第4章 4 幂函数-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）
4．4 幂函数
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大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直至17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势． 1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子，此后由英国数学家渥里斯(Wallis 1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了． | 1.了解幂函数的概念． 2．掌握y＝xα(α＝－1， 3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题． |
思考1 符合怎样特征的函数是幂函数？
提示：幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数x是自变量，指数α为常数；③只有一项．
思考2 幂函数与指数函数有什么区别？
提示：幂函数的底数是自变量x，指数是常数；而指数函数的底数是常数，而指数是自变量x.
[知识梳理]
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
[例1] (1)(多选)下列函数为幂函数的是( )
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A.y＝x3 B．y＝
C．y＝4x2 D．y＝x
(2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，则m＝________，n＝________．
【解析】 (1)B项为指数函数；C中的函数的系数不为1；A，D为幂函数．
(2)由题意得
解得
或
所以m＝－3或1，n＝
.
【答案】 (1)AD (2)－3或1
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[跟踪训练1] (1)已知f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，则a＋b＝( )
A．2 B．1
C．
D．0
解析：选A.因为f(x)＝ax2a+1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足
＝3，则f的值为( )
A．－3 B．－
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C．3 D．
解析：选D.设f(x)＝xα(α为常数)，
因为＝3，所以
＝2α＝3，即α＝log23，
所以f(x)＝xlog23，则f＝2－log23＝.
[知识梳理]
1．五个幂函数的性质
幂函数 | y＝x | y＝x2 | y＝x3 | y＝x | y＝x-1 |
定义域 | R | R | R | [0，＋∞) | (－∞，0)∪(0，＋∞) |
值域 | R | [0，＋∞) | R | [0，＋∞) | {y|y∈R且y≠0} |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 非奇非偶函数 | 奇函数 |
单调性 | 增函数 | 当x∈[0，＋∞)时，单调递增； 当x∈(－∞，0]时，单调递减 | 增 函数 | 增 函数 | 当x∈(0，＋∞)时，单调递减； 当x∈(－∞，0)时，单调递减 |
公共点 | 经过点(1，1) | ||||
2．五个常见幂函数的图象
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