4.4幂函数 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.4 幂函数 新授课 1. 掌握幂函数的概念、图像和性质； 2. 能利用幂函数的图像与性质解决综合问题． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：幂函数的概念 观察：下列问题中的函数解析式有什么共同特征？ （1）如果小红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 w kg，那么她需要支付 p = w 元，这里 p 是 w 的函数； （2）如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 S = a2，这里 S 是 a 的函数； （3）如果立方体的棱长为 b，那么立方体的体积 V = b3，这里 V 是 b 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为 S，那么正方形的边长 c = ，这里 c 是 S 的函数； （5）如果某人 t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度 v = ， 即 v = t -1，这里 v 是 t 的函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 将自变量全部用 x 来表示，函数值用 y 来表示，则上述函数关系可写为： 上述问题中涉及的函数，都是形如 y = xα 的函数. y = x y = x2 y = x3 y = x -1 y = 一般地，函数 y = xα 称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数. 概念生成 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 下列函数中，是幂函数的是_________. ① ；② y = 3x3；③ y = 2x + 1；④ ；⑤ y = x3；⑥ . 注：幂函数 y = xα 中 xα 的系数一定为 1，且 xα 后面没有其他项. ①⑤⑥ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：幂函数的性质与图像 问题 1：判断 -4，-3，-2，-1， ，0， ，1，2，3，4 这些数中，哪些在函数 的定义域内，求出对应函数值，并填写下表(只需填在定义域内的数及对应的函数值)，由此猜测这个函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并说明理由. x 由于 ，由此可知 的性质有： （1）定义域是 ； （2）值域是 ； （3）奇偶性是 ； （4）单调性是 . [0，+∞) 非奇非偶函数 增函数 [0，+∞) 1 2 3 4 0 1 2 0 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据以上信息可知，函数 图像上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点，可作出其图像，如下图所示： y O x 1 1 新课讲授 学习目标 课堂总结 x y O y = x -1 y = x y = x2 问题 2：给出研究函数 y = x3 的性质与图像的方法，并用该方法得出这个函数的性质： （1）定义域是_______； （2）值域是_______； （3）奇偶性是_______； （4）单调性是_______； （5）如图，已作出函数 y = x -1，y = x，y = x2 的图像， 请在其中作出函数 y = x3 图像. R 奇函数 增函数 R y = x3 思考：结合上述两个问题，说说幂函数 y = xα 都有哪些共同特征？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 幂函数 y = xα 的一般性质 归纳总结 （1）所有的幂函数在 (0，+∞) 都有定义，由此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点 (1，1)； （2）α > 0 时：幂函数的图像通过原点，并且在区间 [0，+∞) 上是增函数； （3）α < 0 时：幂函数的图像不过原点，并且在区间 (0，+∞) 上是减函数. x y O y = x -1 y = x y = x2 y = x3 新课讲授 学习目标 课堂总结 典例剖析 解：（1）因为幂函数 y = x1.1 在区间 [0，+∞) 上是增函数，且 2.3 < 2.5， 所以 2.31.1 < 2.51.1； 例 1：比较下列各题中两个值的大小： （1）2.31.1 和 2.51.1； （2） 和 . （2）因为幂函数 在区间 (0，+∞) 上是减函数，且 a2 + 2 ≥ 2， 所以 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练