第4章 2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

第2课时　对数函数的性质与图象的应用

角度1　比较对数值的大小

[例1] (对接教材例1)比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln 0.3，ln 2；

(2)loga3.1，loga5.2(a＞0且a≠1)；

(3)log30.2，log40.2；

(4)log3π，logπ3.

【解】　(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2.

(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；

当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，

又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.

综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2；

当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2.

(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，

即log30.2＜log40.2.

(4)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且π＞3，

所以log3π＞log33＝1.

同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.

　

比较对数值大小时常用的4种方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行

分类讨论；

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；

(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．

角度2　求解对数型不等式

[例2] (对接教材例2)解下列关于x的不等式：

(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；

(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0且a≠1).

【解】　(1)原不等式等价于

解得＜x≤3.所以不等式的解集为.

(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1).

当a＞1时，不等式等价于无解．

当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.

综上可知，当a＞1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．

　

常见对数型不等式的解法

(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．

(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．

角度3　求对数型函数的值域(最值)

 [例3] (1)已知函数f(x)＝lg (x2＋1)，x∈[－1，3]，则f(x)的值域为(　　)

A．[0，＋∞)    B．[0，1)

C．[lg 2，1]    D．[0，1]

(2)设函数f(x)＝(log2x)2－4log2x＋3，x∈[1，16]，则f(x)的值域为________．

【解析】　(1)因为x∈[－1，3]，所以x2＋1∈[1，10]，

所以f(x)＝lg (x2＋1)∈[0，1].故选D.

(2)因为x∈[1，16]，令t＝log2x∈[0，4]，

则f(t)＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1∈[－1，3].

故函数f(x)的值域为[－1，3].

【答案】　(1)D　(2)[－1，3]

　

求对数型函数值域(最值)的方法

(1)对于形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：

①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数．

②求f(x)的定义域．

③求u的取值范围．

④利用y＝logau的单调性求解．

(2)当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化．

 [跟踪训练1] (1)已知实数a＝log23，b＝log，c＝log3，则(　　)

A．a＞b＞c    B．a＞c＞b

C．b＞c＞a    D．c＞b＞a

解析：选A.因为a＝log23＞1，b＝log＝log32∈(0，1)，c＝log3＝－log32＜0，所以a＞b＞c.故选A.

(2)(2025·呼和浩特月考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2.