第4章 5 增长速度的比较-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

4．5　增长速度的比较

一　平均变化率

[知识梳理]

我们已经知道，函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为

＝．

也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．

[例1] (1)在x＝1附近，取Δx＝0.3，下列四个函数中，平均变化率最大的是(　　)

A．y＝x    B．y＝x2

C．y＝x3    D．y＝

(2)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为____________．(用“>”连接)

【解析】　(1)当Δx＝0.3时，y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝＝2＋Δx＝2＋0.3＝2.3；y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3＋3×0.3＋0.32＝3.99；y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝＝－＝－，所以平均变化率最大的函数是y＝x3.

(2)v1＝＝kOA，v2＝＝kAB，v3＝＝kBC，又因为kBC＞kAB＞kOA，所以v3＞v2＞v1.

【答案】　(1)C　(2)v3＞v2＞v1

　

求平均变化率的主要步骤

(1)求Δf＝f(x2)－f(x1)；

(2)求Δx＝x2－x1；

(3)求平均变化率＝.

[跟踪训练1] (1)已知函数f(x)＝x2在x0与x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx与x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)

A.k1＜k2    B．k1＞k2

C．k1＝k2    D．与Δx有关

解析：选D.k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小与Δx有关．

(2)已知物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率

B．在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率

C．在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率

D．在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率

解析：选C.设甲、乙的平均速率分别为v甲，v乙，由题图知，在0到t0范围内v甲＝v乙＝，所以A，B错误；在t0到t1范围内，v甲＝，v乙＝.

因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，

所以v甲＞v乙，所以C正确，D错误．

二　三种常见函数模型的增长差异

思考1　把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一平面直角坐标系中，这三个函数在区间(0，＋∞)内的单调性是怎样的？

提示：都是单调递增的．

思考2　当x趋于正无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度最