第4章 4.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

第2课时　指数函数的图象与性质的应用

学习目标　1.能够利用指数函数的图象和性质比较大小、解不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.

一、利用指数函数性质比较大小

例1　(课本例1)利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

(1)0.8-0.1与0.8-0.2；

(2)2.5a与2.5a+1.

解　(1)因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y=0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1<0.8-0.2.

(2)因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y=2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a<a+1，所以2.5a<2.5a+1.

例1　比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5与1.53.2；

(2)与；

(3)1.50.3与0.81.2.

解　(1)∵函数y=1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，

∴1.52.5<1.53.2.

(2)指数函数y=与y=的图象(如图)，

由图知>.

(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1，

而0.81.2<0.80=1，

∴1.50.3>0.81.2.

反思感悟　比较指数式大小的3种类型及处理方法

跟踪训练1　比较下列各组数的大小：

(1)0.8-0.1与1.250.2；

(2)1.70.3与0.93.1；

(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1).

解　(1)∵0<0.8<1，

∴y=0.8x在R上是减函数.

∵-0.2<-0.1，

∴0.8-0.2>0.8-0.1，

而0.8-0.2==1.250.2，

即0.8-0.1<1.250.2.

(2)∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，

∴1.70.3>0.93.1.

(3)a0.5与a0.6可看作指数函数y=ax的两个函数值.

当0<a<1时，函数y=ax在R上是减函数.

∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6；

当a>1时，函数y=ax在R上是增函数.

∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6.

综上所述，当0<a<1时，a0.5>a0.6；

当a>1时，a0.5<a0.6.

二、利用指数函数性质解不等式

例2　(1)(课本例2)已知实数a，b满足>，试判断6a与6b的大小.

解　因为函数y=在实数集R上是减函数，所以由>可知a<b.又因为y=6x在实数集R上是增函数，所以6a<6b.

例2　(1)若不等式<成立，则实数x的取值范围是　　　　. 

答案　(-3，1)

解析　由于<等价于<5-x，

又y=5x为增函数，

故x2+x-3<-x，

即x2+2x-3<0，解得-3<x<1.

即实数x的取值范围是(-3，1).

(2)解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1).

解　①当0<a<1时，y=ax在R上是减函数，

∵a2x+1≤ax-5，

∴2x+1≥x-5，解得x≥-6.

②当a>1时，y=ax在R上是增函数，

∵a2x+1≤ax-5，

∴2x+1≤x-5，解得x≤-6.

综上所述，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥-6}；

当a>1时，不等式的解集为{x|x≤-6}.

反思感悟　指数型不等式的解法

(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法：

当a>1时，f(x)>g(x)；

当0<a<1时，f(x)<g(x).

(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1=a0(a>0且a≠1)，a-x=(a>0且a≠1)等.

跟踪训练2　(1)已知不等式≤3x<27，则x的取值范围为(　　)

A. B.

C.R D.

答案　A

解析　由题意可得≤3x<33，再根据函数y=3x在R上是增函数，可得-≤x<3.

(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x，则x的取值范围是　　　　. 

答案