4.5 增长速度的比较-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

4.5　 增长速度的比较 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.结合现实情境中的具体问题，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异. 2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：=. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)平均变化率的几何意义： 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点，函数y=f(x)的平均变化率==为割线AB的斜率，如图所示. |微|点|助|解| 　　Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx=x2-x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负. 2.三种常见函数 模型的增长差异 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0，+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 基础落实训练 1.已知函数y=f(x)=x2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为 (　　) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 解析：选B　Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=2.12+1-(22+1)=0.41. 2.函数y=2x在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为 (　　) A.x0+Δx B.1+Δx C.2+Δx D.2 解析：选D　由题意，可得平均变化率==2. 3.下列函数中，增长速度最快的是 (　　) A.y=1.1x B.y=2 025x2 C.y=log2 025x D.y=2 025x 解析：选A　y=1.1x为指数函数，y=2 025x2为二次函数，y=log2 025x是对数函数，y=2 025x是一次函数，因为当x足够大时，指数函数增长速度最快，所以A正确. 题型(一)　平均变化率的计算与比较 [例1]　计算函数y=log3x在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律. 解：因为=， 所以y=log3x在区间[1，2]上的平均变化率为=log32. 在区间[2，3]上的平均变化率为=log3，因为函数y=log3x在区间[1，2]与[2，3]上均是增函数， 又log32>log3， 所以函数值y增加的速度越来越慢. |思|维|建|模| 平均变化率比较大小的方法 (1)先求平均变化率=. (2)对平均变化率化简后比较大小，在区间长度不变的条件下，平均变化率变大，说明函数增长变化也越快. [针对训练] 1.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1，在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是 (　　) A.k1<k2　 B.k1>k2　 C.k1=k2　 D.无法确定 解析：选D　因为k1==2x0+Δx，k2==2x0-Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定. 题型(二)　函数增长速度的比较 [例2]　已知a>1，则下列命题正确的是 (　　) A.∃x0，∀x>x0，有ax>xa>logax成立 B.∃x0，∀x>x0，有ax>logax>xa成立 C.∃x0，∀x>x0，有xa>ax>logax成立 D.∃x0，∀x>x0，有xa>logax>ax成立 解析：选A　因为a>1，所以函数y=ax，y=xa，y=logax均为单调递增函数. 而且各类函数的增长速度为指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数. 所以∃x0，∀x>x0，有ax>xa>logax成立. |思|维|建|模| 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，可称为“对数增长”. 　　[针对训练] 2.“红豆生南国，春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是 (　　) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 解析：选A　根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A. 3.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表，则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 (　　) x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2 解析：选C　由题表可知，y2随着x的增大而迅速的增大，是指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，是幂函数型的变化，故选C. 题型(三)　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [例3]　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 025)，g(2 025)的大小. 解：(1)C1对应的函数为g(x)=x3，C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2 025>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6).当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 025)>g(2 025).又g(2 025)>g(6)，所以f(2 025)>g(2 025)>g(6)>f(6). 　　|思|维|建|模|　比较函数增长情况的方法 解析法 直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢 表格法 通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异 图象法 在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这三个函数增长速度的差异 　　 [针对训练] 4.函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解：(1)由函数图象特征及变化趋势， 知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1， 曲线C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，+∞)时，g(x)>f(x). g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢. 学科网（北京）股份有限公司 $