax-2＋3知，函数过定点P(2，4)，设f(x)＝xn，则2n＝4，即n＝2，所以f(x)＝x2，故f(3)＝9.

答案：9

8．写出一个同时具有下列三个性质的函数：f(x)＝________．

①f(x)为幂函数；②f(x)为偶函数；③f(x)在(－∞，0)上单调递减．

解析：由幂函数y＝xa，当函数图象在第一、二象限时就满足题意，因此f(x)＝x2，或f(x)＝x4，f(x)＝x等．

答案：x2(或x4，x，答案不唯一)

9．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c从小到大的顺序是__________．(用“<”连接)

解析：由a＝，b＝，可利用幂函数的性质，得a＞b，可由指数函数的单调性得c＞a，所以b＜a＜c.

答案：b＜a＜c

10．(13分)已知幂函数f(x)＝x9-3m(m∈N＋)的图象关于原点对称，且在R上是增函数．

(1)求f(x)的解析式；(6分)

(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)＜0的实数a的取值范围．(7分)

解：(1)由幂函数f(x)＝x9-3m(m∈N＋)的图象关于原点对称，且在R上是增函数，可得9－3m＞0，

解得m＜3，又m∈N＋，可得m＝1或m＝2，

若m＝1，则f(x)＝x6，图象不关于原点对称，舍去；

若m＝2，则f(x)＝x3，图象关于原点对称，且在R上是增函数，成立．则f(x)＝x3.

(2)由(1)可得f(x)是奇函数，且在R上是增函数，

由f(a＋1)＋f(3a－4)＜0，

可得f(a＋1)＜－f(3a－4)＝f(4－3a)，