第4章 4.2.3 第2课时 对数函数的图象与性质的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学对数函数图象与性质的应用，在学生掌握对数函数基本单调性、定义域等性质基础上，通过比较对数值大小、解对数不等式及综合问题，构建从性质理解到实际应用的学习支架。 资料以例题分层设计为特色，从基础比较大小到含参数不等式及函数综合问题，结合反思感悟提炼方法，培养学生数学思维中的推理能力与分类讨论意识，课中助力教师教学，课后通过跟踪训练与对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　对数函数的图象与性质的应用 学习目标　1.能够利用对数函数的图象和性质比较大小.2.能运用对数函数的图象与性质解决和对数函数相关的综合性问题. 一、利用单调性比较对数值的大小 例1　(课本例1)比较下列各题中两个值的大小： (1)log0.33与log0.35； (2)ln 3与ln 3.001； (3)log70.5与0. 解　(1)因为0<0.3<1，所以y=log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35. (2)因为e>1，所以y=ln x是增函数，又因为3<3.001，所以ln 3<ln 3.001. (3)因为7>1，所以y=log7x是增函数，又因为log71=0，而且0.5<1，所以log70.5<log71=0. 例1　比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a>0且a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 解　(1)因为函数y=ln x在(0，+∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上是减函数， 又3.1<5.2，所以loga3.1>loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，loga3.1>loga5.2. (3)因为0>log0.23>log0.24，所以<， 即log30.2<log40.2. (4)因为函数y=log3x在(0，+∞)上是增函数， 且π>3， 所以log3π>log33=1. 同理，1=logππ>logπ3，所以log3π>logπ3. 反思感悟　比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较. (4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 跟踪训练1　已知a=，b=log2，c=lo，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 答案　D 解析　∵0<a=<20=1，b=log2<log21=0，c=lo>lo=1，∴c>a>b. 二、利用单调性解对数不等式 例2　(课本例2)已知log0.7(2m)<log0.7(m-1)，求m的取值范围. 解　因为y=log0.7x的定义域为(0，+∞)，而且是减函数，所以由已知有2m>m-1>0，即 解得m>1. 例2　解下列关于x的不等式： (1)lox>lo(4-x)； (2)loga(2x-5)>loga(x-1)； (3)logx>1. 解　(1)由题意可得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}. (2)当a>1时，原不等式等价于 解得x>4. 当0<a<1时，原不等式等价于 解得<x<4. 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}； 当0<a<1时，原不等式的解集为. (3)当x>1时，logx>logxx，所以x<，无解； 当0<x<1时，logx>logxx，所以<x<1. 综上，原不等式的解集为. 延伸探究　将例2(2)的不等式改为：loga(2a+1)<loga(3a)<0，求实数a的取值范围. 解　由题意可知即a>0且a≠1. 当a>1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1， ∴2a+1<3a<1，此时无解； 当0<a<1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1， ∴2a+1>3a>1，解得<a<1， 因此，实数a的取值范围为. 反思感悟　对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解. (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 三、对数函数的综合问题 例3　已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数的奇偶性和单调性. 解　(1)要使此函数有意义， 则有>0，即(x+1)(x-1)>0， 解得x>1或x<-1， 故f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞). (2)f(-x)=loga=loga =-loga=-f(x). 又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称， 所以f(x)为奇函数. f(x)=loga=loga， 函数u=1+在区间(-∞，-1)和区间(1，+∞)上单调递减. 所以当a>1时，f(x)=loga在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减； 当0<a<1时，f(x)=loga在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递增. 