第4章 4.2.2 对数运算法则（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

4.2.2　对数运算法则

学习目标　1.掌握对数的运算法则，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明.

导语

同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用.

一、对数的运算法则

问题1　将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？

提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN.

由MN=ap+q得p+q=loga(MN).

从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0).

问题2　结合问题1，若==ap-q，又能得到什么结论？

提示　将指数式=ap-q化为对数式，得

loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0).

问题3　结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？

提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R).

知识梳理

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

(2)logaMα=αlogaM.

(3)loga=logaM-logaN.

为方便记忆，上述法则可表述为：积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差，幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数.

注意点：

(1)法则的逆运算仍然成立.

(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)×(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.

(3)性质(1)可以推广为：loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N+.

例1　(课本例2)计算下列各式的值：

(1)lg 4+lg 25；

(2)lg；

(3)log2(47×25)；

(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.

解　(1)lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2.

(2)lg=lg 10=lg 100=.

(3)log2(47×25)=log247+log225

=7log24+5log22

=7×2+5×1=19.

(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5

=(lg 2)2+lg(10×2)×lg

=(lg 2)2+(1+lg 2)×(1-lg 2)

=(lg 2)2+1-(lg 2)2=1.

 

例1　计算下列各式的值：

(1)log345-log35；

(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2；

(3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18；

(4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.

解　(1)原式=log3=log39=log332=2.

(2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2

=lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2

=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.

(3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)

=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.

(4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2

=2lg 10+(lg 5+lg 2)2

=2+(lg 10)2=2+1=3.

反思感悟　利用对数运算法则化简与求值的原则和方法

(1)基本原则：

①正用或逆用运算法则，对真数进行处理；

②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.

(2)两种常用的方法：

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).

跟踪训练1　计算下列各式的值：

(1)2log23-log2+log27-；

(2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216).

解　(1)原式=log29-log2+log27-2

=log2-2=3-2=1.

(2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=.

二、换底公式

问题4　假设=x，则log25=xlog23，即log25=log23x，∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35，∴=log35.如果=x(c>0且c≠1)，等式还成立吗？

提示　成立，推导如下：

由=x，则logc5=xlogc3，即logc5=logc3x，

∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35，

∴=log35.

问题5　 假设=x，我们会得到什么样的式子呢？你能写出它的推导过程吗？

提示　将公式进行推广，可得=logab(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)，推导如下：由=x，则logcb=xlogca，即logcb=logcax，∴ax=b，由指数式和对数式的互化可得x=logab，∴=logab.

知识梳理

1.logab=(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).