第4章 4.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学指数函数图象与性质的应用，在学生掌握指数函数定义及单调性、奇偶性等基础上，通过比较大小、解不等式及综合运用三个模块，搭建从基础到综合应用的学习支架。 资料以分层例题（如比较大小分同底、不同底、中间值法）和跟踪训练强化分类讨论，培养数学思维，综合题（如例3结合奇偶性单调性转化不等式）提升推理能力，课堂小结梳理方法助规范表达，课中便于教学，课后利于巩固补漏。

第2课时　指数函数的图象与性质的应用 学习目标　1.能够利用指数函数的图象和性质比较大小、解不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用. 一、利用指数函数性质比较大小 例1　(课本例1)利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8-0.1与0.8-0.2； (2)2.5a与2.5a+1. 解　(1)因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y=0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1<0.8-0.2. (2)因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y=2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a<a+1，所以2.5a<2.5a+1. 例1　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5与1.53.2； (2)与； (3)1.50.3与0.81.2. 解　(1)∵函数y=1.5x在R上是增函数，2.5<3.2， ∴1.52.5<1.53.2. (2)指数函数y=与y=的图象(如图)， 由图知>. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1， 而0.81.2<0.80=1， ∴1.50.3>0.81.2. 反思感悟　比较指数式大小的3种类型及处理方法 跟踪训练1　比较下列各组数的大小： (1)0.8-0.1与1.250.2； (2)1.70.3与0.93.1； (3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1). 解　(1)∵0<0.8<1， ∴y=0.8x在R上是减函数. ∵-0.2<-0.1， ∴0.8-0.2>0.8-0.1， 而0.8-0.2==1.250.2， 即0.8-0.1<1.250.2. (2)∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1， ∴1.70.3>0.93.1. (3)a0.5与a0.6可看作指数函数y=ax的两个函数值. 当0<a<1时，函数y=ax在R上是减函数. ∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6； 当a>1时，函数y=ax在R上是增函数. ∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6. 综上所述，当0<a<1时，a0.5>a0.6； 当a>1时，a0.5<a0.6. 二、利用指数函数性质解不等式 例2　(1)(课本例2)已知实数a，b满足>，试判断6a与6b的大小. 解　因为函数y=在实数集R上是减函数，所以由>可知a<b.又因为y=6x在实数集R上是增函数，所以6a<6b. 例2　(1)若不等式<成立，则实数x的取值范围是　　　　.  答案　(-3，1) 解析　由于<等价于<5-x， 又y=5x为增函数， 故x2+x-3<-x， 即x2+2x-3<0，解得-3<x<1. 即实数x的取值范围是(-3，1). (2)解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1). 解　①当0<a<1时，y=ax在R上是减函数， ∵a2x+1≤ax-5， ∴2x+1≥x-5，解得x≥-6. ②当a>1时，y=ax在R上是增函数， ∵a2x+1≤ax-5， ∴2x+1≤x-5，解得x≤-6. 综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥-6}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x≤-6}. 反思感悟　指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法： 当a>1时，f(x)>g(x)； 当0<a<1时，f(x)<g(x). (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1=a0(a>0且a≠1)，a-x=(a>0且a≠1)等. 跟踪训练2　(1)已知不等式≤3x<27，则x的取值范围为(　　) A. B. C.R D. 答案　A 解析　由题意可得≤3x<33，再根据函数y=3x在R上是增函数，可得-≤x<3. (2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x，则x的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵a2+a+2=+>1， ∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x⇔x>1-x⇔x>. ∴x的取值范围为. 三、指数函数图象和性质的综合运用 例3　已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围. 解　(1)由题意，得f(0)==0， 所以a=1，所以f(x)=， 该函数是减函数，证明如下： 任取x1，x2∈R，x1<x2， f(x2)-f(x1)=- =. 因为x1<x2，所以0<<， 所以-<0，(1+)(1+)>0， 所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1). 所以该函数在定义域R上是减函数. (2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0， 得f(t2-2t)<-f(2t2-k). 因为f(x)是奇函数，所以f(t2-2t)<f(k-2t2)， 由(1)知，f(x)是减函数，所以t2-2t>k-2t2， 即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立， 所以Δ=4+12k<0，得k<-，故实数k的取值范围为. 反思感悟　解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题. 跟踪训练3　设a>0，函数f(x)=+是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[0，1]上的值域. 解　(1)由f(x)=f(-x)，得+=+， 即4x+=0， 所以=0， 根据题意，可得-a=0， 又a>0，所以a=1. (2)由(1)可知f(x)=4x+， 设任意的x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=+-- =(-. 因为0≤x1<x2，所以<， 所以-<0. 又因为x1+x2>0，所以>1， 所以1->0，所以f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增. 所以函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)=4+=；最小值为f(0)=1+1=2. 故f(x)在[0，1]上的值域为. 1.知识清单： (1)利用指数函数性质比较大小. (2)利用指数函数性质解不等式. (3)指数函数图象和性质的综合应用. 2.方法归纳：转化与化归、分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究y=af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 1.(多选)下列判断正确的是(　　) A.2.72.5>2.73 B.0.62<0.63 C.π2> D.0.90.3>0.90.5 答案　CD 解析　∵y=2.7x是增函数，且2.5<3， ∴2.72.5<2.73，故A错误； ∵y=0.6x是减函数，且2<3， ∴0.62>0.63，故B错误； ∵y=πx是增函数，且2>，∴π2>，故C正确； ∵y=0.9x是减函数，且0.3<0.5， ∴0.90.3>0.90.5，故D正确. 2.如果f(x)=，x∈R，那么f(x)是(　　) A.奇函数且在(0，+∞)上单调递增 B.偶函数且在(0，+∞)上单调递增 C.奇函数且在(0，+∞)上单调递减 D.偶函数且在(0，+∞)上单调递减 答案　D 解析　由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数， 当x>0时，f(x)=单调递减. 3.函数f(x)=+的定义域为(　　) A.(-3，0] B.(-3，1] C.(-∞，-3)∪(-3，0] D.(-∞，-3)∪(-3，1] 答案　A 解析　由题意知，自变量x应满足 解得 所以函数f(x)的定义域为(-3，0]. 4.设0<a<1，则关于x的不等式>的解集为　　　　.  答案　(1，+∞) 解析　因为0<a<1， 所以y=ax在R上是减函数， 又因为>， 所以2x2-3x+2<2x2+2x-3， 解得x>1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 1.若2x+1<1，则x的取值范围是(　　) A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(0，1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1) 答案　D 解析　∵2x+1<1=20，且y=2x是增函数， ∴x+1<0，∴x<-1. 2.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B=，则A∩B等于(　　) A.{1，2，3} B.{0，1，2} C.{-1，0，1} D.{-1，0，1，2} 答案　C 解析　由<2x<4，解得-2<x<2， 所以B={x|-2<x<2}， 又A={-2，-1，0，1，2}，所以A∩B={-1，0，1}. 3.已知函数f(x)=2x-2-x+5，若f(m)=4，则f(-m)等于(　　) A.4 B.6 C.-4 D.-6 答案　B 解析　设g(x)=f(x)-5=2x-2-x，x∈R， 则g(-x)=2-x-2x=-g(x)，即g(x)是奇函数， 故g(m)+g(-m)=0，即f(m)-5+f(-m)-5=0，即f(m)+f(-m)=10， 因为f(m)=4，所以f(-m)=6. 4.函数y=ax(a>0且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在[0，1]上的最大值是(　　) A.6 B.1 C.3 D. 答案　C 解析　函数y=ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0+a1=3，解得a=2，因此函数y=2ax-1=4x-1在[0，1]上是增函数，当x=1时，ymax=3. 5.已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 答案　C 解析　因为函数y=0.8x是R上的减函数， 且0.7<0.9， 所以a=0.80.7>0.80.9=b. 又因为a=0.80.7<0.80=1，c=1.20.8>1.20=1， 所以c>a，故c>a>b. 6.