反思感悟　(1)解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是要注意其定义域；二是看底数是否需要进行分类讨论；三是利用换元法解决复合函数单调性与最值问题；四是运用同增异减来判断复合函数单调性. (2) 判断函数的奇偶性，应先求出定义域，看是否关于原点对称，再利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判断是奇函数还是偶函数. 跟踪训练2　已知函数f(x)=log2(x+1)-2. (1)若f(x)>0，求x的取值范围； (2)若x∈(-1，3]，求f(x)的值域. 解　(1)由题意得log2(x+1)-2>0， ∴log2(x+1)>2=log24，∴x+1>4， ∴x>3.∴x的取值范围是(3，+∞). (2)∵x∈(-1，3]，∴x+1∈(0，4]， ∴log2(x+1)∈(-∞，2]， ∴log2(x+1)-2∈(-∞，0]. ∴f(x)的值域为(-∞，0]. 1.知识清单： (1)对数值的大小比较. (2)利用单调性解对数不等式. (3)对数函数的综合应用. 2.方法归纳：换元法、分类讨论法. 3.常见误区：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域. 1.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是(　　) A.(-∞，7] B.(2，7] C.[7，+∞) D.(2，+∞) 答案　B 解析　因为lg(2x-4)≤1，所以0<2x-4≤10， 解得2<x≤7，所以x的取值范围是(2，7]. 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为(　　) 答案　D 解析　由f(x)是R上的奇函数，得函数图象关于原点对称，排除A，B. 又当x>0时f(x)=ln(x+1)，排除C. 3.若a=20.2，b=log43.2，c=log20.5，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 答案　A 解析　∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1， ∴a>b>c. 4.不等式lo(2x+3)<lo(5x-6)的解集为　　　.  答案　 解析　由题意可得解得<x<3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.已知实数a=log45，b=，c=log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 答案　D 解析　由题意知，a=log45>1，b==1， c=log30.4<0，故c<b<a. 2.不等式log2(x2-1)<1的解集是(　　) A.(-) B.(1，) C.(-，0)∪(0，) D.(-，-1)∪(1，) 答案　D 解析　因为log2(x2-1)<1=log22， 则0<x2-1<2，解得-<x<-1或1<x<，所以不等式的解集为(-，-1)∪(1，). 3.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=-log2x B.f(x)=log2(-x) C.f(x)=-log2(-x) D.f(x)=logx2 答案　C 解析　当x<0时，-x>0，f(-x)=log2(-x). 又因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 所以f(x)=-f(-x)，所以f(x)=-log2(-x)(x<0). 4.若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y=loga(x2+2)的最大值为-1，则实数a的值为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　B 解析　因为ax≥1=a0的解集为{x|x≤0}，所以0<a<1，令u=x2+2，则y=logau为减函数，又因为u=x2+2在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以函数y=loga(x2+2)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，即函数y=loga(x2+2)在x=0时取最大值-1，则loga2=-1，解得a=. 5.已知函数f(x)=满足f(a-1)<f(3-a)，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，2) B.(2，+∞) C.(-∞，0) D.(0，+∞) 答案　A 解析　当x<1时，f(x)=x3-1，此时f(x)单调递增，当x≥1时，f(x)=ln x，此时f(x)单调递增，且f(1)=0=13-1，则f(x)是R上的增函数，若有f(a-1)<f(3-a)，则有a-1<3-a，解得a<2. 6.(多选)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)是增函数 B.函数f(x)是偶函数 C.若x>1，则f(x)>0 D.若f(x)<1，则x∈(2，+∞) 答案　AC 解析　由题意得f(4)=2，即loga4=2，∴a2=4， ∵a>0且a≠1，∴a=2，∴f(x)=log2x， ∴f(x)在(0，+∞)上是增函数，但不是偶函数，故A正确，B错误； 当x>1时，f(x)>0，故C正确； 由log2x<1，得x<2， 又∵x>0，∴x∈(0，2)，故D错误. 7.(5分)已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是　　　　.  答案　(0，1] 解析　函数f(x)的图象如图所示， 要使y=a与f(x)的图象有两个不同交点，则0<a≤1. 8.(5分)设a>1，函数f(x)=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=　　　　.  