专题02 相似三角形的判定和性质问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形的判定和性质问题的六类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判定两三角形是否相似 题型二、利用相似三角形的性质求解 题型三、利用相似三角形的性质多解问题 题型四、利用相似三角形的性质多结论问题 题型五、相似三角形的判定和性质综合问题 题型六、利用相似三角形测高问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：涉及证三角形相似、求线段长或角度、面积比与周长比，常与平行线、比例及函数结合。 ·解题方法：判定用“两角相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”；直角三角形可用斜边直角 边；性质用对应边成比例、对应角相等、面积比等于相似比平方。 ·易错提醒：找错对应边角；判定中“夹角”非对应夹角；面积比误用相似比；忽略相似比与周长比一致。 ◆ ◆◆ 同题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判定两三角形是否相似 典例1 (2026九年级上·全国·专题练习)能判定△ABC∽△A'B'C的条件是() AB AC A AB-AB AB'A'C" B.AC=AC且LA=∠A 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB A'B' AB C. BC=AC且∠B=∠C D. AC ArB=A'C且∠B=∠B 题型模版 1.特征：两个三角形边角关系部分己知，判断是否相似，需用相似判定定理(AA、SAS、SSS)。 2方法：找两组角相等(AA),或两边成比例且夹角相等(SAS),或三边成比例(SSS),满足其一即 相似。 变式1-1(26-27九年级上·上海闵行·阶段检测)下列条件中，不能判定△ABC和△DEF相似的是() A.∠A=∠D=70°，∠B=60°，∠E=50° B.∠A=∠D=70°，∠C=50°，∠E=50° C.∠A=∠D=70°，AB=12cm,AC=15cm,ED=16cm,DF=20cm D.∠A=∠D=70°，AB=12cm,AC=15cm,ED=16cm,EF=20cm 变式1-2(26-27九年级上四川成都阶段检测)如图，如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列一个条件后， 仍不能确定△ADE与△ABC相似的是() A.∠B=∠D B.∠C=∠AED AB DE AB AC C.ADBC D.AD AE 变式1-3(25-26八年级下山东淄博期末)如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,下列条件中，能 使△ABC△DBA的是() A.AC:BC=AD:BD B.AB2=CD·BC C.AB2=BD·BC D.AC:BC=AB:AD 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、利用相似三角形的性质求解 典例2(26-27九年级上·四川成都阶段检测)己知△ABC∽aDEF，SBc:Sr=1:4,△ABC的周长为 15cm,△DEF的周长为_cm 题型模版 1特征：已知两三角形相似，利用对应边成比例、对应角相等求边长或角度。 2方法：先确定对应边，列出相似比等式，代入已知长度或角度，解方程求未知量并验证对应关系。 变式2-1(26-27九年级上·陕西咸阳阶段检测)如图，ABCD中，E为CD的中点，连接AE与对角线BD SADO:=1 交于点0.若 则ABCD 的面积为」 变式2-2(26-27九年级上·宁夏银川阶段检测)如图，AD是△ABC的高，点P,Q在BC边上，点R在 AC 边上，点S在B边上， C=80.MD=60,四边形 PORS 是由两个并排放置的正方形所组成的矩形， 则矩形的面积为 变式2-3(26-27九年级上·贵州贵阳阶段检测)如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE 并延长交MB延长线于点G,过D作DF1AG于点R若2L1DF=∠G,CE:BE=21,MD=2M0 AF=2,GE=4,则BA的长度为 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、利用相似以三角形的性质多解问题 典例3(26-27九年级上河北石家庄阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,点 D为AB边的中点，点D沿折线DA-AC-CB以每秒1个单位长度运动到D',若沿DD将△ABC剪开，要 使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，则运动时间为秒， 0 D ◇ C 题型模版 1特征：相似三角形对应关系未明确（如对应顶点不确定），导致多种可能的解。 2方法：分类讨论对应顶点顺序，按不同相似比列比例式，分别求解并检验是否符合题意。 变式3-1(2026九年级上全国专题练习)如图，在Rt△4BC中， ∠C=90°，∠B=30°，AC=4,BC=4V5 点D是BC的中点，点E是边MB上一动点，沿DE所在直线把△BD BC 翻折到AB'DE 的位置，BD交AB于 点R若△AB 为直角三角形，则4E的长为一 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2(26-27九年级上河南南阳阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BC=V2, 点M,N分别是边BC,AB上的动点，沿N所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B始终落在边AC上， 若△MB'C与△ABC相似，则BM的长为一 变式3-3(26-27九年级上四川成都阶段检测)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°， B=6,D=2.BC=3,P为边上一动点，连接D,C.