专题01 相似三角形重要模型之A字型与（双）8字型（几何模型讲义）数学新教材人教版九年级下册

专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 A字型、8字型是相似三角形的基石模型。平行触发基础A、8字；公共角、对顶角加一组等角触发反A、反8；双A双8用于比例传递。学习重点不在于背诵图形，而在于能够从复杂图形中将基础图形剥离，书写相似时严格对齐对应顶点，防止比例写错。大量相似压轴题本质就是多个A、8字型的组合嵌套。 相似三角形是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 1）相似三角形AA判定定理；相似对应边成比例。 2）平行线性质：同位角、内错角相等。 3）对顶角相等、公共角识别。 4）平行线分线段成比例定理。 5）比例的性质：合比、等比简单运算。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴，且， ∴，∴，故答案为： ． 【典例2】（25-26八年级下·福建·期末）如图，在中，，，，点是上的一点，，，垂足为，求的长． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，解得：． 【典例3】（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】 【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴，∴， ∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：． 【典例4】（2026·湖南·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∴，即，∴，∴， 同理可证， ∴，即，∴，同理可求得， ∴可以推出第n个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故答案为：． 【典例5】（25-26九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图，菱形的对角线与相交于点，，点在上，且，与相交于点，下列结论不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在菱形中，， ，和都是等边三角形， ，， （公共边），， ，，A正确； ，，， ，， ，，B正确； 如图，过点作，交于点，则， ，，，， ，，，，，C正确； 假设正确，则，，， ，， 与相矛盾，假设不成立，错误，D不正确．故选：D． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（2025·陕西商洛·三模）如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为（    ）    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是边长为5的正方形，∴ ， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴．故选：D． 【典例2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】如图，过点作，延长交于点， 在中，，，，， ，，，，， ，，，， ，，，，故选：A． 【典例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：（1）．， ． （2） 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（2026·河南·二模）如图，在中，，于，点为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．若，，则的长度为_______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，，，，， ，∴，∴，， ，，，即，解得，， 为中点，，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 【典例2】（25-26九年级下·河南商丘·期中）如图，已知四边形是平行四边形，是的中点，连接，与相交于点，过点作交于点．若，则的值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是的中点， ∴，，∴，， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：C． 【典例3】（2026·湖北武汉·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【典例4】（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明：连接．分别是边、的中点， ，， ，． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】(1)9(2)16(3) 【详解】（1）解：在中，点G是的重心， ∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：9． （2）解：∵在中，中线相交于点G， ∴G为的重心．∴， ∴，∴．故答案为：16． （3）解：如图：连接．∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴．∴，∴， ∵，∴，∴， ∴．故答案为：． 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别为上的三等分点，， ，，，故选：B． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，D是边上的点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与四边形的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据作法得：，∴，∴，∴， ∵与四边形的面积比为， ∴，∴，∴．故选：A 3．（2025·福建厦门·二模）如图，在菱形中，点E在边上，连结交对角线于点F，若，，则的长度为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，， ∴，∴，∵，∴，故选：C． 4.（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形，，， ，，， ，，， 解得：，正方形的面积为故答案为： 5．（2025·甘肃酒泉·三模）如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点．若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】12 【详解】解：∵四边形是平行四边形∴， ， ，∴ ， ∵∴∴， ∴又的面积为3 ，∴的面积为，故答案为：12 6．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形，点为边上的中点，连接，交对角线于点，. (1)求证：；(2)连接，若.求证：平行四边形是矩形. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴； （2）证明：如图，连接，延长交于点， ∵为边上的中点，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，，， ∴，，∴，， ∴，，∴，∴，∴为中点，∴， ∵，，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴点在以为圆心，为直径的圆上，如图， ∴，∴，由（）得，∴， ∵四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形． 1.（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵，∴∴，， ∴，则，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，，故选：B． 2.（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，是上靠近点的三等分点，连接，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，过点作∥交于点， ，平分，，是的中点， ∵∥，∴,是的中点，是的中位线， ，是上靠近点的三等分点，，，， ∵∥，，，，．故选：B． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ． 【答案】 【详解】解：设，为中点，，， ，， ，，．故答案为：． 4.（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，，， ，，在中，， ，，， ，，在中，， ，，，， ，，，， ．故答案为：． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：；(2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，∴，， ∵，∴，∴． (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴．∴， ∴，∴． 6．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【教材呈现】如图是华师版九年级上册教材78页的部分内容： 如图，23．4．4，在中，D、E分别是边的中点，相交于点G． 求证： 证明：连接ED． 请根据教材提示；(1)结合图①，写出完整的证明过程． 【方法应用】：如图②，在中，D、E为边BC的三等分点，连结，F为边的中点，连接，分别交于点H、G．(2)若，则的长为_______；(3)若，则________． 【答案】(1)证明：∵ D、E分别是边的中点，，， ，，，， ，即，． (2) (3)40 【详解】（1）略 （2）解：如图：过点A作且连接、，四边形为平行四边形， 为中点，共线，且为对角线． 为中点． 即，， ，，， 又∵D、E分别为的三等分点，，即，， 又，，解得：，． （3）解：由(1)知∶ ，∴，即， ，，， ，，， 又 B、H、G、F共线， ，即， 又 F为中点，，∴． 1．（2025·广东深圳·一模）如图，在平行四边形中，，点E是上的点且，延长至点F使，连接并延长交于点H交于点，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作于点M，于点N， ，，，，，，， ，，，同理，，，， ，，，， 设，，，，， ，，， 平行四边形中，，，又，， ，，，，， ，，， ，，，故选A． 2.（25-26八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．    【答案】 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 3．（2025·山西大同·三模）如图，在中，，，．点E是上一点，若，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】如图所示，延长，交于点H，过点D作于点F，过点E作交延长线于点G; ∵∴，∴设， ∴，即∴（负值舍去），∴， ∵在中，，∴∴ ∵在中，∴∴ ∵ ∴ 设， ∵，∴∴ ∵∴∴ ∵，∴∴ ∴，即∴（负值舍去） ∴， ∴ ∵在中，∴．故答案为：． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 【答案】 2 【详解】解：∵，，∴， ∴，∴，即， ∵，∴；∵，∴，即， 整理得：，设，∵，∴， ∵，∴，∴，即，整理得：， ∴， ∵，∴，即，整理得：，故答案为：2，． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）【问题思考】如图1，中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求的长； 【类比探究】如图2，中，，，点D．E分别在线段、上，，．求的长； 【拓展应用】如图3，是型如块三角形实地，其中点D、E分别在边、上，其中A、D之间是一池塘，测得，，．，．求A、D之间的距离． 【答案】【问题思考】的长为4；【类比探究】的长为；【拓展应用】A、D之间的距离为． 【详解】问题思考：，，，， ，，，，解得； 类比探究：如图2，在上截取，连接， ，为等边三角形，，， ，，，，， ，，，即，解得，答：的长为． 拓展应用：如图3，在上截取，连接， ，为等腰直角三角形， ，，，， ，，， ，，，即，解得（m）， 答：A、D之间的距离为． 6．（25-26九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值；（3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 【答案】（1）证明：，， ，同理，，； （2） （3） 【详解】解：（1）略 （2）解：∵恰好将三等分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 由（1）知，，设则， 由得，，∴（负值舍去），∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，由（1）中结论知，， 设， ∵，∴， ∴为等边三角形，∴，∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 A字型、8字型是相似三角形的基石模型。平行触发基础A、8字；公共角、对顶角加一组等角触发反A、反8；双A双8用于比例传递。学习重点不在于背诵图形，而在于能够从复杂图形中将基础图形剥离，书写相似时严格对齐对应顶点，防止比例写错。大量相似压轴题本质就是多个A、8字型的组合嵌套。 相似三角形是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 1）相似三角形AA判定定理；相似对应边成比例。 2）平行线性质：同位角、内错角相等。 3）对顶角相等、公共角识别。 4）平行线分线段成比例定理。 5）比例的性质：合比、等比简单运算。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【典例2】（25-26八年级下·福建·期末）如图，在中，，，，点是上的一点，，，垂足为，求的长． 【典例3】（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【典例4】（2026·湖南·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【典例5】（25-26九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图，菱形的对角线与相交于点，，点在上，且，与相交于点，下列结论不正确的是（   ）． A． B． C． D． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（2025·陕西商洛·三模）如图，在边长为5的正方形中，点在边上，，交于点，则的长为（    ）    A．2 B．3 C． D． 【典例2】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（    ） A． B． C． D．2 【典例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（2026·河南·二模）如图，在中，，于，点为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．若，，则的长度为_______． 【典例2】（25-26九年级下·河南商丘·期中）如图，已知四边形是平行四边形，是的中点，连接，与相交于点，过点作交于点．若，则的值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例3】（2026·湖北武汉·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【典例4】（2025·山东青岛·模拟预测） 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点．求证：． 证明：连接．分别是边、的中点， ，， ，． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，D是边上的点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与四边形的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建厦门·二模）如图，在菱形中，点E在边上，连结交对角线于点F，若，，则的长度为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4.（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 5．（2025·甘肃酒泉·三模）如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点．若的面积为3，则的面积为 ． 6．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形，点为边上的中点，连接，交对角线于点，. (1)求证：；(2)连接，若.求证：平行四边形是矩形. 1.（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 2.（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，是上靠近点的三等分点，连接，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．3 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ． 4.（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 5．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：；(2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 6．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【教材呈现】如图是华师版九年级上册教材78页的部分内容： 如图，23．4．4，在中，D、E分别是边的中点，相交于点G． 求证： 证明：连接ED． 请根据教材提示；(1)结合图①，写出完整的证明过程． 【方法应用】：如图②，在中，D、E为边BC的三等分点，连结，F为边的中点，连接，分别交于点H、G．(2)若，则的长为_______；(3)若，则________． 1．（2025·广东深圳·一模）如图，在平行四边形中，，点E是上的点且，延长至点F使，连接并延长交于点H交于点，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 2.（25-26八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．    3．（2025·山西大同·三模）如图，在中，，，．点E是上一点，若，则的长为 ． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）【问题思考】如图1，中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求的长； 【类比探究】如图2，中，，，点D．E分别在线段、上，，．求的长； 【拓展应用】如图3，是型如块三角形实地，其中点D、E分别在边、上，其中A、D之间是一池塘，测得，，．，．求A、D之间的距离． 6．（25-26九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值；（3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $