第4章 §4.6 函数的应用（二）（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

学习目标　1.能利用已知函数模型求解实际问题.(重点)2.建立函数模型解决实际问题.(难点)3.实际问题中的函数模型选择问题.

导语

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？

问题　应用函数模型解决问题的基本过程是什么？

提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.

(4)还原——将数学结论还原为实际问题.

知识梳理　常见的几种函数模型

一、应用已知函数模型解决实际问题

例1　声强级LI(单位：dB)由公式LI=klg I+b给出，其中I为声强(单位：W/m2)，k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，此时声强级为120 dB；平时人交谈时的声强约为10-6 W/m2，此时声强级为60 dB.

(1)求k，b的值；

(2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90 dB至115 dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为10-2 W/m2，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？

解　(1)由题意知

解得

(2)由(1)得LI=10lg I+120，将I=10-2代入，

得LI=10lg 10-2+120=100∈[90，115]，

所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性.

反思感悟　利用已知函数模型解决实际问题

(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；

(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；

(3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.

跟踪训练1　Logit模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区流行感冒累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logit模型：I(t)=，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.9K时，标志着已初步得到遏制，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)(　　)

A.60 B.62 C.66 D.69

答案　B

解析　∵I(t*)==0.9K，

∴1+==，

则-0.24(t*-53)=ln=-ln 9≈-2.2，

解得t*≈62.

二、建立函数模型解决实际问题

例2　某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间.

(1)求x的值；

(2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？

解　(1)由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1)，

则a(1-x)10=a，即(1-x)10=，

解得x=1-.

(2)设从今年开始，还需治理n年，

则n年后剩余面积为a(1-x)n，

令a(1-x)n≤a，即(1-x)n≤，

≤≥，解得n≥15，

故至少还需治理15年.

反思感悟　与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

跟踪训练2　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)

A.2023年 B.2024年

C.2025年 D.2026年

答案　B

解析　设x年后研发资金开始超过200万元，

所以130(1+12%)x>200，

所以1.12x>，所以x>log1.12，

所以x>，所以x>3.8，

故2024年研发资金开始超过200万元.