第4章 5 增长速度的比较-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）

4．5　增长速度的比较 1 新课导入 学习目标 　　如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择．这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，为了得到最大回报你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型． 2．了解线性增长、爆炸式增长、对数增长等增长的含义． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 比 快慢 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________________．(用“>”连接) v3＞v2＞v1 返回导航 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知函数f(x)＝x2在x0与x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx与x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　) A.k1＜k2 B．k1＞k2 C．k1＝k2 D．与Δx有关 √ 返回导航 √ (2)已知物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率 B．在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率 C．在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率 D．在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率 返回导航 返回导航 二　三种常见函数模型的增长差异 思考1　把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一平面直角坐标系中，这三个函数在区间(0，＋∞)内的单调性是怎样的？ 提示：都是单调递增的． 返回导航 思考2　当x趋于正无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度最快？哪一个最慢？ 提示：一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长速度最快，对数函数y＝lg x增长速度最慢． 返回导航 [知识梳理] 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 ____________ ____________ ____________ 随x的增大函数图象 逐渐与____________轴平行 逐渐与____________轴平行 保持增长 增长速度 的比较　 共同点 在区间(0，＋∞)上，三种函数都是增函数 不同点 增长速度越来越______ 增长速度越来越_______ 保持不变 存在一个正数x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 增函数 增函数 增函数 y x 快 慢 返回导航 [例2] 已知四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是____________________． 【解析】　从题表中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化． y2 返回导航 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． 返回导航 [跟踪训练2] (多选)已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝x3，当x在(0，＋∞)上逐渐增大时，下列关于这三个函数的描述正确的是(　　) A．y1的增长速度越来越快 B．y2的增长速度越来越快 C．y3的增长速度一直快于y1 D．y3的增长速度有时慢于y2 √ √ 返回导航 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x，y2＝x2，y3＝x3的图象，如图所示，由图可知y1＝x的增长速度没有变，所以A错误； 在(0，＋∞)上，y2＝x2的增长速度越来越快，所以B正确； 由图可知在(0，1)上，y3的增长速度有时慢于y1和y2，所以C错误，D正确．故选BD. 返回导航 三　函数增长速度的比较 [例3] 已知函数f(x)＝2x(x≥0)和g(x)＝x2(x≥0)的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； 【解】　曲线C1对应的函数为g(x)＝x2(x≥0)，曲线C2对应的函数为f(x)＝2x(x≥0). 返回导航 (2)求点A，B的坐标； 【解】因为f(2)＝4，g(2)＝4，f(4)＝16，g(4)＝16， 所以A(2，4)，B(4，16). (3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2 025)，g(2 025)的大小． 【解】由题图和(2)可知，当0＜x＜2时，f(x)＞g(x)，当2＜x＜4时，f(x)＜g(x)，当x＞4时，f(x)＞g(x)，所以f(2 025)＞g(2 025)，f(3)＜g(3)，又因为g(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以g(2 025)＞g(3)，故f(2 025)＞g(2 025)＞g(3)＞f(3). 返回导航 由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，图象增长速度不变的是一次函数． 返回导航 [跟踪训练3] 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； 解：由题中函数图象特征及变化趋势知， 曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， 曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x. 返回导航 (2)比较两函数的增长差异并以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较． 解：g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢． 当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)；当x＝x1或x＝x2时，g(x)＝f(x). 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 25 1．(教材P42习题4－5AT1改编)函数f(x)＝5x＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为(　　) A．x0＋Δx B．1＋Δx C．5＋Δx D．5 √ 返回导航 2．下列函数中，在x∈(1，＋∞)上增长速度最快的是(　　) A．y＝2 026x B．y＝x2 026 C．y＝log2 026x D．y＝2 026x 解析：比较幂函数、指数函数与对数函数的性质可知，指数函数增长速度最快． √ 返回导航 3．如图，记录了一种叫朱槿的植物生长时间t(t≥1)(单位：年)与树高y(单位：m)之间的散点图．请你据此判断，拟合这种树的生长时间与树高的关系式，选择的函数模型可能是(　　) A．y＝t B．y＝2t C．y＝t2 D．y＝log2t＋0.2 √ 返回导航 解析：由题中图象增长特征可知，函数模型应该是缓慢增长的，故B，C不符合题意； 选项A中，函数y＝t过点(1，1)，而散点图显然不过该点，且即使是线性函数模型，斜率也小于1，故A不符合题意； 选项D中，对数型函数增长缓慢，过点(1，0.2)，符合题意．故选D. 返回导航 解：因为f(4)＝g(4)＝2，所以函数f(x)与g(x)的图象如图所示， 根据图象易得： 当0≤x＜4时，f(x)>g(x)； 当x＝4时，f(x)＝g(x)； x>4时，f(x)<g(x). 返回导航 1．已学习：(1)平均变化率；(2)三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．须贯通：根据实际背景，选择相匹配的函数模型，进而使实际问题得以解决，培养学生的数学建模意识． 3．应注意：不理解三种函数增长的差异． 返回导航 ＝____________. $