第4章 1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）

4．1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的概念、性质与图象 1 新课导入 学习目标 　　百万富翁杰米与韦伯签订了一份奇怪的合同：韦伯每天支付杰米10万元，而杰米只需第一天给韦伯1分钱，以后每天给的钱是前一天的2倍．合同生效了，杰米由一开始的欣喜若狂，到一个月之后的被迫破产，你明白其中的道理吗？这节课就让我们学习内含的指数函数吧！ 1.理解指数函数的概念及意义． 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质． 3．掌握指数函数的定义域、值域的求法． 4．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　指数函数的概念 同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，设折叠x次后对应的层数为y. 思考1　折叠5次后有多少层？ 提示：y＝25＝32(层). 思考2　折叠x次后y与x之间存在什么关系？ 提示：y＝2x. 思考3　对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数x有什么关系？ 返回导航 [知识梳理] 一般地，函数____________称为指数函数，其中a是常数，____________． y＝ax a>0且a≠1 返回导航 √ √ 【解析】　形如y＝ax(a>0，且a≠1)形式的为指数函数，以上满足条件的为A，D. 返回导航 (2)已知指数函数y＝(2b－3)ax的图象经过点(1，2)，则a＝________，b＝________． 【解析】由指数函数定义可知2b－3＝1，解得b＝2.将点(1，2)代入y＝ax，得a＝2. 2 2 返回导航 判断是否为指数函数的方法 先对函数解析式进行适当变形，变形后从指数函数解析式的三个特征进行分析． (1)ax的系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数a. (3)自变量x为指数． 返回导航 [跟踪训练1] 若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　) A．a＝1或－1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＞0且a≠1 √ 返回导航 125 返回导航 提示：依次进行列表、描点、连线三个步骤，作出下列图象： 返回导航 [知识梳理] 函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象 返回导航 √ 【解析】　作直线x＝1(图略)，则由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. 返回导航 (2)若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　) A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0 【解析】函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象向上或向下平移得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0，1).若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向下平移大于1个单位长度，即b－1＜－1，所以b＜0. √ 返回导航 处理指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 解析：由题图可得0＜a＜1；由题图可知，函数f(x)＝ax－b的图象由y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0. √ 返回导航 (2)函数f(x)＝ax+1－1(a＞0且a≠1)的图象恒过点(　　) A．(0，1) B．(0，0) C．(－1，0) D．(－1，1) 解析：令x＋1＝0，解得x＝－1，此时f(－1)＝0，所以函数f(x)＝ax+1－1(a＞0且a≠1)的图象恒过点(－1，0).故选C. √ 返回导航 返回导航 提示：共同的性质： (1)当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减． (2)函数的图象恒过点(0，1). 返回导航 [知识梳理] 函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象和性质 类别 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 定义域为R 值域 值域为____________ 过定点 过定点____________ (0，＋∞) (0，1) 返回导航 性质 函数值的变化 当x＞0时，____________； 当x＞0时，____________； 当x＜0时____________， 当x＜0时，____________ 单调性 在R上是____________ 在R上是____________ 对称性 y＞1 0＜y＜1 0＜y＜1 y＞1 增函数 减函数 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 函数y＝af(x)的定义域与值域的求法 (1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域． (2)形如y＝af(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域．若a的值不确定，则需对a进行分类讨论． (3)形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 返回导航 √ 解析：因为ax－a≥0，所以ax≥a，因为函数f(x)的定义域为[1，＋∞)，所以a＞1.故选B. 返回导航 (2)函数y＝4x＋2x+1＋3的值域为_______________． 解析：显然函数y＝4x＋2x+1＋3的定义域为R.由题意，得y＝4x＋2x+1＋3＝(2x＋1)2＋2，由于2x>0，所以(2x＋1)2>1，所以y＝4x＋2x+1＋3的值域是(3，＋∞). (3，＋∞) 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 1．函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象，如图所示．   由图象知，函数y＝3－x与函数y＝－3x的图象关于原点对称，故选C √ 返回导航 2．(多选)(2025·营口期中)若函数y＝ax－2b－1(a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则(　　) A．0<a<1 B．a>1 C．b>0 D．b<0 √ √ 解析：由题意可知，函数大致图象如图所示， 若0<a<1，则y＝ax－2b－1的图象必过第二象限，不符合题意，所以a>1. 当a>1时，要使y＝ax－2b－1的图象过第一、三、四象限，则2b＋1>1，解得b>0. 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：(1)指数函数的概念．(2)指数函数的图象．(3)指数函数的性质：定义域、值域、单调性及过定点． 2．须贯通：研究指数函数的性质，通常借助于指数函数的图象，有时会用到分类讨论的思想． 3．应注意：(1)在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax＞0(a＞0且a≠1).(2)形如函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)＝0. 返回导航 类别 a＞1 0＜a＜1 图象 [例3] 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2； 【解】　因为x应满足x－4≠0，所以x≠4， 所以定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). 因为≠0，所以2≠1， 所以y＝2的值域为(0，1)∪(1，＋∞). 解析：由题意设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)， 由f(2)＝a2＝81，得a＝9，所以f(x)＝9x， 则f＝9＝. $