第4章 4.2.2 对数运算法则（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学对数运算法则与换底公式核心知识点，从指数式与对数式互化切入，通过问题链引导推导积、商、幂的对数法则及换底公式，经知识梳理明确成立条件，结合例题、跟踪训练巩固，形成“探究—梳理—应用”的学习支架。 该资料以开普勒对数表应用为导语，用数学眼光链接现实；通过问题引导自主推导法则，培养数学思维中的推理能力；例题分层设计（如例1基础运算、例2换底公式应用），强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后练习帮助学生查漏补缺，提升运算与应用能力。

4.2.2　对数运算法则 学习目标　1.掌握对数的运算法则，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明. 导语 同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史，从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用. 一、对数的运算法则 问题1　将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ 提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0). 问题2　结合问题1，若==ap-q，又能得到什么结论？ 提示　将指数式=ap-q化为对数式，得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0). 问题3　结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？ 提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R). 知识梳理 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMα=αlogaM. (3)loga=logaM-logaN. 为方便记忆，上述法则可表述为：积的对数等于对数之和，商的对数等于对数之差，幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数. 注意点： (1)法则的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)×(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N+. 例1　(课本例2)计算下列各式的值： (1)lg 4+lg 25； (2)lg； (3)log2(47×25)； (4)(lg 2)2+lg 20×lg 5. 解　(1)lg 4+lg 25=lg(4×25)=lg 100=2. (2)lg=lg 10=lg 100=. (3)log2(47×25)=log247+log225 =7log24+5log22 =7×2+5×1=19. (4)(lg 2)2+lg 20×lg 5 =(lg 2)2+lg(10×2)×lg =(lg 2)2+(1+lg 2)×(1-lg 2) =(lg 2)2+1-(lg 2)2=1. 例1　计算下列各式的值： (1)log345-log35； (2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； (3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18； (4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 解　(1)原式=log3=log39=log332=2. (2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2 =lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2 =lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1. (3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. (4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2 =2+(lg 10)2=2+1=3. 反思感悟　利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用运算法则，对真数进行处理； ②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 跟踪训练1　计算下列各式的值： (1)2log23-log2+log27-； (2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216). 解　(1)原式=log29-log2+log27-2 =log2-2=3-2=1. (2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=. 二、换底公式 问题4　假设=x，则log25=xlog23，即log25=log23x，∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35，∴=log35.如果=x(c>0且c≠1)，等式还成立吗？ 提示　成立，推导如下： 由=x，则logc5=xlogc3，即logc5=logc3x， ∴3x=5，由指数式和对数式的互化可得x=log35， ∴=log35. 问题5　 假设=x，我们会得到什么样的式子呢？你能写出它的推导过程吗？ 提示　将公式进行推广，可得=logab(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)，推导如下：由=x，则logcb=xlogca，即logcb=logcax，∴ax=b，由指数式和对数式的互化可得x=logab，∴=logab. 知识梳理 1.logab=(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logaN=(N>0且N≠1，a>0且a≠1). (2)bm=logab(a>0且a≠1，b>0，n≠0). (3)logab·logbc·logcd=logad(a>0，b>0，c>0，d>0且a≠1，b≠1，c≠1). 注意点： (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab=或logab=(a>0且a≠1，b>0). 例2　(1)(课本例3)求log89×log2732的值. 解　log89×log2732=× =× =×=. 例2　(1)计算：(log43+log83)log32=　　　　.  答案　 解析　原式=log32 =log32=+=. (2)已知log189=a，18b=5，求log3645.(用a，b表示) 解　方法一　因为18b=5，所以b=log185. 所以log3645== === ==. 方法二　因为18b=5，所以b=log185， 所以log3645== ==. 方法三　因为log189=a，18b=5， 所以lg 9=alg 18，lg 5=blg 18， 所以log3645=== ==. 反思感悟　换底公式可实现不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数运算法则进行同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算法则进行对数式的化简. 跟踪训练2　已知log23=a，log37=b，用a，b表示log4256. 解　因为log23=a，所以=log32， 又因为log37=b， 所以log4256= ==. 三、对数运算的综合问题 例3　(1)设a=lg 2，b=lg 3，试用a，b表示lg. 解　因为108=4×27=22×33， 所以lg=lg 108=lg(22×33) =lg 22+lg 33=lg 2+lg 3=a+b. (2)已知x，y，z为正数，若3x=4y=6z，求-的值. 解　令3x=4y=6z=a(a>1)， 所以x=log3a，y=log4a，z=log6a， 所以-=-=×-×=-==. 反思感悟　(1)与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 跟踪训练3　已知3a=4b=c，且+=2，求实数c的值. 解　由题意知c>0且c≠1，由3a=4b=c， 得a=log3c，b=log4c， 所以==logc3，==logc4. 又+=2， 所以logc3+logc4=logc12=2，即c2=12， 所以c=2. 1.知识清单： (1)对数的运算法则. (2)换底公式. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件. 1.log5+log53等于(　　) A.0 B.1 C.-1 D.log5 答案　A 解析　log5+log53=log5=log51=0. 2.计算：log232-2log24等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　log232-2log24=log2=log22=1. 3.若log5×log36×log6x=2，则x等于(　　) A.9 B. C.25 D. 答案　D 解析　由题意得××=-=2， 所以lg x=-2lg 5=lg 5-2，所以x=5-2=. 4.已知log62=p，log65=q，则lg 5=　　　　.(用p，q表示)  答案　 解析　lg 5===. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.log29×log34的值为(　　) A.14 B.12 C.2 D.4 答案　D 解析　log29×log34=×=×=4. 2.(log312-2log32)等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　B 解析　∵log64+log63=log6+log63 =log62+log63=log66=1， log312-2log32=log312-log34=log33=1， ∴(log312-2log32)=1. 3.已知log3x=m，log3y=n，则log3用m，n可表示为(　　) A.m-n B.m-n C.- D.m-n 答案　D 解析　log3=log3-log3=log3-log3(y·=log3x-log3y =m-n. 4.已知x，y为正实数，则(　　) A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x·2lg y 答案　D 解析　2lg x·2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy). 5.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln 2≈0.693，ln≈0.223，由此可知ln 5的近似值为(　　) A.1.519 B.1.726 C.1.609 D.1.316 答案　C 解析　因为ln 2≈0.693， 所以ln 4=ln 22=2ln 2≈2×0.693=1.386， 因为ln ≈0.223，所以ln 5=ln=ln +ln 4≈0.223+1.386=1.609. 6.(多选)若log2m=log4n，则(　　) A.n=2m B.log9n=log3m C.ln n=2ln m D.log2m=log8mn 答案　BCD 解析　因为log2m=log4n，所以m>0，n>0，又log2m=lon=log2n=log2，所以m=，即m2=n，故A错误；log9n=lom2=log3m=log3m，故B正确；ln n=ln m2=2ln m，故C正确；log8mn=lom3=log2m=log2m，故D正确. 7.(5分)log3+lg 4+lg 25+=　　　　.  答案　 解析　原式=+lg 102+1=+2+1=. 8.(5分)设log23·log36·log6m=log4(2m+8)，则实数m=　　　　.  答案　4 解析　左边=××=log2m=log4m2，所以m2=2m+8，解得m=4或m=-2(负值舍去). 9.(10分)计算下列各式的值： (1)log535+2lo-log5-log514；(5分) (2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).(5分) 解　(1)原式=log535+log550-log514+2lo =log5+lo2=log553-1=2. (2)方法一　原式= = =log25·3log52=13log25·=13. 方法二　原式= = =×=13. 10.(11分)若2a=3，3b=5，试用a与b表示log4572. 解　∵2a=3，3b=5，∴log23=a，log35=b， ∴log25=log23×log35=ab， ∴log4572== ==. 11.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是(　　) A.-2 B.-2或5 C.5 D.3 答案　C 解析　原方程可化为log3(x2-10)=log3(3x)， 所以x2-10=3x， 解得x=-2或x=5. 又解得x>，故x=5. 12.设log83=p，log35=q，则lg 5等于(　　) A.p2+q2 B.(3p+2q) C. D.pq 答案　C 解析　∵log83===p， ∴lg 3=3plg 2. ∵log35==q， ∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5)， ∴lg 5=. 13.(多选)若10a=4，10b=25，5c=4，则下列计算正确的是(　　) A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab=10 D.-= 答案　AD 解析　由10a=4，10b=25，5c=4， 则a=lg 4，b=lg 25，c=log54， 所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2，故A正确； b-a=lg 25-lg 4=lg≠1，故B错误； 由ab≤=1，当且仅当a=b时取等号， 又a=lg 4，b=lg 25，所以等号不成立，即ab<1，故C错误； 由-=-=log410-log45=log42=，故D正确. 14.(5分)若ln a，ln b是方程4x2-8x+3=0的两个不等实根，则=　　　　.  答案　1 解析　根据题意由根与系数的关系可知 ln a+ln b=2，ln a·ln b=， 所以=(ln b-ln a)2 =(ln b+ln a)2-4ln a·ln b =22-4×=1. 15.已知a>b>1，若logab+logba=，ab=ba，则ab的值为(　　) A.9 B.3 C.3 D. 答案　A 解析　∵logab+logba=+logba=， ∴3(logba)2-10logba+3=0， 解得logba=3或logba=， ∵a>b>1，∴logba>1，则logba=3， ∴a=b3， 又∵ab=ba，∴(b3)b=， ∴3b=b3， 又∵b>1，∴b=，a=3， ∴ab=9. 16.(12分)已知x，y，z为正数，3x=4y=6z，2x=py. (1)求p；(6分) (2)求证：-=.(6分) (1)解　设3x=4y=6z=k(显然k>0且k≠1)， 则x=log3k，y=log4k，z=log6k， 由2x=py，得2log3k=plog4k=p·， ∵log3k≠0，∴p=2log34. (2)证明　∵-=-=logk6-logk3 =logk2=logk4=， ∴-=. 学科网（北京）股份有限公司 $