第4章 2.3 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

1．已知函数f(x)＝5－log3x，x∈(3，27]，则f(x)的值域是(　　)

A．(2，4]    B．[2，4)

C．[－4，4)    D．(6，9]

解析：选B.f(x)＝5－log3x在x∈(3，27]上是减函数，所以f(27)≤f(x)＜f(3)，即2≤f(x)＜4.

2．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－log2(ax)，若f(－4)＝3，则a＝(　　)

A．    B．   

C．2    D．1

解析：选C.由题可知f(4)＝－f(－4)＝－3，所以f(4)＝－log2(4a)＝－3，解得a＝2.故选C.

3．(2025·大连月考)函数f(x)＝x ln 的大致图象为(　　)

解析：选C.由题可知，f(x)的定义域为(－3，3)，因为f(－x)＝－x ln ＝－x ln ＝x ln ＝f(x)，所以f(x)是偶函数，排除A，B，又f(1)＝ln ＝－ln 2＜0，排除D.

4．设函数f(x)＝ax－log(x＋1)(a＞0且a≠1)在[0，2]上的最大值和最小值之和为a2，则a的值为(　　)

A．    B．   

C．    D．3

解析：选B.由换底公式可得f(x)＝ax＋loga(x＋1)，

又y＝ax与y＝loga(x＋1)在区间[0，2]上具有相同的单调性，

故f(x)在[0，2]上单调递增或单调递减，f(x)在[0，2]上的最值分别为f(0)，f(2)，

故f(0)＋f(2)＝1＋a2＋loga3＝a2，解得a＝.

5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]    B．[－1，0]

C．[－1，1]    D．[0，＋∞)

解析：选B.因为f(x)在R上单调递增，且当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，

则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].

6．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，则(　　)

A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值

B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值

C．f(x)在定义域内是偶函数

D．f(x)的图象关于直线x＝1对称

解析：选AD.由|x－1|＞0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；

因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a＞1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选AD.

7．函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间是________，值域是________．

解析：由4－x2＞0，得－2＜x＜2，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的定义域为(－2，2)，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间为(－2，0).由0＜4－x2≤4，知f(x)∈(－∞，2].

答案：(－2，0)　(－∞，2]

8．已知函数f(x)＝ln (e2x＋1)－kx为偶函数，则实数k＝________．

解析：函数f(x)＝ln (e2x＋1)－kx为偶函数，

则f(x)－f(－x)＝ln (e2x＋1)－kx－ln(e-2x＋1)－kx＝0，

即2kx＝ln ＝ln ＝ln e2x＝2x，而x不恒为0，所以k＝1.

答案：1

9．已知当x＝3时，不等式loga(x2－x－2)＜loga(3x＋3)成立，则这个不等式的解集是____________．

解析：当x＝3时，loga4＜loga12，故a＞1，

由loga＜loga(3x＋3)得

解得故不等式的解集为{x|2＜x＜5}．

答案：{x|2＜x＜5}

10．(13分)已知函数f(x)＝2ln (ex＋1)－x，其中e＝2.718 28….　

(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；(6分)

(2)求函数f(x)的值域．(7分)

解：(1)f(x)是偶函数，证明如下：