答案　4 解析　因为a>1， 所以f(x)=logax在[a，2a]上单调递增， 所以loga(2a)-logaa=， 即loga2=， 所以=2，解得a=4. 9.(10分)比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32；(2分) (2)log23，log0.32；(2分) (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)；(3分) (4)log50.4，log60.4.(3分) 解　(1)因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21=0，log0.32<log0.31=0， 所以log23>log0.32. (3)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，又π>3.14，则有logaπ<loga3.14. 综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，logaπ<loga3.14. (4)在同一直角坐标系中，作出y=log5x，y=log6x的图象，再作出直线x=0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4. 10.(12分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点P(3，1). (1)求实数a的值；(4分) (2)解不等式f(2x+1)<f(2-3x).(8分) 解　(1)由题意得f(3)=loga3=1，解得a=3. (2)因为f(x)=log3x在(0，+∞)上是增函数， f(2x+1)<f(2-3x)，所以 解得-<x<， 所以不等式f(2x+1)<f(2-3x)的解集是. 11.已知函数f(x)=ln(-x)+2，则f(lg 5)+f等于(　　) A.4 B.0 C.1 D.2 答案　A 解析　∵f(x)=ln(-x)+2，∴f(x)的定义域为R， ∴f(-x)=ln(+x)+2， ∴f(x)+f(-x)=ln[(-x)(+x)]+4=ln 1+4=4， ∴f(lg 5)+f=f(lg 5)+f(-lg 5)=4. 12.已知a=log32，b=log43，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 答案　D 解析　因为函数y=log3x为增函数，32<24<33， 所以2=log332<log324<log333=3， 所以2<4log32<3，故<a=log32<. 因为函数y=ln x为增函数，32<e3， 所以ln 32<ln e3，即2ln 3<3，故ln 3<， 所以c=<. 因为函数y=log4x为增函数，43<34<44， 所以3=log443<log434<log444=4， 故3<4log43<4，即<b=log43<1， 所以b>a>c. 13.(5分)当0<x≤时，4x<logax，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　易知0<a<1，作出函数y=4x与y=logax的大致图象如图，若满足题意，则只需loga>，解得a>，所以<a<1. 14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上为增函数，f=0，则不等式f(lox)>0的解集为　　　　.  答案　∪(2，+∞) 解析　∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称. ∵f(x)在[0，+∞)上为增函数， ∴f(x)在(-∞，0]上为减函数， 作出函数图象如图所示. 由f=0，得f=0. ∴f(lox)>0⇒lox<-或lox>⇒x>2或0<x<， ∴x∈∪(2，+∞). 15.已知f(x)=x2-|x|+1，a=f，b=f，c=f，则下列不等式成立的是(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b 答案　A 解析　易知f(x)的定义域为R， 当x≥0时，有 f(x)=x2-x+1=+，故f(x)在上单调递增， 因为f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x)，所以f(x)为偶函数， 则a=f=f=f(-log23)=f(log23)， 而log23=log232=log29>log28=， 又=log3<log32=lo<1， 所以log23>>lo>，所以c<b<a. 16.(12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x). (1)用定义证明f(x)在定义域上是增函数；(6分) (2)求不等式f(2x-5)+f(2-x)<0的解集.(6分) (1)证明　由对数函数的定义得 解得 即-1<x<1， 设-1<x1<x2<1， 则f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x2)+lg(1-x2)=lg. ∵-1<x1<x2<1， ∴0<1+x1<1+x2，0<1-x2<1-x1， 于是0<<1，0<<1， 则0<<1， ∴lg<0， ∴f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 即函数f(x)是(-1，1)上的增函数. (2)解　∵f(x)的定义域为(-1，1)， f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)， ∴f(x)为奇函数. ∴不等式f(2x-5)+f(2-x)<0可转化为f(2x-5)<-f(2-x)=f(x-2)， ∵f(x)在(-1，1)上是增函数， ∴ 解得2<x<3. ∴不等式的解集为{x|2<x<3}. 学科网（北京）股份有限公司 $