第4章 3 指数函数与对数函数的关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

4．3　指数函数与对数函数的关系

一　反函数的概念

[知识梳理]

一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．

[例1] (对接教材例1)求下列函数的反函数：

(1)f(x)＝log2x；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝5x＋1.

【解】　(1)令y＝log2x，得x＝2y且y∈R，

所以f-1(x)＝2x，x∈R.

(2)令y＝，得x＝logy且y＞0，

所以f-1(x)＝logx，x＞0.

(3)令y＝5x＋1，得x＝且y∈R，

所以f-1(x)＝，x∈R.

　

(1)求反函数时，要先确定原函数的值域．

(2)求反函数解析式的两种方法：

①可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y，得到反函数y＝f-1(x).

②从y＝f(x)反解得到x＝f-1(y)，然后把x＝f-1(y)中的x，y对调得到y＝f-1(x).

(3)最后要注明反函数的定义域．

 [跟踪训练1] 函数f(x)＝log2(x>0)的反函数f-1(x)＝(　　)

A．(x>0)    B．(x≠0)

C．2x－1(x∈R)    D．2x－1(x>0)

解析：选A.因为x>0，所以1＋>1，所以log2>log21＝0，所以f-1(x)的定义域为(0，＋∞).令y＝log2，则1＋＝2y，解得x＝，则f(x)的反函数f-1(x)＝(x>0).故选A.

二　反函数的性质

[知识梳理]

1．y＝f(x)的定义域与y＝f-1(x)的值域相同．

2．y＝f(x)的值域与y＝f-1(x)的定义域相同．

3．y＝f(x)与y＝f-1(x)的图象关于直线y＝x对称．

4．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f-1(x)一定存在，且y＝f-1(x)与y＝f(x)的单调性相同．

[例2] 已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1，3)，其反函数y＝f-1(x)的图象过

点(2，0)，则f(x)的解析式为____________．

【解析】　因为y＝f-1(x)的图象过点(2，0)，

所以y＝f(x)的图象过点(0，2)，

所以2＝a0－k，所以k＝－1，所以f(x)＝ax＋1.

又因为y＝f(x)的图象过点(1，3)，

所以3＝a1＋1，所以a＝2，

所以f(x)＝2x＋1.

【答案】　f(x)＝2x＋1

　

互为反函数的函数图象关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f-1(x)的图象上．

[跟踪训练2] (1)函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数的定义域为(　　)

A．(1，＋∞)    B．[0，＋∞)

C．(0，＋∞)    D．[1，＋∞)

解析：选C.函数f(x)的反函数的定义域即为原函数的值域，因为3x＋1>1，所以log2(3x＋1)>0.故选C.

(2)函数y＝ax与y＝logax的图象可能是(　　)

解析：选C.因为y＝ax与y＝logax互为反函数，所以其图象关于直线y＝x对称．故选C.

三　反函数的图象与性质的应用