若aPMD与△PC AB 与 是相似三角形，则 AP= 题型四、利用相似以三角形的性质多结论问题 典例4(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点， 连接CE,EF=CE,交AB于点F,F为AB中点，连接CF,交BD于点G,FH⊥FG,FH与AC交 于H,①∠BEC=∠FCD;②BG+DE=EG;③BG=2AH;④CE2=EH·BE.其中正a确的是 D H 题型模版 1特征：题干给出多个关于相似三角形的结论，需逐一判断正误，综合性质与判定。 2方法：先证两三角形相似，再由对应边成比例、对应角相等逐一推导验证，或举反例排除错误结论。 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式41(25-26九年级上安徽六安期末)如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF,以 AF为对角线作正方形AEFG,连接DG,ACFG交于H.以下四个结论：①∠EAB=∠GAD:② △AFCn△AGD;③DG⊥AC:④若BF:BC=I:3,则AH:CH=4:3.其中所有正确结论的序号是： y D G 变式42(2026江苏宿迁中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,将AB、BC、CD、DA 分别绕点B、C、D、A逆时针旋转(O°<a<180),得到B、CB、DC'、AD,连接A'B、B'C'、 CD、DA. 下面四个结论： ①四边形AB'C"D'为平行四边形： ②AB⊥BC: ③当a=90°时，四边形A'B'CD'的面积为9； ④存在a,使得四边形A'B'CD'为矩形 D' B 其中正确结论的序号是 变式43(26-27九年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，等边△ABC中，AB=2,点D,E分别为BC, AC边上的点，连接AD,BE交于点F,且BD=CE,M为线段BE上一动点，则以下结论中正确的是 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (只填写序号即可)①△ABD≌ABCE;②CE2=DF·AF;③当AM⊥BE时， AF=2FM:①当点D为BC边中点时，AM+2BM的最小值为25. M B 题型五、相似三角形的判定和性质综合问题 典例5(26-27九年级上安徽宿州阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D. B (I)求证：△ABDACBA (2)若AB=20,CD=9,求BD长 题型模版 1特征：综合运用相似三角形判定(AA、SAS、SSS)与性质（对应边成比例、角相等）解题。 2方法：先找等角或成比例边证相似，再由相似比求线段长、角度或面积，结合勾股定理综合推导。 变式5-1(26-27九年级上河北石家庄阶段检测)如图，AB∥CD,AC与BD交于点E,且 AB=8,CD=24,AE=4, 7/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (I)求AC的长； (2)求证：∠ABE=∠ACB 变式5-2(26-27九年级上·上海金山阶段检测)如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC的中 点，连接AD,过点C作CE⊥AD于E,连接BE. D B (I)求证：BD2=DE·AD (2)如果∠ABC=∠DCE,求证：BD.CE=BE·DE. (3)如果 AC=5 CE=1. 直接写出线段BD的长 变式5-3(26-27九年级上·甘肃白银期中)如图，在矩形ABCD中，AD>AB,点P是对角线AC上的一 个动点（不包含A,C两点），过点P作EF⊥AC分别交射线AB,射线AD于点E,F. D D B ⊙ E 图(1) 图(2) 图(3) (I)求证：△AEF∽aBCA: AP (②)如图(2)，连接BP,若BP=AB,且F为AD的中点，求PC的值. 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、利用相似三角形测高问题 典例6(26-27九年级下·全国·课后作业)学习了相似三角形相关知识后，小明和小亮想利用“标杆”测 量大楼的高度.如图，小明站立在地面点F处，小亮在点B处竖立“标杆”AB,使得小明的头顶点E、 杆顶点A、楼顶点C在一条直线上，点F,B,D也在一条直线上.已知小明的身高EF=1.5m,“标 杆”AB=2.5m,BD=23m,FB=2m C 0 F B D (1)大楼的高度CD为多少米(CD垂直于地面BD)? (2)小明站在原来的位置，小亮通过移动“标杆”AB,用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5m。 那么相对于第一次测量，“标杆”AB应该向大楼方向移动 m. 题型模版 1特征：利用影长、镜面反射或标杆构造相似三角形，间接测量物体高度。 2方法：构造两个相似直角三角形，确定对应边，列相似比等式，代入已知长度解出待测高度。 变式6-1(26-27九年级上·四川成都阶段检测)为响应国家“乡村振兴”与节能减排号召，某乡镇在乡村 旅游道路上，安装一批太阳能路灯，既方便村民夜间出行，也助力乡村夜景打造.如图AB是一种新型太 阳能路灯，己知太阳能路灯AB与墙OP相距18米，身高1.6米的小明在离路灯3米的D处时，测得自身影 长DG为1米 E B DG (1)求路灯AB的高度； (2)小明沿着DO走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是多少米. 变式6-2(26-27九年级上·北京·阶段检测)根据背景素材，探究解决问题. 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测算广告牌的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线 分别位于法线两侧；入射角i等于反射角”，这就是光的反射定律， 法线 反射光线 D 入射光线 反射面 B 光的反射定律 F E 图1 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点A处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜 子看到广告牌顶端D,测出 AF =2.5 m m,再将镜子移动全F处，恰好通过镜子看到广告牌的底端C,测 4B=1.5m FF=0.5m AE=15m 出小军的眼睛离地面的距离 求这个广告牌CD的高度。 