第4章 1.1 指数幂及其运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

4．1　指数与指数函数

4．1.1　实数指数幂及其运算

思考1　由32＝9和(－3)2＝9，我们可得到9的平方根是什么？由53＝125以及(－3)3＝－27，我们可以得到125和－27的立方根分别是什么？

提示：9的平方根是3和－3，125的立方根是5，－27的立方根是－3.

思考2　实数a的平方根都是互为相反数吗？立方根呢？

提示：当实数a<0时，没有平方根，当实数a＝0时，平方根是0，当实数a>0时，有一对互为相反数的平方根；任何实数都有唯一的立方根．

[知识梳理]

1．n次方根

(1)定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．

(2)表示：

2.根式

(1)当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数；

(2)性质：①()n＝a；

② ＝

[例1] (1)若x＜，则 ＝(　　)

A．3x－1　　　　　　　  B．1－3x

C．(1－3x)2    D．1－x

(2)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．

(3)若 有意义，则实数a的取值范围是________．

【解析】　(1)因为x＜，所以1－3x＞0.

所以＝＝|1－3x|＝1－3x.

(2)因为(±9)2＝81，所以81的平方根为±9，

即a＝±9，又(－2)3＝－8，

所以－8的立方根为－2，所以b＝－2，

所以a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7.

(3)要使 有意义，则a－3＞0，即a＞3.

【答案】　(1)B　(2)－11或7　(3)(3，＋∞)

(1)根式概念问题应关注的两点

①n为奇数时，对任意实数a都存在n次方根；

②n是偶数时，只有a≥0时才有n次方根，表示为±.

(2)根式化简应遵循的四个原则

①被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式；

②被开方数是带分数的要化成假分数；

③被开方数中不能含有分母；

④使用＝·(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．

[跟踪训练1] (1)已知x4＝625，则x＝(　　)

A．5    B．－5   

C．－5或5    D．不存在

解析：选C.因为x4＝625，所以x＝±＝±5.

(2)若＝，则实数a的取值范围为______________．

解析：＝|2a－1|, ＝1－2a.

由题意知|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.

答案：

思考　观察下列各式，你能得出什么结论？

①＝＝22＝2；

②＝＝44＝4.

提示：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．

[知识梳理]

分数指数幂的意义

(1)正数的正分数指数幂的意义

a＝()m＝(a>0，n，m∈N＋，且为既约分数)；