专题32.1 正弦、余弦与正切 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题32.1 正弦、余弦与正切 （新教材人教版） 知识点一： 正弦，余弦，正切 2 知识点二： 锐角三角函数 2 知识点三： 特殊角的三角函数值 3 知识点四： 锐角三角函数的关系 3 【题型1 正弦的概念辨析】 3 【题型2 求角的正弦值】 4 【题型3 已知正弦值求边长】 5 【题型4 余弦的概念辨析】 6 【题型5 求角的余弦值】 6 【题型6 已知余弦值求边长】 7 【题型7 正切的概念辨析】 8 【题型8 求角的正切值】 9 【题型9 已知正切值求边长】 10 【题型10 特殊三角形的三角函数】 11 【题型11 特殊角的三角函数混合运算】 12 【题型12 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 13 【题型13 根据特殊三角函数值求角的度数】 13 【题型14 已知角度比较三角函数值的大小】 14 【题型15 根据三角函数值确定锐角的取值范围】 14 【题型16 利用同角三角函数关系求值】 15 【题型17 求值同角三角函数关系式】 15 【题型18 互余两角三角函数的关系】 17 【题型19 用计算器求三角函数值】 19 【题型20 给出三角函数值，用计算器求角的度数】 19 【题型21 三角函数综合】 20 【探究式学习】 22 【课后检测】 25 【复盘笔记】 29 知识点一： 正弦，余弦，正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则 【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同). 知识点二： 锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小. 知识点三： 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识点四： 锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【题型1 正弦的概念辨析】 【例1】若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【变式1-1】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若是锐角，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【题型2 求角的正弦值】 【例2】如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知为锐角，下列等式一定不成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，设为射线上一点，于点于点E，则等于（     ） A． B． C． D． 【题型3 已知正弦值求边长】 【例3】如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【题型4 余弦的概念辨析】 【例4】如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-3】如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 求角的余弦值】 【例5】如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 【变式5-2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，若该弧田的面积为，“弦”为8，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【题型6 已知余弦值求边长】 【例6】如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（ ）厘米． A． B． C．8 D． 【变式6-3】已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【题型7 正切的概念辨析】 【例7】如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，已知四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在上取一点，使得，连接分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的面积比为（    ） A． B． C． D． 【题型8 求角的正切值】 【例8】如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 【变式8-2】构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型9 已知正切值求边长】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【变式9-2】在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E、F分别在线段、上，连接，，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【题型10 特殊三角形的三角函数】 【例10】如图，直线和直线外一点，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点，；分别以点，为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（点与点在直线的两侧）；作直线交直线于点，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是线段的垂直平分线；②平分；③四边形是菱形；④．其中，正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-1】如图所示，在边长为的等边中，是内任意一点，若满足，，，则下列为定值的是（    ） A． B．的大小 C． D．四边形的面积 【变式10-2】如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式10-3】如图，四边形是菱形，为对角线，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型11 特殊角的三角函数混合运算】 【例11】下列各式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-3】计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【题型12 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例12】若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【变式12-1】如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式12-2】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式12-3】在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【题型13 根据特殊三角函数值求角的度数】 【例13】在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转，当点恰好落在直线上时，得到，则旋转的最小度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式13-3】已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【题型14 已知角度比较三角函数值的大小】 【例14】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【变式14-3】三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型15 根据三角函数值确定锐角的取值范围】 【例15】若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式15-1】已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型16 利用同角三角函数关系求值】 【例16】我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 【变式16-1】下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【变式16-2】在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【题型17 求值同角三角函数关系式】 【例17】如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【变式17-1】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则_____． 【变式17-2】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【变式17-3】嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【题型18 互余两角三角函数的关系】 【例18】观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【变式18-1】【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ① ②； ③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 【变式18-2】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： (1)______； ______； ______． 观察上述等式，猜想：在中，，都有______； (2)如图4，在中，的对边分别是，利用正弦的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)已知，且，求的值． 【变式18-3】在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【题型19 用计算器求三角函数值】 【例19】如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式19-3】为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【题型20 给出三角函数值，用计算器求角的度数】 【例20】已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式20-1】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式20-2】如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式20-3】已知，则锐角的度数大约为（    ） A． B． C． D． 【题型21 三角函数综合】 【例21】计算题： (1)计算：； (2)已知、是锐角，请化简：． 【变式21-1】小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求的解析式； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)图中阴影部分面积之和：______________ 【变式21-2】如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 【变式21-3】如图，已知为的直径，为上一点，平分且交于点，过点作于点，延长、交于点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长； (3)求证：． 【探究式学习】 1． (1)【探究发现】如图，在正方形中，E为边上一点，将沿BE翻折得到，延长交边于点G．求证：； (2)【类比迁移】如图，在矩形中，E为边上一点，且，将沿翻折得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求的长； (3)【实践创新】如图，为等腰三角形，，O为斜边的中点， M，N为线段上的动点，且满足，设，，，证明：． 2北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．则与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上．连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点． ①求的值； ②求的值． 【课后检测】 1．在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 5．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． 7．如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，为的半径，分别以点 O，A为圆心，大于长为半径作弧，两段弧相交于点B，C，作直线交于D，E两点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 12．如图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点，使； (2)请在图2中的线段上找一点，使； (3)请在图3中的边上找一点，画射线，使． 13．在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 14．按要求完成作答： (1)计算：． (2)计算：． (3)设，是方程的两个根，且，求常数的值． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 78 页 第 1 页 共 78 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题32.1 正弦、余弦与正切 （新教材人教版） 知识点一： 正弦，余弦，正切 2 知识点二： 锐角三角函数 2 知识点三： 特殊角的三角函数值 3 知识点四： 锐角三角函数的关系 3 【题型1 正弦的概念辨析】 3 【题型2 求角的正弦值】 5 【题型3 已知正弦值求边长】 8 【题型4 余弦的概念辨析】 11 【题型5 求角的余弦值】 13 【题型6 已知余弦值求边长】 16 【题型7 正切的概念辨析】 19 【题型8 求角的正切值】 23 【题型9 已知正切值求边长】 25 【题型10 特殊三角形的三角函数】 28 【题型11 特殊角的三角函数混合运算】 31 【题型12 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 33 【题型13 根据特殊三角函数值求角的度数】 35 【题型14 已知角度比较三角函数值的大小】 37 【题型15 根据三角函数值确定锐角的取值范围】 39 【题型16 利用同角三角函数关系求值】 41 【题型17 求值同角三角函数关系式】 43 【题型18 互余两角三角函数的关系】 48 【题型19 用计算器求三角函数值】 52 【题型20 给出三角函数值，用计算器求角的度数】 54 【题型21 三角函数综合】 55 【探究式学习】 61 【课后检测】 67 【复盘笔记】 78 知识点一： 正弦，余弦，正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，则 【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同). 知识点二： 锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小. 知识点三： 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识点四： 锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【题型1 正弦的概念辨析】 【例1】若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 【变式1-1】在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    【变式1-2】若是锐角，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数．根据三角函数的定义和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图，，    则：， ∵， ∴；故A正确； ∵， ∴；故B错误； ∵， ∴；故C错误； ∵， ∴；故D错误； 故选：A． 【变式1-3】在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 【题型2 求角的正弦值】 【例2】如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形性质得出及长，利用勾股定理求，由三角形中位线性质得出，进而求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取在上格点，连接，设小正方形边长为，利用勾股定理及其逆定理可得，，，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，取在上格点，连接，设小正方形边长为， 由网格可知，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【变式2-2】已知为锐角，下列等式一定不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：α为锐角，∴含α的直角三角形中，设对边为，邻边为，斜边为，则，，，，． 对选项A：当时，，，等式成立． 对选项B：∵， ∴，即， ∴一定不成立． 对选项C：∵锐角α增大时，逐渐减小，逐渐增大， 当时，，，，即； 当时，，，即， ∴存在满足条件的锐角α，等式成立． 对选项D：当时，，等式成立． 故答案为B． 【变式2-3】如图，设为射线上一点，于点于点E，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，． 【题型3 已知正弦值求边长】 【例3】如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦的定义结合计算器的使用方法求解即可． 【详解】解：， ，故选B． 【变式3-1】如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义及勾股定理，熟记勾股定理求线段长的方法及三角函数值定义是解决问题的关键． 数形结合，在中，由，可设，再由勾股定理求出长度，最后根据求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，，，则设， 由勾股定理可得， 则， 故选：A． 【变式3-2】如图，在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质及正弦的定义得，继而得到，如图，过作于点，则，推出，得，根据等腰三角形三线合一得，求得，可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的相关计算，矩形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识点，掌握锐角三角函数的定义、通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式3-3】如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等. 连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得，结合三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作交于点， 正八边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 解得：， 的半径为； 故选：B． 【题型4 余弦的概念辨析】 【例4】如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 【变式4-1】如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 【变式4-2】在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 【变式4-3】如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【题型5 求角的余弦值】 【例5】如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦的定义判断，再结合相似的判定和性质，可推得同角的余弦值相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，，即②满足要求； ∵是斜边上的高， ∴在中，，即①满足要求； 由题可知，， 则，， ∴， ∴， ∴， 则，即④满足要求； 综上，比值与的值相等的个数为个． 【变式5-1】如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 【变式5-2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，若该弧田的面积为，“弦”为8，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，先求出，再根据弧田的面积公式可得的值，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：公式中的“矢”等于， ∵弧田的面积为，“弦”为8， ∴，， 解得或（不符合题意，舍去）， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， ∴． 【变式5-3】如图，在中，若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，若，，， ∴， ∴ 【题型6 已知余弦值求边长】 【例6】如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，由正六边形性质求出，进而由等腰三角形三线合一得到、，在中，解直角三角形得出长度即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： 在正六边形中，，且每一个内角度数为，则，，由三线合一可得是边上的中线， ， 由题意知正六边形边长，则， 在中，，，则， 则， ，即扳手张开的开口至少要． 【变式6-2】如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（ ）厘米． A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度． 四边形是菱形，由图象可得和的长，从而求出、和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和． 【详解】解：由图可知，， ∵四边形为菱形 ∴ ∴ P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于． 此时，P、Q两点运动路程之和 ∵（厘米） ∴（厘米） 故选：A． 【变式6-3】已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角余弦函数是解题关键． 根据余弦函数的定义，结合点P的坐标，建立方程求解m的值． 【详解】解：由题意，，又为锐角， ，， 两边平方可得：，， ， 交叉相乘可得：， ， ， ． 故选：D． 【题型7 正切的概念辨析】 【例7】如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再结合正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，已知四边形是正方形，以为斜边在右侧作，使得且，在上取一点，使得，连接分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理等，过点作，分别与的延长线相交于点，可得四边形是矩形，即得，，利用余角性质可得，得到，即可得，设，则，利用勾股定理分别求出，再代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，分别与的延长线相交于点， 则， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造直角三角形，然后利用勾股定理求得斜边与直角边之间的关系式，最后利用余弦的定义即可求解．解题的关键是理解正切、余弦在直角三角形中的表达式． 【详解】如图所示，依据题意建立直角三角形，其中 则，， ∴ ∴ 故选：C． 【变式7-3】如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答． 【详解】如图， 设、分别与交于点、 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 由图可知： ， ∴ ， 即与的相似比为 ， ∴与的面积比为 故选：D． 【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比． 【题型8 求角的正切值】 【例8】如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 【变式8-1】如图，数轴上的点表示的数是1，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，连接，则等于（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是1，，且， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，其中，，延长到点，使，连接，先得出，再令，求出的长，进而可得的长，然后在中，计算的正切即可． 【详解】解：如图，在中，，， 延长到点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 令，则， ∴， ∴在中，． 【变式8-3】如图，在中，，，，下列锐角三角函数表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴，，，． 【题型9 已知正切值求边长】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，证明，得出对应边成比例，然后求出相关线段的长度，得出三角形平移的路径，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点平移到点可知，图形向右平移了个单位长度， 由点平移到点可知，图形向下平移了个单位长度， ∴将向右平移个单位长度，再向下平移了个单位长度，可得到， 点的坐标可由点的坐标得到，即点的坐标为， ∴点的坐标为． 【变式9-1】如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【变式9-2】在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正切的定义求出直角边的长，再利用勾股定理计算斜边的长度； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ． 【变式9-3】如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E、F分别在线段、上，连接，，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切等知识，根据正方形的性质可得 ，，由得出，再根据证明可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 故选：C． 【题型10 特殊三角形的三角函数】 【例10】如图，直线和直线外一点，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点，；分别以点，为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（点与点在直线的两侧）；作直线交直线于点，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是线段的垂直平分线；②平分；③四边形是菱形；④．其中，正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据作图过程可得，，利用线段垂直平分线的判定定理可判断；利用等边三角形的判定和性质及特殊角的三角函数值可判断；根据长度不确定可判断． 【详解】解：由作图过程可知：，， ∵，， ∴点，都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线，故①正确； ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴平分，故②正确； ∴，故④正确； ∵作图时的长度是适当的任意长，无法确定， ∴无法得到， ∴四边形不一定是菱形，故③错误； 综上所述，正确的结论是，共3个． 【变式10-1】如图所示，在边长为的等边中，是内任意一点，若满足，，，则下列为定值的是（    ） A． B．的大小 C． D．四边形的面积 【答案】A 【分析】将等边拆分为、、，通过面积和建立等式，进而推导出为定值． 【详解】解：等边的边长为， 边上的高为， ， ， ， 解得， 故为定值，故正确； 选项：点的位置改变，也会改变，错误； 选项：会随点的位置变化而变化，错误； 选项：四边形的面积会随点的位置变化而变化，错误； 【变式10-2】如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】证明，得到求解即可； 【详解】解：根据折叠的性质，得，是的中点， 故, 故， 故， 故； 【变式10-3】如图，四边形是菱形，为对角线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用菱形的性质求线段长，特殊三角形的三角函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用菱形的性质求得，再利用正弦求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，为对角线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【题型11 特殊角的三角函数混合运算】 【例11】下列各式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入特殊锐角的三角函数值计算验证各选项． 【详解】解：A、，成立，不符合题意； B、∵，，∴，成立，不符合题意； C、，，，∴，成立，不符合题意； D、∵，∴该式不成立，符合题意． 【变式11-1】规定：，，，．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题目给出的规定公式，逐一化简每个结论，即可判断出正确结论的个数． 【详解】解：① 由规定， 可得，故①正确； ② ， 根据， 可得，故②正确； ③ ， 根据，以及，， 可得： ，故③正确； ④ ， 根据， 代入得： ，故④正确； 综上，四个结论都正确，正确结论个数为． 【变式11-2】下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的基本性质，包括特殊角的值和余角恒等式． 通过直接计算和恒等式变换判断各结论的正确性． 【详解】解：∵ ， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵ ，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ，故③正确； ∵ ，且为锐角，，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 【变式11-3】计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【题型12 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例12】若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 【变式12-1】如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形，三角函数，勾股定理的逆定理．直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． 【详解】A、，，，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意； B、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意； C、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确； D、，，，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误； 故选：C． 【变式12-2】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 【变式12-3】在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据非负数的性质得出，，进而求得，，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 则，， 则， 故为钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【题型13 根据特殊三角函数值求角的度数】 【例13】在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，．再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，且． ∴，． ∴，． ∵、均为锐角． ∴，． ∵三角形内角和为． ∴． 【变式13-1】在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求出、的度数，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【变式13-2】如图，在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转，当点恰好落在直线上时，得到，则旋转的最小度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，再由旋转的性质得：，再结合特殊角的三角函数值得出，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的最小度数为． 【变式13-3】已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据特殊角三角函数值得出，求解得到，验证为锐角，得到结果． 【详解】解：∵已知为锐角，， ∴， ∴． 【题型14 已知角度比较三角函数值的大小】 【例14】三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 【变式14-1】已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式14-2】如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 【变式14-3】三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 【题型15 根据三角函数值确定锐角的取值范围】 【例15】若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元令，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合的范围分析的取值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴原方程化为， 当时，∵， ∴，， ∴，方程无解； 当时，， ∴方程有两个不相等的实根， ∵两根之积为， ∴方程有一正一负两个实根， ∴正根为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合条件． 综上所述，． 【变式15-1】已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式15-2】若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 【变式15-3】若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 【题型16 利用同角三角函数关系求值】 【例16】我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的基本关系及新定义运算，先利用同角三角函数的平方关系求出的值，再代入题目规定的公式计算即可． 【详解】解：∵为锐角，，， ∴， ∵若是锐角，则 ∴， 故选：A． 【变式16-1】下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，需根据三角函数的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 【变式16-2】在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数、勾股定理，根据勾股定理和三角函数定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 【变式16-3】已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【题型17 求值同角三角函数关系式】 【例17】如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 【变式17-1】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，锐角三角函数等知识．证是关键． 设，，则，，，，得出，即，求出和即可解答． 【详解】 解：设，，则，，，， ∵在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∴； 故答案为：． 【变式17-2】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 【变式17-3】嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立， ∵，， ∴，结论成立； (2)成立， 理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 【题型18 互余两角三角函数的关系】 【例18】观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据所给等式总结即可； （2）根据（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ． 【变式18-1】【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ① ②； ③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）由得，再代入，即可求解； （3）将原式化简为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，且， ； （2）， ， ； （3） ． 【变式18-2】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： (1)______； ______； ______． 观察上述等式，猜想：在中，，都有______； (2)如图4，在中，的对边分别是，利用正弦的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1，1 (2)证明：在中，， ， ． (3) 【分析】（1）根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；继而可想到在中，，都有； （2）在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； （3）利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：， ， ， 观察上述等式，可猜想：； （2）略 （3）解：， （负值舍去）． 【变式18-3】在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【题型19 用计算器求三角函数值】 【例19】如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 【变式19-1】用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用（求三角函数值）的知识点，解题关键是熟悉计算器输入度分形式角度并计算三角函数值的按键流程． 依照利用计算器求三角函数值时的按键顺序，明确角度的度分秒输入方法以及正弦函数的按键操作． 【详解】解：∵ 角度为，无秒值， ∴ 按键顺序应为：先按，然后输入角度，在计算器中，输入度分秒时，通常是先输入度的数值，按“”键，再输入分的数值，“”键． A、按键顺序为、、、、、、、，先按键，再依次输入，符合用计算器求的按键顺序，符合题意； B、先按键再输入数字，不符合角度输入的正常逻辑，不符合题意； C、“”键在此操作中无意义，不需要此按键，不符合题意； D、 输入分的数值后没有按键，无法正确识别分的输入，不符合题意． 故选：A． 【变式19-2】若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】解：按下键，再按键，再按下0.1890即可，A项符合题意 故选：A． 【变式19-3】为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A． 【详解】解：sinA＝＝0.25， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为： 故选：A． 【点睛】本题考查了计算器−三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 【题型20 给出三角函数值，用计算器求角的度数】 【例20】已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知三角函数值求角度，需要先按第二功能键调出反正切，再输入数值，最后按等号． 【详解】解：根据计算器功能键，用计算器求锐角的大小，先按反三角2ndF，再按正切值， 故按键顺序：，，，． 【变式20-1】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学计算器求锐角度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，根据正弦的定义求出，再利用科学计算器求解即可得． 【详解】解：由图可知，在中，，， 则， 所以用科学计算器求这条斜道的倾斜角的度数时，按键的顺序为选项A， 故选：A． 【变式20-2】如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了正切的定义、计算器求三角函数等知识点，掌握是解题的关键． 【变式20-3】已知，则锐角的度数大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用计算器计算判断即可． 【详解】用计算器计算可得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，会用计算器计算三角函数值是解题的关键． 【题型21 三角函数综合】 【例21】计算题： (1)计算：； (2)已知、是锐角，请化简：． 【答案】(1)3 (2)1 【分析】（1）把、对应的特殊角三角函数值代入原式，再按照有理数混合运算顺序计算． （2）先分组提取公因式，再利用同角三角函数平方关系逐步化简求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式21-1】小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求的解析式； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)图中阴影部分面积之和：______________ 【答案】(1) (2)扇形的半径为2，圆心角的度数为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）过点作的垂线，垂足为，利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：， ∴； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图： ， ， ， 扇形的半径为2； ， ， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数为； （3）解：， ， ， 如下图：令、的交点为， 由菱形知，， ， ， ． 【点睛】本题以“鱼形”图案为载体，融合了反比例函数、勾股定理、菱形性质、扇形面积计算等核心知识点，通过“函数求参几何量计算面积拼接”的逻辑链条，充分体现了数形结合的思想． 【变式21-2】如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角函数的运算，准确的计算是解决本题的关键． 先求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再求出的长，最后根据三角函数求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， ， ； ， 在中，， ． ∴在中，． 【变式21-3】如图，已知为的直径，为上一点，平分且交于点，过点作于点，延长、交于点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； (2) (3) 证明：作，如图所示： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 【分析】本题考查了圆的综合知识，涉及了切线的证明，全等三角形的判定与性质、三角函数等知识点，掌握圆的相关结论是解题关键． （1）连接，根据平分，得；根据，得；推出，；即可求证； （2）由题意得，；推出，即可求解； （3）作，证，得；再证，得，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 即， 解得：； ∴半径的长为； （3）略 【探究式学习】 1． (1)【探究发现】如图，在正方形中，E为边上一点，将沿BE翻折得到，延长交边于点G．求证：； (2)【类比迁移】如图，在矩形中，E为边上一点，且，将沿翻折得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求的长； (3)【实践创新】如图，为等腰三角形，，O为斜边的中点， M，N为线段上的动点，且满足，设，，，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由翻折的性质以及正方形的性质可得，，，则，通过证明三角形全等即可； （2）如图，延长交于点Q，设，则，在中，根据勾股定理求得，则，证明，则，即，解得，在中，根据勾股定理求得，则，证明，则，即，解得，根据可得的值； （3）由题意知，，如图，将绕B点顺时针旋转90°得到，连接，由旋转的性质可得，，，，，则，证明，则，由，，，，可得，，，，，，在中，由勾股定理得，整理可得，代入得，进而结论得证． 【详解】（1）证明：由翻折的性质以及正方形的性质可得，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点Q， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴的长为； （3）解：∵为等腰三角形，，O为斜边的中点， ∴，， 如图，将绕B点顺时针旋转90°得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，正切，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题： （1）如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．则与之间有怎样的关系？请说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上．连接为延长线上一点，连接，且的延长线垂直于，垂足为点． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1），， 理由如下：延长交于， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）①；②． 【分析】（1）根据题意可证，得到，则，由此即可求解； （2）①证明，得到即可求解；②由，得到，设，则，运用勾股定理得到，根据正弦值的计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）①， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， ∵， ； ②， ， ， 设，则， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正弦值的计算，掌握相似三角形的判定和性质，正弦值的计算是解题的关键． 【课后检测】 1．在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 斜边为，， C选项中，与不符， C选项等式不成立． 2．在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 3．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 4．在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 5．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 6．如图，在中，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】过点A作于点，由三线合一的性质得出，再根据余弦的定义求出，进而求出． 【详解】解：过点A作于点D， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 7．如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质，取格点，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，由网格的特征可得，得到，由即可得出结果． 【详解】解：如图，取格点，连接， ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，且， 由网格的特征得， ∴， ∴． 故选：C． 8．在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的三角函数定义及勾股定理的应用，根据题意，可设，，利用勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，， ∴设，， 由勾股定理得：， 在中， ． 故选：D． 9．如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故选：C． 10．如图，为的半径，分别以点 O，A为圆心，大于长为半径作弧，两段弧相交于点B，C，作直线交于D，E两点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，余弦函数及求弧长等知识，理解并掌握这些知识是关键． 设交于点F，连接，由尺规作图知垂直平分，则，则可得，，则由弧长公式可求得的长． 【详解】解：如图，设交于点F，连接， 由尺规作图知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为：， 故选：C． 11．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数先求出的值，再根据勾股定理求出的长； （2）过点D作，根据角平分线的性质得到，用证明，根据全等的性质和勾股定理求出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：； （2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ， 整理得：， 解得：， ． 12．如图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点，使； (2)请在图2中的线段上找一点，使； (3)请在图3中的边上找一点，画射线，使． 【答案】(1)如图，点为所求作； (2)如图，点为所求作； (3)如图，点为所求作； 【分析】（1）找出格点、，过点作交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （2）找出格点、，连接交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （3）找出格点、、，连接、交于点，连接交于点，结合矩形的性质得，由勾股定理及其逆定理得， 即可求解． 【详解】（1）解：如图，找出格点、，过点作交于点， ， ， ， ； （2）解：如图，找出格点、，连接交于点， ， ， ， ； （3）解：找出格点、、，连接、交于点，连接交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 13．在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ，， ． （2）解：①如图，作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ， 在中，，，， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ， ． ②如图，作交于点，使， ∴， 则， 设，则， ， 设点到，边上的距离为， ∴， ∵， ，即， ， 在中，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ． 14．按要求完成作答： (1)计算：． (2)计算：． (3)设，是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，符合题意， ∴常数的值为． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 78 页 第 1 页 共 78 页 学科网（北京）股份有限公司 $