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1)，且f(-2)>f(-3)，则a的取值范围是(　　) A.a>0 B.a>1 C.a<1 D.0<a<1 答案　D 解析　因为-2>-3，f(-2)>f(-3)， 又f(x)=a-x=，所以>， 所以>1，所以0<a<1. 7.(5分)不等式23-2x<0.53x-4的解集为　　　　.  答案　{x|x<1} 解析　原不等式可化为23-2x<24-3x， 因为函数y=2x是增函数， 所以3-2x<4-3x，解得x<1， 则不等式的解集为{x|x<1}. 8.(5分)函数y=的定义域是　　　　.  答案　[4，+∞) 解析　由题意得2x-1-8≥0，即2x-1≥8=23， ∴x-1≥3，解得x≥4. 9.(10分)比较下列各题中数的大小： (1)1.11.1，1.10.9；(2分)(2)0.1-0.2，0.10.9；(2分) (3)30.1，π0.1；(2分)(4)1.70.1，0.91.1；(2分) (5)0.70.8，0.80.7.(2分) 解　(1)因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9， 故1.11.1>1.10.9. (2)因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9， 故0.1-0.2>0.10.9. (3)指数函数y=3x与y=πx的大致图象如图，由图知30.1<π0.1. (4)因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1， 故1.70.1>0.91.1. (5)取中间值0.70.7，由指数函数y=0.7x和y=0.8x的图象(图略)可知0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(同理，也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7). 10.(12分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)<g(3x)，求x的取值范围. 解　设f(x)=ax(a>0且a≠1)， 因为f(3)=8，所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x， 又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称， 所以g(x)=， 因此由g(2x-1)<g(3x)，即<， 得2x-1>3x，解得x<-1. 所以x的取值范围为(-∞，-1). 11.设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则(　　) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 答案　D 解析　40.9=21.8，80.48=21.44，=21.5， 由于y=2x在R上是增函数， 所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2. 12.已知函数f(x)=且对于任意的x1，x2，都有>0(x1≠x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，2] B.(1，3] C.[1，+∞) D. 答案　B 解析　依题意可知函数f(x)= 在(-∞，+∞)上是增函数， 则解得1<a≤3. 故实数a的取值范围是(1，3]. 13.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2x-2，则不等式x[f(x)-2f(-x)]<0的解集是(　　) A.(-1，1) B.(-1，0)∪(0，1) C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-∞，-3)∪(-1，1)∪(3，+∞) 答案　B 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以x[f(x)-2f(-x)]=x[f(x)+2f(x)]<0，即xf(x)<0， 当x>0时，f(x)=2x-2为增函数， 令f(x)=0可得x=1， 结合函数为奇函数，可作出f(x)的图象，如图所示， 由xf(x)<0可得或 由图象解得0<x<1或-1<x<0， 故原不等式的解集为(-1，0)∪(0，1). 14.(5分)若函数f(2x)的定义域为[0，2]，则函数f(41-x)的定义域为　　　　.  答案　[0，1] 解析　对于f(2x)，因为0≤x≤2， 所以由y=2x的单调性得20≤2x≤22， 即1≤2x≤4， 对于f(41-x)，有1≤41-x≤4， 即40≤41-x≤41， 由y=4x的单调性得0≤1-x≤1，解得0≤x≤1， 所以f(41-x)的定义域为[0，1]. 15.设x<0，且1<bx<ax，则(　　) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<a D.1<a<b 答案　B 解析　∵1<bx<ax，x<0， ∴0<a<1，0<b<1. 又当x=-1时，<， 即b>a，∴0<a<b<1. 16.(13分)已知函数f(x)=x3. (1)求函数的定义域；(3分) (2)讨论f(x)的奇偶性；(5分) (3)求证：对定义域内的所有x，f(x)>0.(5分) (1)解　要使函数f(x)有意义，则2x-1≠0，即x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. (2)解　由(1)知f(x)的定义域关于原点对称. ∵f(x)=x3=·x3， ∴f(-x)=·(-x)3 =·(-x)3=·x3=f(x)， ∴函数f(x)是偶函数. (3)证明　∵函数f(x)是偶函数， ∴只要证明当x>0时，f(x)>0即可. 当x>0时，2x-1>0，此时x3>0， 即f(x)>0成立， ∴对定义域内的所有x，f(x)>0. 学科网（北京）股份有限公司 $