变式6-3(26-27九年级上·辽宁沈阳期中)图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光 路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB, 光线CE经过凸透镜MN后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D,其中四边形AOEC是矩形， DB⊥AB,MN⊥AB M FB i本i布 0cm102030405060708090100 D 图1 图2 (1)将长为15厘米的蜡烛AC进行移动，使物距OA为30厘米，光线C0传播方向不变，移动光屏，直到光 屏上呈现一个清晰的像BD,测得此时的像距OB为12厘米，求像BD的长度： (2)在(I)的条件下，已知光线CE平行于主光轴'，经过凸透镜MN折射后通过焦点F,则凸透镜焦距 OF的长为 厘米 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 夙压轴挑战一攻克离染压抽， 突破思维上限 一、单选题 1.(25-26八年级下·上海青浦期中)下列条件中，不能判定△ABC∽aAB'C'的是() AB BC AC A.∠A=∠，∠B=∠B B.AB-BC-4C AB BC AB AC C.AB=B'C',且∠B=∠B D.AB=AC,且∠C=∠C 2.(26-27九年级上陕西咸阳阶段检测)如图，己知△ABC∽aDAC,若∠B=30°、∠D=130°，则 ∠BCD的度数为() A.30° B.40° C.50° D.60° 0A+OC+AC_1 3.(26-27九年级上四川成都阶段检测)如图AB与CD交于点O,且AC∥BD,若OB+OD+BD2, 则下列说法不正确的是() A A.OA:OB=1:2 B.△AOCP△BOD 。.om-号n D.S。4oc:S0n=1:2 4.(26-27九年级下全国单元复习)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.将线段AD 沿射线AB方向平移，点A,D的对应点分别为点E,F,线段EF分别与OA,OD交于点G,H.当点 GH G是OA的中点时，AB的值为() 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E G H B 1 2 A.2 B青 C.4 D.4 5.(2026江苏连云港二模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°，AC的垂直平分线分别交AC, BC于点F,G,点H在BC上，且GC=GH,连结AG,AH,则下列说法中①AG=CG;② CG=5-1So=V5+1 ∠B=2∠HAB;③AC2:④SAC3.其中正确的有() H A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题 AB BC 6.(26-27九年级上全国课后作业)在△ABC与△AB'C中，有下列条件：①ABB'C;② BC AC B”C=ArC:③∠A=∠：④∠C=∠C,如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定 △ABC∽△AB'C'的共有 组 7.(26-27九年级上宁夏银川阶段检测)如图，将两块直角三角板△ABC与△BCD按如图方式放置， ∠ABC=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，两条斜边相交于点O,则△AOB与△COD的周长比为 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B C 8.(26-27九年级上上海阶段检测)△ABC中，BC=12,AD是BC边上的高且AD=8,P,N分别是 AB,AC O,M BC 接P2,MN,PN交AD于E.若四边形 OMN 边上的点， 是上的点，连 是正方形，则 PO 的长 E B 9.(26-27九年级上山东济南阶段检测)如图，D,E,F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF为 矩形，BC=6,∠A=30°.则矩形CDEF的面积的最大值是一· D B 10.(25-26九年级上·河南洛阳期中)阅读：点M是线段P9上一点，若线段PM长度是线段M№长度的 一半，则称点M是线段PO的一个三等分点.显然线段P的三等分点有两个， 探究：已知点E是正方形ABCD的对角线AC上的三等分点，连接DE并延长，交边BC所在直线于点M, 交边AB所在直线于点G.若AB=a,则AG= 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(26-27九年级上·全国单元测试)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点（不与点B,C 重合)，连接DE并延长，交AB的延长线于点F. D (I)求证：△CDE∽△AFD: (2)若BE:CE=1:2,且△BEF的面积为1，求四边形ABED的面积 12.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，且满足 ∠ADE=∠C B (I)求证：△ADEAACB: (2若AB=3,AE=1,Se=6求S边形m ，求 13.(25-26九年级上·全国课后作业)如下图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形 EFGH的一边FG在BC上，顶点E,H分别在AB,AC上.己知BC=40cm,AD=30cm B (I)求证：△AEH∽△ABC (2)求这个正方形的边长与周长 (3)若四边形EFGH是矩形，且EH=2EF,则EH的长为 14.(26-27九年级上四川成都阶段检测)如图，在菱形ABCD中，点E为AB边上一动点，点G为DE 边上一点，AG的延长线交BC于点F,且∠ABC=∠EGF. 14/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E G B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AE2=EG·ED: EG4 AG (②)如图2，若∠ABC=60°，DG5,求GF的值： BE 1 BF (3)如图3，己知30°<∠ABC<90,连接EF,EF平分∠4FB,若AEn,求CF的值.（请用含n的代 数式表示) 15.(26-27九年级上全国阶段检测)综合实践 D E E 图① 图② 图③ 【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F,易 证：△AED△BFE.(不需要证明) (I)【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F. ①求证：△AED∽△BFE: ②若AB=10,AD=6,E为AB的中点，求BF的长； (2)【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4.E为AB边上一点（点E不与点A, B重合)，连接CE,过点E作∠CEF=45°，交BC于点F.当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 15/15 专题02 相似三角形的判定和性质问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判定两三角形是否相似 题型二、利用相似三角形的性质求解 题型三、利用相似三角形的性质多解问题 题型四、利用相似三角形的性质多结论问题 题型五、相似三角形的判定和性质综合问题 题型六、利用相似三角形测高问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及证三角形相似、求线段长或角度、面积比与周长比，常与平行线、比例及函数结合。 - 解题方法：判定用“两角相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”；直角三角形可用斜边直角边；性质用对应边成比例、对应角相等、面积比等于相似比平方。 - 易错提醒：找错对应边角；判定中“夹角”非对应夹角；面积比误用相似比；忽略相似比与周长比一致。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判定两三角形是否相似 典例1 （2026九年级上·全国·专题练习）能判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定定理解答即可． 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：∵ ∴， 有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意； 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意； 题型模版 1.特征：两个三角形边角关系部分已知，判断是否相似，需用相似判定定理（AA、SAS、SSS）。 2.方法：找两组角相等（AA），或两边成比例且夹角相等（SAS），或三边成比例（SSS），满足其一即相似。 变式1-1（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）下列条件中，不能判定和相似的是（     ） A．，， B．，， C．，，，， D．，，，， 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定条件逐一验证，注意两边成比例时相等的角需为夹角． 【详解】解：A、，， ， ， ，不符合题意； B、，，， ， ，不符合题意； C、，， ， 又， ，不符合题意； D、，， ，但是与的夹角，是与的夹角，不是与的夹角，不能判定与相似，符合题意． 变式1-2（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 变式1-3（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 题型二、利用相似三角形的性质求解 典例2 （26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，，的周长为，的周长为______． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质，由面积比求出相似比，再根据周长比与相似比的关系，结合已知的周长计算的周长． 【详解】解：∵，. ∴两三角形的相似比为. ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：已知两三角形相似，利用对应边成比例、对应角相等求边长或角度。 2.方法：先确定对应边，列出相似比等式，代入已知长度或角度，解方程求未知量并验证对应关系。 变式2-1（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，为的中点，连接与对角线交于点．若，则的面积为_________． 【答案】12 【分析】先根据平行四边形的性质和对顶角相等证明，从而推出和 ，结合已知条件即可求出，再利用等高时，边长比等于面积比即可求出，从而求出，即可求出面积． 【详解】解：在中，为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 变式2-2（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________． 【答案】1152 【分析】设正方形边长为x，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得到，然后利用矩形面积公式求解． 【详解】解：设正方形边长为x，则，， ∵ ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴矩形面积． 变式2-3（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，点D、E在、边上，连接并延长交延长线于点G．过D作于点F．若，，，，，则的长度为___________． 【答案】9 【分析】设，利用三角形内角和及已知条件推导，判定为等腰三角形；利用勾股定理求出及的长，进而求得；过点作交于点，利用相似三角形性质求，再证即可求解 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，，， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，过点作交于点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三、利用相似三角形的性质多解问题 典例3 （26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，点为边的中点，点沿折线以每秒1个单位长度运动到，若沿将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，则运动时间为______秒． 【答案】或或 【分析】根据勾股定理求出的长，确定和的长．分两种情况讨论：当点在上时，剪下的三角形为；当点在上时，剪下的三角形为．利用相似三角形的判定和性质，结合公共角和直角条件，列出比例式求出或的长，进而计算运动路程和时间． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 分两种情况讨论： （１）当点在上时，剪下的三角形为； ∵为公共角，要使与相似 ， ∴ 需满足或 ． ①若，则 ，如图： ∴即， 解得 ， 此时运动路程为，时间秒 ； ②若，则 ，如图： ∴，即 ， ∴解得   ， 此时运动路程为，时间秒 ； （２）当点在上时，剪下的三角形为， ∵为公共角，要使与相似 ， ∴ 需满足或． ①若，则 ，如图： ∴即， 解得， 此时在上，距离点，距离点， 运动路程为，时间秒 ； ②若，则，如图： ∴即， 解得， ∵， ∴此时点不在边上，故舍去 ． 综上所述，运动时间为或或秒． 题型模版 1.特征：相似三角形对应关系未明确（如对应顶点不确定），导致多种可能的解。 2.方法：分类讨论对应顶点顺序，按不同相似比列比例式，分别求解并检验是否符合题意。 变式3-1（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点D是的中点，点E是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F．若为直角三角形，则的长为_____． 【答案】6或 【分析】首先根据题意以及含30度角的直角三角形的性质，可得，，由折叠的性质可得．分两种情况讨论：①当时，则，证明，结合相似三角形的性质解得，设，结合含30度角的直角三角形的性质可得，进而解得，即，即可求得的长度；②当时，作交的延长线于H，连接，设，证明，易得，在中，可得，，利用勾股定理解得的值．即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 由折叠的性质得：， 分两种情况讨论： ①如下图，当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ，解得 ， 设， ∵在中，， ∴， ∴，解得，即， ∴； ②如下图，当时，作交的延长线于H，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 在中， ∵， ∴， 解得，即． 综上所述，满足条件的的值为6或． 变式3-2（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点B的对应点始终落在边AC上，若与相似，则BM的长为_____． 【答案】或 【分析】根据折叠的性质，分两种情况讨论与相似，当时，点与点重合，点是的中点，可直接求得的长；当时，由相似可以得到是等腰直角三角形，设，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：情况一：如图，当时，，此时，点与点重合， ，， 是等腰直角三角形， 又， 点是的中点， ． 情况二：如图，当时，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 由勾股定理，， ， 解得，（舍去） 综上所述，的长为或． 变式3-3（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，，，，P为边上一动点，连接．若与是相似三角形，则________． 【答案】或或 【分析】分两种情况：或，结合相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴分两种情况：或， 设，则， 当时，， ∵，， ∴， 解得：， 此时； 当时，， ∵，， ∴， 解得：， 此时或； 综上所述，或或． 题型四、利用相似三角形的性质多结论问题 典例4 （26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，，交于点，为中点，连接，交于点，，与交于，①；②；③；④．其中正确的是__________． 【答案】①③④ 【分析】如图，过作于，过作于，记的交点为，证明，进一步可得①正确；设正方形的边长为，为的中点，可得，当成立，可得，则②错误；证明，进一步可得③正确；先求解，如图，过作于，证明，进一步可得④正确． 【详解】解：如图，过作于，过作于，记的交点为， ∴， 四边形是正方形， ，，，，， ∴，四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 设正方形的边长为，为的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 当成立， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确． 题型模版 1.特征：题干给出多个关于相似三角形的结论，需逐一判断正误，综合性质与判定。 2.方法：先证两三角形相似，再由对应边成比例、对应角相等逐一推导验证，或举反例排除错误结论。 变式4-1（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接交于H．以下四个结论：①；②；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是：______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，由正方形的性质可得，则由角的和差关系可判断①；利用勾股定理和正方形的性质得到，则可证明，再证明，则可证明，据此可判断②；延长交于点，由相似三角形的性质可得，则可证明，据此可判断③；设，则，，进而得到；求出 ；由相似三角形的性质得到，则，证明，得到，则，，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴； 由③可知是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 变式4-2（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，将、、、分别绕点、、、逆时针旋转，得到、、、，连接、、、． 