4.4 幂函数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

4.4　幂函数 [课时跟踪检测] 1.幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)，则f等于 (　　) A. B. C.- D.2 解析：选B　幂函数f(x)=xα的图象经过点(2，4)， 则2α=4，解得α=2.∴f(x)=x2，∴f==. 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的函数是 (　　) A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2 D.y= 解析：选A　所给选项都是幂函数，其中y=x-2和y=x2是偶函数，y=x-1和y=不是偶函数，故排除选项B、D.又y=x2在区间(0，+∞)上单调递增，不符合题意，y=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，符合题意. 3.函数y=的图象是 (　　) 解析：选B　因为当x>1时，x>；当x=1时，x=，所以A、C、D均不正确，故选B. 4.已知f(x)=，若0<a<b<1，则下列各式正确的是 (　　) A.f(a)<f(b)<f<f B.f<f<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f<f D.f<f(a)<f<f(b) 解析：选C　因为函数f(x)=在(0，+∞)上是增函数，又0<a<b<1<<， 故f(a)<f(b)<f<f. 5.(2023·天津高考)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析：选D　法一：因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；因为函数g(x)=0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60=1，即c<1.综上，b>a>c.故选D. 法二：因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)=x0.5在(0，+∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. 6.在同一坐标系内，函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是 (　　) 解析：选C　当a<0时，函数y=ax-是减函数，且与y轴交点的纵坐标为->0，y=xa在(0，+∞)上是减函数，B、D均错误；对于A、C，若a>0，则y=ax-是增函数，y=xa在(0，+∞)上是增函数，A错误，C正确. 7.(多选)下列不等式在a<b<0的条件下能成立的是 (　　) A.a-1>b-1 B.< C.b2<a2 D.> 解析：选ABC　分别构造函数y=x-1，y=，y=x2，y=，其中函数y=x-1，y=x2在(-∞，0)上为减函数，故A、C成立. 而y=，y=为(-∞，0)上的增函数，从而B成立，D不成立. 8.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数，且其图象过点(2，4)，则函数g(x)=loga(x+m)的单调递增区间为 (　　) A.(-2，+∞) B.(1，+∞) C.(-1，+∞) D.(2，+∞) 解析：选B　由题意得m+2=1，解得m=-1， 则f(x)=xa，将(2，4)代入函数的解析式，得 2a=4，解得a=2.故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1)，令x-1>0，解得x>1，故g(x)在(1，+∞)上单调递增. 9.(5分)已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如表： x 1 f(x) 1 则f(x)的单调递增区间是　　　　.  解析：因为f=，所以=， 即α=， 所以f(x)=的单调递增区间是[0，+∞). 答案：[0，+∞) 10.(5分)已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象经过点(8，4)，则不等式f(6x+3)≤9的解集为　　　　.  解析：由题意知8α=4，故α=log84=，由于f(x)==为R上的偶函数且在(0，+∞)上单调递增，故f(6x+3)≤9，即f(6x+3)≤f(27)，所以|6x+3|≤27，解得-5≤x≤4. 答案：[-5，4] 11.(5分)幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么αβ等于　　　　.  解析：由题意，得M，N，可得==，即α=lo，β=lo.所以αβ=lo·lo=·=1. 答案：1 12.(10分)已知幂函数f(x)=xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 解：因为f(x)=xα的图象过点P， 所以f(2)=，即2α=， 得α=-2，即f(x)=x-2，f(x)的图象如图所示， 定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调递减区间为(0，+∞)，单调递增区间为(-∞，0). 13.(10分)已知幂函数y=x3m-9(m∈N+)的图象关于y轴对称，且在(0，+∞)上单调递减，求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围. 解：因为函数y=x3m-9在(0，+∞)上单调递减， 所以3m-9<0，解得m<3. 又因为m∈N+，所以m=1，2. 又因为函数y=x3m-9的图象关于y轴对称， 所以3m-9为偶数，故m=1. 则原不等式可化为(a+1<(3-2a. 因为y=在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减， 所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a， 解得<a<或a<-1. 故a的取值范围是(-∞，-1)∪. 14.(15分)已知幂函数g(x)过点，且f(x)=x2+ag(x). (1)求g(x)的解析式；(5分) (2)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由.(10分) 解：(1)设幂函数的解析式g(x)=xα(α为常数). 因为幂函数g(x)过点，所以2α=，解得α=-1，所以g(x)=. (2)由(1)得f(x)=x2+. ①当a=0时，f(x)=x2. 由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x)， 可知f(x)为偶函数. ②当a≠0时，由于f(-x)=(-x)2+=x2-≠x2+=f(x)，且f(-x)=(-x)2+=x2-≠-=-f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数. 综上，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $