第4章 3 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

1．已知y＝的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－，则x0＝(　　)

A．－2    B．－1   

C．2    D．

解析：选C.因为y＝的反函数是f(x)＝logx，

所以f(x0)＝logx0＝－.

所以x0＝＝＝2.

2．设f(x)＝3x＋4，则f-1(x)的定义域是(　　)

A．(0，＋∞)    B．(4，＋∞)

C．(5，＋∞)    D．(－∞，＋∞)

解析：选B.因为3x＞0，所以f(x)＝3x＋4＞4，因此，函数f-1(x)的定义域为(4，＋∞).故选B.

3．已知函数f(x)＝1＋2lg x，则f(1)＋f-1(1)＝(　　)

A．0    B．1   

C．2    D．3

解析：选C.根据题意，f(1)＝1＋2lg 1＝1，

若f(x)＝1＋2lg x＝1，解得x＝1，

则f-1(1)＝1，故f(1)＋f-1(1)＝1＋1＝2.

4．设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，f(2)＋f(4)＝1，则a＝(　　)

A．－1    B．1   

C．2    D．4

解析：选B.依题意函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)与y＝2x＋a互为反函数，由y＝2x＋a⇒x＋a＝log2y，所以f(x)＝log2x－a，由于f(2)＋f(4)＝1，所以1－a＋2－a＝1⇒a＝1.故选B.

5．已知函数f(x)＝x2－2ax－3，x∈[1，4)存在反函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]∪[4，＋∞)

B．(－∞，1)∪[4，＋∞)

C．(4，＋∞)

D．(－∞，1]∪(4，＋∞)

解析：选A.函数f(x)＝x2－2ax－3，x∈[1，4)存在反函数，只需函数f(x)＝x2－2ax－3在[1，4)上单调即可，因为函数f(x)＝x2－2ax－3图象的对称轴方程为x＝－＝a，故当a≤1或a≥4时，函数f(x)＝x2－2ax－3在[1，4)上单调，即函数f(x)＝x2－2ax－3，x∈[1，4)存在反函数．故选A.

6．(多选)若函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f-1(x)的图象经过(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

解析：选BC.因为函数y＝f(x)与y＝f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，所以y＝f-1(x)的图象经过第二、三象限．

7．已知函数f(x)的图象经过点(2，3)，f(x)的反函数为f-1(x)，则f-1(x－2)的图象必经过点________．

解析：由题意可得f(2)＝3，则f-1(3)＝2，即f-1(5－2)＝2，故函数f-1(x－2)的图象必过点(5，2).

答案：(5，2)

8．已知函数g(x)＝f(x)＋x2是奇函数，当x>0时，函数f(x)的图象与函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，则g(－1)＝________．

解析：由反函数的定义可知，当x>0时，f(x)＝2x，所以当x>0时，g(x)＝2x＋x2，又g(x)是奇函数，所以g(－1)＝－g(1)＝－(2＋1)＝－3.

答案：－3

9．已知f(x)＝(a＞0)，若f-1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是____________．

解析：f-1(x)的定义域即为f(x)的值域，所以≤≤.又a＞0，所以4≤x≤7.所以f(x)的定义域为[4，7].

答案：[4，7]

10．(13分)求下列函数的反函数：

(1)f(x)＝＋1(x≥0)；(6分)

(2)f(x)＝(x≠1).(7分)

解：(1)令y＝＋1，x≥0，

所以y≥1且x＝(y－1)2.

所以f(x)＝＋1(x≥0)的反函数为

f -1(x)＝(x－1)2，x∈[1，＋∞).

(2)令y＝＝，

所以y＝2＋.

所以y≠2且x＝.

所以f(x)＝(x≠1)的反函数为

f -1(x)＝，x∈(－∞，2)∪(2，＋∞).