专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学新教材人教版九年级下册

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型（共边共角）是相似三角形最核心工具模型，在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率。普通母子型依靠公共角+一组等角建立线段平方乘积关系；射影定理是直角条件下特殊母子组合。该模型最大价值就是把分散线段转化等积式；学习重点不在于背诵公式，而在于复杂图形中识别“公共角+一组等角”结构，大题规范书写相似证明过程，避免步骤失分。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏泰州·二模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点．连接，若，，，，则 ． 【典例2】（2025·山东济南·二模）如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26九年级下·安徽黄山·期中）如图，是的斜边上的高，，，与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【典例4】（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【典例5】（25-26九年级上·广东·期末）如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． (1)求证：；(2)若，，则的长为 ． 【典例6】（24-25九年级下·安徽宣城·校考期中）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点。(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 【典例7】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 【典例8】（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1．（2026·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,．∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 2．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 5．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长． 6．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，(1)求证：；(2)若，求线段长． 1．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为 （结果保留根号）． 3．（2026·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． (1)求证：．(2)当时，求的值． 4．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结．(1)求证：．(2)若，，求的长． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，．(1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 6．（2026·湖北·校考一模）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：；          （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且，，，求DE的长；（3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点，，，．请直按写出的值． 1．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ． 2．（2025·湖北武汉·三模）数学实验能增强学习数学的乐趣，还能经历知识再创造的过程，更是培养动手能力，创新能力的手段．小强在学习《相似》一章中对“两个角对应相等的两个三角形相似”这一判定产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点D为边上一点，连接． (1)初步探究：如图1，若，求证：； (2)尝试应用：如图2，在（1）的条件下，若点D为中点，，求的长； (3)创新提升：如图3，点E为中点，连接，若，，，求的长． 3．（25-26九年级上·吉林·期末）【初识模型】（1）如图①，在中，点在边上，连接，点在上，连接，且，，求证：； 【尝试应用】（2）如图②，在中，、交于点，点在线段上，连接，且，，若，，求的长； 【拓展提升】（3）如图③，在菱形中，、交于点，为的中点，点在边上，连接、、，延长、交于点，若，，，则菱形的边长为_____． 4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在绕点旋转的过程中，试证明恒成立； (3)若，，请直接写出的长． 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． (1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；(2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；②若，，则= ． 6．（2026·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维． 【设置情景】王老师给出了如下几何图形： “如图1，已知中，点D为边上一点，点E为外一点，连接．此时我们假设这个几何图形满足的数量关系．” 【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答． （1）“若，，再给出和的长度，可以求出的长度．”为了简化计算，王老师提出令，，，求的长（结果无需化简）； （2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，令点E在上运动，将条件“”改为了“”，其他条件不变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答． 【拓展探索】“如图2，已知中，点D为边上一点，点E为上一点，，若，探究、、的数量关系，并证明． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型（共边共角）是相似三角形最核心工具模型，在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率。普通母子型依靠公共角+一组等角建立线段平方乘积关系；射影定理是直角条件下特殊母子组合。该模型最大价值就是把分散线段转化等积式；学习重点不在于背诵公式，而在于复杂图形中识别“公共角+一组等角”结构，大题规范书写相似证明过程，避免步骤失分。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏泰州·二模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点．连接，若，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，，∴，∵∴ ∵∴即∵，∴故答案为： 【典例2】（2025·山东济南·二模）如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线，点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ，点是的中点，是的中位线，，故A选项正确； 由作图可知是的垂直平分线，，， 是的中位线，，， ，， 在中，，，， ，故B选项正确；是的垂直平分线，， ，，，，，， ，，，， ，，，故C选项正确； ，设，，则，， 整理得：，或(不符合题意，舍去)， ，故D选项错误．故选：D． 【典例3】（25-26九年级下·安徽黄山·期中）如图，是的斜边上的高，，，与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴，，，∴， ∴，∴，即，解得：， ∴与的面积之比，故选：C． 【典例4】（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析(2)图见解析(3)或 【详解】（1）证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆；③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动，∴，由（1）可知：， ∵，∴． （3）①当时，如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，此时， ∵，且，， 在中，， 在中，，； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【典例5】（25-26九年级上·广东·期末）如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． (1)求证：；(2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：∵平分，，∴， ∵，∴，∵，， ∴，又∵，∴； （2）解：设，则，， ∵，∴，∴，∴（负值舍去），∴，故答案为： 【典例6】（24-25九年级下·安徽宣城·校考期中）如图，在中，，是高，平分，分别与相交于点。(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，， 为边上的高，，，， 是的平分线，， （2）证明：，，， ，，，，， （3）解：如图，作于，， ，， ， ，，，， ，，， 得，∴，∴， 由（2）知，即，又∵， ∴，∴（负值舍去），，∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∵，，∴ ∴，∴． 【典例7】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 【答案】(1)，(2)①相似，见解析；；②， 【详解】（1）解：如图： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）①如图：是等腰直角三角形，，，， ，，即， ，，∴，； ②过作交的延长线于，如图： 设．， 而，是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去），． 【典例8】（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴，∴； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示：则，∴， ∵，∴，， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即，解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形，∴，，， ∵，∴，∴，即， ∵，∴，∴，∵，∴， ∴，∵，∴，∴，解得：，负值舍去， ∴，∴， ∵，∴为直角三角形，， ∴，∴在中根据勾股定理得： ，∴， ∵，∴，∴，即，解得：． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1．（2026·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,．∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意，故选：B． 2．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，，的周长为，∴，解得：，故选：A． 3．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，由作图可知：，为的角平分线， ，故A正确，，， ，，，，，故D正确， ，，，，即， 整理得：，，，，故B错误， ，，，，， ，，，，故C正确．故选：B． 4．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∴由作图可得是的角平分线，∴ ∵∴∵∴ ∴∴， ∵的面积为，∴的面积为，故答案为：． 5．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴，∴，∴ 又∵∴， （2）∵∴，又∴． 6．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E， (1)求证：；(2)若，求线段长． 【答案】(1)见解析(2)线段长为5 【详解】（1）证明：∵是的平分线，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴ ，∴，又∵，∴． （2）解：∵ ，∴， 由（1）得，∴，∴， ∴，∴线段长为5． 1．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：设，∵，，∴， 由折叠的性质知，∴，，， ∴，∴，则， ∵，，∴， ∴，即，整理得， 解得，∴，故答案为：． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，点是线段的黄金分割点（），若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵，，∴， ∴，∴，，∴ 又∵，∴，∴，即， ∴点是线段的黄金分割点，∴，故答案为：． 3．（2026·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． (1)求证：．(2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由题意得：，，， 平分，，； （2）解：， ，，，． 4．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：．(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 在与中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，．(1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得， ，为等边三角形； （2）证明：为等边三角形，，， ，， ，，而，； （3）解：为等边三角形，， ，，即，解得． 6．（2026·湖北·校考一模）（1）如图1，在中，D为AC边上一点，，求证：；          （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，点F在AB边上，且，，，求DE的长；（3）如图3，在正方形ABCD中，点F在AB边上，点E为正方形ABCD外一点，，，．请直按写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的值为 【详解】（1）证明：在与中， ，，，，； （2）如图：延长与的延长线相交于点，       ，，， 在中，，，， 在与中，，，，， 点是边上的中点，，在与中， ，，，， ，，，， ，即，，； （3）如图3，设正方形边长，则， ，，设交于，设，，， 是等腰直角三角形，，，，， ，，即，， 又，，，， 又，，， ，， 解得：，此时，舍去； ，． 1．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ． 【答案】 4 / 【详解】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形， ∴，，∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，，∵，∴， ∴，∴设，，则：，， ∴，∴， ∴在中，，由勾股定理，得：， ∴（负值舍去），∴，， ∵，，，∴， 又∵，∴，∴， ∴，，∴， 解得：（舍去）或；故答案为：4，． 2．（2025·湖北武汉·三模）数学实验能增强学习数学的乐趣，还能经历知识再创造的过程，更是培养动手能力，创新能力的手段．小强在学习《相似》一章中对“两个角对应相等的两个三角形相似”这一判定产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点D为边上一点，连接． (1)初步探究：如图1，若，求证：； (2)尝试应用：如图2，在（1）的条件下，若点D为中点，，求的长； (3)创新提升：如图3，点E为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图2， ，，，，． (2)2 (3) 【详解】（1）略 （2）解：如图3，设，点D为中点，，， 由（1）得，， 或（不符合题意，舍去）， 的长是2． （3）解法一：如图4，作交的延长线于点F，则； 点E为中点，，设， ．，． ， ，， ， 作交的延长线于点H，则， ，，， ，，， ，，， ，，， ，解得，，的长是． 解法二：如图5，取中点M，连接、， 点E为中点，是的中位线，， ，，， ，、 ，即，， ，，，， 设，则，， ，的长是． 3．（25-26九年级上·吉林·期末）【初识模型】（1）如图①，在中，点在边上，连接，点在上，连接，且，，求证：； 【尝试应用】（2）如图②，在中，、交于点，点在线段上，连接，且，，若，，求的长； 【拓展提升】（3）如图③，在菱形中，、交于点，为的中点，点在边上，连接、、，延长、交于点，若，，，则菱形的边长为_____． 【答案】（1）证明：，，， ，． （2）；（3）． 【详解】（1） 略 （2）四边形为平行四边形，，， ，，， ，， ，，设， ，，，， 解得(负值已舍去),，故． （3）设，，为中点，四边形为菱形， ，，， ，，， ，，解得（负值舍去）， ，，所以菱形的边长为． 4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）在中，，，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在绕点旋转的过程中，试证明恒成立； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵在中，，，是中线， ∴是的角平分线，∴， ∵， ∴，∴， 在与中，，∴，∴． (2)证明：∵，， ∵，， ∴，∴，∴，∴． (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：过点D，E分别作垂足分别为H，G， ∵，，由（2）知，， ，， ∵，，， ，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，解得：． ． 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． (1)如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；(2)如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；②若，，则= ． 【答案】(1) (2)①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分，，，，． ② 【详解】（1）解：平分，，， ，，，， 是的中点，，，，． （2）解：① 略 ②平分，，由①知， ，，，解得， 不符合题意，舍去，． 6．（2026·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维． 【设置情景】王老师给出了如下几何图形： “如图1，已知中，点D为边上一点，点E为外一点，连接．此时我们假设这个几何图形满足的数量关系．” 【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答． （1）“若，，再给出和的长度，可以求出的长度．”为了简化计算，王老师提出令，，，求的长（结果无需化简）； （2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，令点E在上运动，将条件“”改为了“”，其他条件不变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答． 【拓展探索】“如图2，已知中，点D为边上一点，点E为上一点，，若，探究、、的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）[拓展探索] 【详解】解：（1）如图，作，，过P作交延长线于H， ∵，∴， 在和中，，∴，∴； 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴， 在中，，∴，则， 在中，，∴，∴； （2）[拓展探索]． 证明：如图，延长到P，使，连接，在取一点H，连接，使， ∴，，∵，又， ∴，∴，则， 设，则， ∵，又， ∴，又，∴，∴，又， ∴，∴，， ∵，即，∴，∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $