第4章 2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

4．2.3　对数函数的性质与图象

第1课时　对数函数的概念、性质与图象

同学们，我们已经知道，细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x.

思考1　将y＝2x化为对数式得到什么结果？

提示：x＝log2y.

思考2　x＝log2y 对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？

提示：任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的实数x与之对应，x是关于y的函数．

[知识梳理]

一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.

[例1] 下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝log2(3x)；(2)y＝log6x；

(3)y＝logx5；(4)y＝log2x＋1.

【解】　(1)log2(3x)的真数是3x，不是x，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．

　

判定一个函数是对数函数的依据

(1)形如y＝logax；(2)底数a满足a>0，且a≠1；(3)真数是x；(4)定义域为(0，＋∞).

[跟踪训练1] (1)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)·logax是对数函数，则a的值是(　　)

A．1或2    B．1

C．2    D．a>0且a≠1

解析：选C.因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，

所以a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2，

因为a>0且a≠1，所以a＝2.

(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________．

解析：由题意设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a-2＝4，解得a＝，即f(x)＝logx，所以f(8)＝log8＝－3.

答案：－3

思考1　请同学们利用列表、描点、连线的作图步骤，在同一直角坐标系下作出对数函数y＝log2x和y＝logx的图象．

提示：

思考2　通过观察函数y＝log2x和y＝logx的图象，你能说出这两个对数函数的图象有什么关系吗？

提示：关于x轴对称．

[知识梳理]

1．对数函数的图象

2.对数函数图象的特点

(1)函数图象只出现在y轴右侧．

(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1，0).

(3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．

[例2] (1)(对接教材尝试与发现)如图，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，，则对应于c1，c2，c3，c4的a值依次为(　　)

A.，，，　　　　 B．，，，