下面四个结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③当时，四边形的面积为； ④存在，使得四边形为矩形． 其中正确结论的序号是____________． 【答案】①② 【分析】对于①：证明，则，，则，即可证明四边形为平行四边形；对于②：延长交于点，，那么，即可证明；对于③：先证明，同理，则可求，，，再相加即可求解四边形的面积；对于④：先证明，再证明，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 连接， 由旋转可得，， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， 同理， ∵， ∴ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形，故①正确； 延长交于点， ∴ ∴， ∴，即，故②正确； 当时，点共线，共线，共线，共线，如图， ∵由旋转以及矩形可得，， ∴ ∵ ∴，同理 ∴，， ∵ ∴，故③错误； 当四边形为矩形时， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 同上可得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，与上式矛盾，故④错误， 综上其中正确结论的序号是①②． 变式4-3（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，等边中，，点，分别为，边上的点，连接，交于点，且，为线段上一动点，则以下结论中正确的是_______________；（只填写序号即可）①；②；③当时，；④当点为边中点时，的最小值为． 【答案】①③/③① 【分析】结合等边三角形的性质即可证明，证明，得到，根据，可知不成立，根据全等三角形的性质求出，即，根据30度角的性质可知，作交于点N，作交于点G，根据30度角的性质可知，则，根据等边三角形的性质、30度角的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴，①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴不成立，②错误； ∵， ∴， ∴． 当时，在中，，则， ∴，③正确； 如图，作交于点N，作交于点G， 当为中点时，结合可知是中点， 此时， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为，④错误； 综上所述，正确的有①③． 题型五、相似三角形的判定和性质综合问题 典例5 （26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，，，垂足为． (1)求证： (2)若，，求长 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 即． 题型模版 1.特征：综合运用相似三角形判定（AA、SAS、SSS）与性质（对应边成比例、角相等）解题。 2.方法：先找等角或成比例边证相似，再由相似比求线段长、角度或面积，结合勾股定理综合推导。 变式5-1（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，与交于点，且． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)16 (2)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由得到，根据相似三角形的性质求出，即可求出； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （2）略 变式5-2（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图， 在中， ， 点是边的中点， 连接， 过点作 于 ， 连接． (1)求证: (2)如果， 求证： ． (3)如果 ， ， 直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质，即可证明； （2）由（1）得，变形为：，根据三角形的判定和性质，可得，得到，再根据相似三角形的判定，得到，推出，式子变形，即可证明； （3）设，推出，根据勾股定理分别求出，，得到，设，求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴； ∵ ， ∴； ∴， 设， ∴， 整理可得：， 解得： ∴， ∵， ∴， ∴． 变式5-3（26-27九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． (1)求证：； (2)如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）先根据同角的余角相等证明，然后再结合一组相等的直角即可证明； （2）先证明，再证明和，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ∴， ， 如图，设交于， 四边形是矩形， ，， ∴ ， ， ， ∴， ， ， ∴， ． 题型六、利用相似三角形测高问题 典例6 （26-27九年级下·全国·课后作业）学习了相似三角形相关知识后，小明和小亮想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小亮在点处竖立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上，点，，也在一条直线上．已知小明的身高，“标杆”． (1)大楼的高度为多少米（垂直于地面）? (2)小明站在原来的位置，小亮通过移动“标杆”，用同样的方法测得楼上点的高度，那么相对于第一次测量，“标杆”应该向大楼方向移动______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的判定和性质，分别求出，，根据相似三角形的判定和性质，可得，根据相似比，求出，根据，即可； （2）连接，过点作，交于点，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质，得到，求出，再根据，即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形都是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴大楼的高度为． （2）解：如图，连接，过点作，交于点，过点作于点，交于点， ， ， ， ， ， ∴“标杆”应该向大楼方向移动． 题型模版 1.特征：利用影长、镜面反射或标杆构造相似三角形，间接测量物体高度。 2.方法：构造两个相似直角三角形，确定对应边，列相似比等式，代入已知长度解出待测高度。 变式6-1（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）为响应国家“乡村振兴”与节能减排号召，某乡镇在乡村旅游道路上，安装一批太阳能路灯，既方便村民夜间出行，也助力乡村夜景打造．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的D处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是多少米． 【答案】(1) (2)他行走的路程米 【分析】（1）根据题意得，得到，代入计算即可； （2）根据题意得，得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 解得（米）； （2）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程米． 变式6-2（26-27九年级上·北京·阶段检测）根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 【答案】 【分析】先根据光的反射定律，得出，再证明，结合两个三角形相似的性质，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角， ∴的余角等于的余角，即， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 同理，由光的反射定律可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∴． 变式6-3（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为15厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，则凸透镜焦距的长为__________厘米． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明即可求解； （2）证明即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 则； 答：的长度为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 2．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，若、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴，， ， ∴ ， ∴ ． 3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线判定三角形相似，利用周长比得出相似比，进而判断对应边比例及面积比． 【详解】 解：， ， ，故B正确； ，即周长比等于 相似比为， ，即，故A正确； ，即， ， ，故C正确； 相似三角形面积比等于相似比的平方， ，故D错误． 4．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形性质得，由平移的性质得， 则，得到，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由平移的性质得：， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在上，且，连结，则下列说法中①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质即可判断①正确，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可计算得出，即②正确，通过证明，得到对应线段成比例，进行等量代换后得到点是线段的黄金分割点，继而得到，即③正确，根据，得出，即可判断④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴，故③正确； ∵且， ∴，故④错误． 故选：． 二、填空题 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 【答案】3 【分析】枚举所有任取两个条件的组合，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：从4个条件中任取两个，共得到6种组合，逐一判断如下： 取①②， ∵，， ∴，三边对应成比例，可判定； 取①③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取①④，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②④， ∵，， ∴两边对应成比例且夹角相等，可判定； 取③④， ∵，， ∴两角对应相等，可判定； 综上，能判定相似的共有3组． 7．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，将两块直角三角板与按如图方式放置，，，，两条斜边相交于点O，则与的周长比为_________． 【答案】 【分析】根据题意得出，从而证得，将周长比转化为对应边与的比，利用含的直角三角形的性质和勾股定理分别表示出和即可求解． 【详解】解：设， ，， 为等腰直角三角形， ． ，， ，， ， ，， ． ， ． 8．（26-27九年级上·上海·阶段检测）中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【答案】 【分析】先证明与相似，列出两个相似三角形的边长比例等式，即可求出正方形边长，也就是的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 9．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值是___． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、矩形的性质以及二次函数求最值，设表示出矩形的面积，利用顶点式求解二次函数的最大值． 【详解】解：设，，，矩形的面积为， 四边形为矩形， ， ，． ， ， ． 当时，最大值为， 即矩形的面积的最大值是． 10．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）阅读：点是线段上一点，若线段长度是线段长度的一半，则称点是线段的一个三等分点．显然线段的三等分点有两个． 探究：已知点是正方形的对角线上的三等分点，连接并延长，交边所在直线于点，交边所在直线于点．若，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，分两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， 当时，如图，点在线段上， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，点在线段的延长线上， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，为边上的点（不与点，重合），连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，且的面积为1，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得，得．由，得，从而可得结论； （2）利用平行四边形的性质证明，利用相似三角形的性质可得，由 ， ，得 ， ，由的面积为1，得，即得． 【详解】（1） 略． （2）解： ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明：，， ． (2)48 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点E，H分别在AB，AC上．已知，． (1)求证：． (2)求这个正方形的边长与周长． (3)若四边形是矩形，且，则的长为_______． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴； (2)边长为，周长为 (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，得到，进而得出，，即可判定； （2）设正方形的边长为，则分别表示出、，根据，根据相似三角形的性质得到关于的方程，进而解得，即可得出正方形的边长与周长； （3）与（2）相同，通过相似三角形对应高之比等于相似比列出方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）如图，设与交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为， 则，， ∵， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为cm，周长为cm． （3）如上图，设与交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在菱形中，点为边上一动点，点为边上一点，的延长线交于点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)如图3，已知，连接，平分，若，求的值．（请用含的代数式表示） 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）可证明，结合得出，从而得出，即可得证； （2） 作于，设，，则， 其中，可求得，， 结合（1）得：，由勾股定理得，可得，进而根据求得， 证明，从而得出的值，即可得解； （3）过点作于， 作于， 根据角平分线的性质得出，从而设，，可证明，从而得出，， ，根据可求得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点 作于， ∵， ∴设，，则， 其中， ∵， ∴， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∵，即， ∴（负值已舍去）， 由（1）得：， ∴，即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （3）解： 过点作于， 作于， ∵平分， ∴， ， ∴， 设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 15．（26-27九年级上·全国·阶段检测）综合实践 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连接，过点作交于点．易证：．（不需要证明） (1)【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． ①求证：； ②若，，为的中点，求的长； (2)【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点，重合），连接，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为________． 【答案】(1)①证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 又， ； ②； (2)或 【分析】（）①利用余角性质可推导出，进而即可求证；②利用相似三角形的性质解答即可求解 （）分，和三种情况解答即可求解． 【详解】（1）（）①略； ②解：为的中点， ， 由（）知， ， 即， ； （2）解：分情况讨论：①若，则，，此时点与点重合，点与点重合，不符合题意； ②若，则， 为的外角， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ，，， ， ； ③若，则， 在中，， ， ， 又， 为的中点， ； 综上，的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $