第4章 4.2.3 第2课时 对数函数的图象与性质的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

第2课时　对数函数的图象与性质的应用

学习目标　1.能够利用对数函数的图象和性质比较大小.2.能运用对数函数的图象与性质解决和对数函数相关的综合性问题.

一、利用单调性比较对数值的大小

例1　(课本例1)比较下列各题中两个值的大小：

(1)log0.33与log0.35；

(2)ln 3与ln 3.001；

(3)log70.5与0.

解　(1)因为0<0.3<1，所以y=log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35.

(2)因为e>1，所以y=ln x是增函数，又因为3<3.001，所以ln 3<ln 3.001.

(3)因为7>1，所以y=log7x是增函数，又因为log71=0，而且0.5<1，所以log70.5<log71=0.

 

例1　比较下列各组中两个值的大小：

(1)ln 0.3，ln 2；

(2)loga3.1，loga5.2(a>0且a≠1)；

(3)log30.2，log40.2；

(4)log3π，logπ3.

解　(1)因为函数y=ln x在(0，+∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2.

(2)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，

又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2；

当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上是减函数，

又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2.

综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2；

当0<a<1时，loga3.1>loga5.2.

(3)因为0>log0.23>log0.24，所以<，

即log30.2<log40.2.

(4)因为函数y=log3x在(0，+∞)上是增函数，

且π>3，

所以log3π>log33=1.

同理，1=logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.

反思感悟　比较对数值大小时常用的4种方法

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.

(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较.

(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.

跟踪训练1　已知a=，b=log2，c=lo，则(　　)

A.a>b>c B.a>c>b

C.c>b>a D.c>a>b

答案　D

解析　∵0<a=<20=1，b=log2<log21=0，c=lo>lo=1，∴c>a>b.

二、利用单调性解对数不等式

例2　(课本例2)已知log0.7(2m)<log0.7(m-1)，求m的取值范围.

解　因为y=log0.7x的定义域为(0，+∞)，而且是减函数，所以由已知有2m>m-1>0，即

解得m>1.

 

例2　解下列关于x的不等式：

(1)lox>lo(4-x)；

(2)loga(2x-5)>loga(x-1)；

(3)logx>1.

解　(1)由题意可得解得0<x<2.

所以原不等式的解集为{x|0<x<2}.

(2)当a>1时，原不等式等价于

解得x>4.

当0<a<1时，原不等式等价于

解得<x<4.

综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；

当0<a<1时，原不等式的解集为.

(3)当x>1时，logx>logxx，所以x<，无解；

当0<x<1时，logx>logxx，所以<x<1.

综上，原不等式的解集为.

延伸探究　将例2(2)的不等式改为：loga(2a+1)<loga(3a)<0，求实数a的取值范围.

解　由题意可知即a>0且a≠1.

当a>1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1，

∴2a+1<3a<1，此时无解；

当0<a<1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1，

∴2a+1>3a>1，解得<a<1，

因此，实数a的取值范围为.

反思感悟　对数不等式的三种考查类型及解法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.

(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解.

(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.

三、对数函数的综合问题

例3　已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数的奇偶性和单调性.

解　(1)要使此函数有意义，