第4章 2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）

4．2.3　对数函数的性质与图象 第2课时　对数函数的性质与图象的应用 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 3 一　对数函数单调性的应用 角度1　比较对数值的大小 [例1] (对接教材例1)比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2； 【解】因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2. 返回导航 (2)loga3.1，loga5.2(a＞0且a≠1)； 【解】当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2. 综上所述，当a>1时，loga3.1<loga5.2； 当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2. 返回导航 (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3. 【解】因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且π＞3， 所以log3π＞log33＝1. 同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3. 返回导航 比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较； (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论； (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较； (4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． 返回导航 角度2　求解对数型不等式 [例2] (对接教材例2)解下列关于x的不等式： (1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)； 返回导航 (2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0且a≠1). 综上可知，当a＞1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}． 返回导航 常见对数型不等式的解法 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． 返回导航 角度3　求对数型函数的值域(最值) [例3] (1)已知函数f(x)＝lg (x2＋1)，x∈[－1，3]，则f(x)的值域为(　　) A．[0，＋∞) B．[0，1) C．[lg 2，1] D．[0，1] √ 【解析】因为x∈[－1，3]，所以x2＋1∈[1，10]， 所以f(x)＝lg (x2＋1)∈[0，1].故选D. 返回导航 (2)设函数f(x)＝(log2x)2－4log2x＋3，x∈[1，16]，则f(x)的值域为________． 【解析】因为x∈[1，16]，令t＝log2x∈[0，4]， 则f(t)＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1∈[－1，3]. 故函数f(x)的值域为[－1，3]. [－1，3] 返回导航 求对数型函数值域(最值)的方法 (1)对于形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数． ②求f(x)的定义域． ③求u的取值范围． ④利用y＝logau的单调性求解． (2)当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化． 返回导航 √ 返回导航 (2)(2025·呼和浩特月考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2. ①若f(x)>0，求实数x的取值范围； 解：函数f(x)＝log2(x＋1)－2， 因为f(x)>0，即log2(x＋1)－2>0， 所以log2(x＋1)>2，所以x＋1>4， 所以x>3，所以实数x的取值范围是(3，＋∞). 返回导航 ②若x∈(－1，3]，求f(x)的值域． 解：因为x∈(－1，3]，所以x＋1∈(0，4]， 所以log2(x＋1)∈(－∞，2]， 所以log2(x＋1)－2∈(－∞，0]. 所以当x∈(－1，3]时，f(x)的值域为(－∞，0]. 返回导航 二　研究对数型函数的单调性 [例4] (1)函数f(x)＝ln (x2－8x＋12)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，6) C．(2，＋∞) D．(6，＋∞) 【解析】对于函数f(x)＝ln (x2－8x＋12)，有x2－8x＋12＞0，解得x＜2或x＞6， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(6，＋∞)， 因为内层函数u＝x2－8x＋12在区间(－∞，2)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，外层函数y＝ln u为增函数， 故函数f(x)＝ln (x2－8x＋12)的单调递增区间为(6，＋∞). √ 返回导航 (2)设f(x)＝log0.5[(m－1)x－2m＋3]在(1，＋∞)内单调递减，则m的取值范围为________． (1，2] 返回导航 求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域； (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性求出单调区间． 注意　要注意对底数进行分类讨论． 返回导航 [跟踪训练2] (1)函数y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上的单调性为(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 解析：当x＞2时，函数f(x)＝log2|x－2|＝log2(x－2).又函数u＝x－2在区间(2，＋∞)上单调递增，y＝log2u是增函数，故y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上单调递增．故选C. √ 返回导航 (2)若函数f(x)＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在区间(1，3)上单调递增，则实数a的 取值范围是____________． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2)若f(x)＋ln 9<f(－x)，求x的取值集合． 返回导航 解对数函数综合性问题的注意点 (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提． (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． 返回导航 [跟踪训练3] (2025·北京月考)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)＋ax是偶函数． (1)求实数a的值； 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 1．(教材P30T6改编)若a＝log0.57，b＝log27，c＝0.37，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b 解析：a＝log0.57＜log0.51＝0，b＝log27＞log22＝1，0＜c＝0.37＜0.30＝1，因此a＜c＜b.故选D. √ 返回导航 √ √ √ 返回导航 解析：对于A，B，由1－x＞0，得x＜1，则f(x)的定义域为(－∞，1)，值域为R，A，B均正确； 对于C，f(－1)＋f(－4)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，C正确； 对于D，f(x2)＝lg (1－x2)，外层函数y＝lg u为增函数，u＝1－x2，令1－x2＞0，所以函数u的定义域为(－1，1)，内层函数u＝1－x2在(－1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，所以y＝f(x2)的单调递增区间为(－1，0)不是(0，1)，D错误． 返回导航 返回导航 4．(教材P30T7改编)已知f(x)＝loga(1＋3x)－loga(1－3x)(a＞0且a≠1). (1)求f(x)的定义域； 返回导航 (2)判断f(x)的奇偶性； 解：由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝loga(1－3x)－loga(1＋3x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 返回导航 (3)求使f(x)＞0的x的取值范围． 返回导航 返回导航 1．已学习：(1)对数值的大小比较．(2)利用单调性解对数不等式．(3)求对数型复合函数的单调区间或值域．(4)对数函数的综合应用． 2．须贯通：常考分类讨论函数单调性，比较大小和解对数不等式，利用换元法解决复合函数的单调性及最值问题． 3．应注意：求对数型复合函数的单调性易忽视定义域． 返回导航 $