第4章 2.1 对数运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

4．2　对数与对数函数

4．2.1　对数运算

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……

思考　依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？

提示：2x；3和8；由2x＝N可知，当N已知时，x的值即为分裂次数．

 [知识梳理]

1．概念

在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．

2．常用对数与自然对数

3．对数式与指数式的关系(a>0且a≠1)

[例1] (1)若a2 025＝b(a＞0且a≠1)，则(　　)

A．logab＝2 025    B．logba＝2 025

C．log2 025a＝b    D．log2 025b＝a

(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______________．

【解析】　(1)由对数的概念，可以把a2 025＝b化为对数式logab＝2 025.

(2)由题意可得解得x＞2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞).

【答案】　(1)A　(2)(2，3)∪(3，＋∞)

　

根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中字母的取值范围．

[跟踪训练1] 方程log4－x(x2－2x)＝log4－x(5x－6)解的个数是(　　)

A.0    B．1   

C．2    D．无数

解析：选A.根据对数式有意义可得即2＜x＜4且x≠3，再根据题意可得x2－2x＝5x－6，即x2－7x＋6＝0，解得x＝1或x＝6，因为x＝1和x＝6均不满足2＜x＜4且x≠3，所以原方程解的个数为0.故选A.

[例2] 将下列指数式与对数式互化：

(1)3-3＝；(2)log64x＝－；(3)logx8＝6.

【解】　(1)因为3-3＝，所以log3＝－3.

(2)因为log64x＝－，所以64－＝x.

(3)因为logx8＝6，所以x6＝8.

母题探究　求本例(2)、(3)中x的值．

解：本例(2)中x＝64－＝，

本例(3)中x6＝8，

因为x＞0且x≠1，所以x＝8＝(23)＝2＝.

　

指数式与对数式互化的方法

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

[跟踪训练2] (1)(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　)

A．100＝1与lg 1＝0

B．9＝3与log39＝2

C．27－＝与log27＝－

D．51＝5与log55＝1

解析：选ACD.由对数的概念可知，100＝1可转化为lg 1＝0，故A正确；由对数的概念可知，9＝3可转化为log93＝，故B错误；由对数的概念可知，27