第4章 2.2 对数运算法则-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

4．2.2　对数运算法则

思考　计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？

(1)log2(4×8)，log24＋log28；

(2)log2，log232－log24；

(3)log225，5log22.

提示：(1)log2(4×8)＝log232＝5；log24＋log28＝2＋3＝5，猜想log2(4×8)＝log24＋log28.

(2)log2＝log28＝3；log232－log24＝5－2＝3，猜想log2＝log232－log24.

(3)log225＝5；5log22＝5×1＝5，猜想log225＝5log22.

[知识梳理]

如果a＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，α∈R，那么

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．

(2)logaMα＝αlogaM．

(3)loga＝logaM－logaN．

为了方便记忆，上述法则可表述为：积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差，幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数．

[例1] (对接教材例2)计算下列各式的值：

(1)log345－log35；

(2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；

(3)lg 14－2 lg ＋lg 7－lg 18.

【解】　(1)原式＝log3＝log39＝log332＝2.

(2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2

＝lg 10×(lg 5－lg 2)＋2lg 2

＝lg 5－lg 2＋2lg 2

＝lg 5＋lg 2＝1.

(3)原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)

＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.

　

利用对数运算法则化简求值的原则和方法

(1)基本原则

①正用或逆用运算法则，对真数进行处理；

②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差．)

[跟踪训练1] (1)若lg 2－lg m＝1，则m＝(　　)

A．    B．   

C．    D．5

解析：选B.由lg 2－lg m＝1，得lg ＝lg 10，即＝10，解得m＝.

(2)计算：①log312－log32＝________；

②lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________．

解析：①log312－log32＝log3－log32＝log3＝log3＝.

②原式＝lg 52＋lg 23＋lg ×lg (10×2)＋(lg 2)2＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)·(1＋lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.

答案：①　②3

思考　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再将此式化为对数式可得到什么结论？

提示：x＝log35，从而x＝＝log35.

 [知识梳理]

1．logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).

2．对数换底公式的重要推论

(1)logaN＝(N>0且N≠1，a>0且a≠1).

(2)loganbm＝logab(a>0且a≠1，b>0，m∈R，n∈R且n≠0).

(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0且a≠1，b≠1，c≠1).

[例2] (1)计算：(log43＋log83)log32＝________．

(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645.(用a，b表示)