第4章 1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

4．1.2　指数函数的性质与图象

第1课时　指数函数的概念、性质与图象

同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，设折叠x次后对应的层数为y.

思考1　折叠5次后有多少层？

提示：y＝25＝32(层).

思考2　折叠x次后y与x之间存在什么关系？

提示：y＝2x.

思考3　对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数x有什么关系？

提示：S＝.

[知识梳理]

一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1．

[例1] (1)(多选)下列函数中，是指数函数的为(　　)

A．y＝0.75x　　　　　    B．y＝(－0.75)x

C．y＝x5    D．y＝()x

(2)已知指数函数y＝(2b－3)ax的图象经过点(1，2)，则a＝________，b＝________．

【解析】　(1)形如y＝ax(a>0，且a≠1)形式的为指数函数，以上满足条件的为A，D.

(2)由指数函数定义可知2b－3＝1，解得b＝2.将点(1，2)代入y＝ax，得a＝2.

【答案】　(1)AD　(2)2　2

　

判断是否为指数函数的方法

先对函数解析式进行适当变形，变形后从指数函数解析式的三个特征进行分析．

(1)ax的系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数a.

(3)自变量x为指数．

 [跟踪训练1] (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)

A．a＝1或－1    B．a＝1

C．a＝－1    D．a＞0且a≠1

解析：选C.因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，所以解得a＝－1.

(2)已知函数f(x)是指数函数，且f(－)＝，则f(3)＝________．

解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，由f(－)＝得a＝＝＝5，则a＝5，f(x)＝5x，f(3)＝53＝125.

答案：125

思考　给出指数函数y＝2x与y＝()x，如何作出它们的图象？

提示：依次进行列表、描点、连线三个步骤，作出下列图象：

 [知识梳理]

函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象

[例2] (1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)

A．a<b<1<c<d   

B．b<a<1<d<c

C．1<a<b<c<d   

D．a<b<1<d<c

(2)若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)

A．0＜a＜1，且b＞0   

B．a＞1，且b＞0

C．0＜a＜1，且b＜0   

D．a＞1，且b＜0