第4章 3 指数函数与对数函数的关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）

4．3　指数函数与对数函数的关系 1 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　反函数的概念 [知识梳理] 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有_________的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数． 唯一 返回导航 [例1] (对接教材例1)求下列函数的反函数： (1)f(x)＝log2x； 【解】　令y＝log2x，得x＝2y且y∈R，所以f-1(x)＝2x，x∈R. 返回导航 (3)f(x)＝5x＋1. 返回导航 (1)求反函数时，要先确定原函数的值域． (2)求反函数解析式的两种方法： ①可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y，得到反函数y＝f-1(x). ②从y＝f(x)反解得到x＝f-1(y)，然后把x＝f-1(y)中的x，y对调得到y＝f-1(x). (3)最后要注明反函数的定义域． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 二　反函数的性质 [知识梳理] 1．y＝f(x)的定义域与y＝f-1(x)的____________相同． 2．y＝f(x)的值域与y＝f-1(x)的____________相同． 3．y＝f(x)与y＝f-1(x)的图象关于直线____________对称． 4．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f-1(x)一定存在，且y＝f-1(x)与y＝f(x)的单调性____________． 值域 定义域 y＝x 相同 返回导航 [例2] 已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1，3)，其反函数y＝f-1(x)的图象过点(2，0)，则f(x)的解析式为____________． 【解析】　因为y＝f-1(x)的图象过点(2，0)， 所以y＝f(x)的图象过点(0，2)， 所以2＝a0－k，所以k＝－1，所以f(x)＝ax＋1. 又因为y＝f(x)的图象过点(1，3)， 所以3＝a1＋1，所以a＝2， 所以f(x)＝2x＋1. f(x)＝2x＋1 返回导航 互为反函数的函数图象关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f-1(x)的图象上． 返回导航 [跟踪训练2] (1)函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：函数f(x)的反函数的定义域即为原函数的值域，因为3x＋1>1，所以log2(3x＋1)>0.故选C. √ 返回导航 (2)函数y＝ax与y＝logax的图象可能是(　　) √ 解析：因为y＝ax与y＝logax互为反函数，所以其图象关于直线y＝x对称．故选C. 返回导航 返回导航 (2)求f(x)的反函数； 返回导航 返回导航 母题探究1　若本例条件“f(0)＝0”变为“函数f(x)为奇函数”，求a的值． 返回导航 母题探究2　若本例中的条件不变，判断f-1(x)的单调性，并给出证明． 因为－1＜x1＜x2＜1， 所以1－x1＞0，1－x2＞0，x1－x2＜0，所以t(x1)－t(x2)＜0，t(x1)＜t(x2)， 所以log2t(x1)＜log2t(x2)，即f-1(x1)＜f-1(x2)， 所以函数f-1(x)为(－1，1)上的增函数． 返回导航 指数、对数函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数． (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，研究其性质时往往先通过换元法转化为两个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断． 返回导航 [跟踪训练3] 已知指数函数f(x)＝y＝ax(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的反函数g(x)的解析式； 解：已知y＝ax(a>0且a≠1)，则x＝logay(a>0且a≠1)，且y>0，所以函数f(x)的反函数为g(x)＝logax(a>0且a≠1)，x>0. 返回导航 (2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x). 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 24 1．f(x)＝ln x的反函数是(　　) A．y＝xe B．y＝ex C．y＝logxe D．y＝10x 解析：根据指数函数与对数函数的关系，可得函数f(x)＝ln x的反函数为y＝ex.故选B. √ 返回导航 √ 返回导航 3．下列函数图象中，存在反函数的函数的图象只能是(　　) √ 返回导航 解析：根据反函数的定义，得存在反函数的函数在其定义域上是单调函数，由图象得只有选项A中图象对应函数是单调函数，即存在反函数的函数的图象只能是选项A.故选A. 返回导航 返回导航 5．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1). (1)求函数f(x)的定义域、值域； 解：要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)求函数f(x)的反函数f-1(x)； 解：令y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，即x＝2－ay. 所以f-1(x)＝2－ax(x∈R). 返回导航 (3)判断并证明f-1(x)的单调性． 解：f-1(x)在R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2. 因为f-1(x2)－f-1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2， 因为a＞1，x1＜x2，所以ax1＜ax2， 即ax1－ax2＜0， 所以f-1(x2)＜f-1(x1)， 所以f-1(x)在R上是减函数． 返回导航 1．已学习：(1)反函数的概念．(2)反函数的性质．(3)指数函数与对数函数的综合问题． 2．须贯通：借助于数形结合便于理解反函数的概念，解决指数与对数综合问题，应用转化与化归思想，找到解决问题的途径． 3．应注意：不是所有函数都有反函数，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数．若y＝f(x)有反函数y＝f-1(x)，则y＝f-1(x)的反函数是y＝f(x)，即y＝f(x)与y＝f-1(x)互为反函数． 返回导航 新课导入 学习目标 　　观察下列变换：y＝axx＝logayy＝logax.指数函数y＝ax的值域与对数函数y＝logax的定义域是否相同？指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图象有什么关系？本节课我们一起来探究吧！ 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系． 2．会求简单函数的反函数． 3．利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题． 【解】　令y＝，得x＝logy且y＞0，所以f-1(x)＝logx，x＞0. $