第4章 2.1 对数运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）

4．2　对数与对数函数 4．2.1　对数运算 1 新课导入 学习目标 　　16世纪，随着天文、航海等领域的发展，人们在进行大量的数值计算时遇到了巨大困难．当时的数学家们开始思考如何简化计算，对数的思想在此背景下逐渐萌芽．对数的发明“以其节省劳力而使天文学家的寿命延长了一倍”． 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化． 2．理解对数的底数和真数的取值范围． 3．掌握对数的基本性质及对数恒等式． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　对数的概念 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……   思考　依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？ 提示：2x；3和8；由2x＝N可知，当N已知时，x的值即为分裂次数． 返回导航 [知识梳理] 1．概念 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝____________，其中a称为对数的____________，N称为对数的____________． logaN 底数 真数 返回导航 2．常用对数与自然对数   3．对数式与指数式的关系(a>0且a≠1) 返回导航 [例1] (1)若a2 025＝b(a＞0且a≠1)，则(　　) A．logab＝2 025 B．logba＝2 025 C．log2 025a＝b D．log2 025b＝a √ 【解析】　由对数的概念，可以把a2 025＝b化为对数式logab＝2 025. 返回导航 (2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是__________________． (2，3)∪(3，＋∞) 返回导航 根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中字母的取值范围． 返回导航 [跟踪训练1] 方程log4－x(x2－2x)＝log4－x(5x－6)解的个数是(　　) A.0 B．1 C．2 D．无数 √ 返回导航 返回导航 母题探究　求本例(2)、(3)中x的值． 返回导航 指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 (2)已知em＝3，ln 2＝n，则e2m+3n＝________. 解析：由ln 2＝n，得en＝2，所以e2m+3n＝e2m·e3n＝(em)2·(en)3＝9×8＝72. 72 返回导航 三　对数的性质与对数恒等式 思考1　由20＝1，30＝1，化成对数式，你能发现什么结论？ 提示：log21＝0，log31＝0，结论为1的对数为0. 思考2　由21＝2，31＝3，化成对数式，你能发现什么结论？ 提示：log22＝1，log33＝1，结论为底数的对数为1. 思考3　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，把ax＝N改写为对数式后，真数的值能是0或负数吗？ 提示：真数的值不能为0或负数． 返回导航 [知识梳理] 1．对数恒等式alogaN＝______ (a＞0且a≠1)；logaaN＝_______ (a＞0且a≠1). 2．对数的性质 (1)loga1＝______ (a＞0且a≠1)； (2)logaa＝______ (a＞0且a≠1)； (3)负数和零没有对数． N N 0 1 返回导航 [例3] (对接教材例2)求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝7 1－log75. 【解】　(1)因为log2(log5x)＝0， 所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3， 所以x＝103＝1 000. 返回导航 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN＝0⇒N＝1；logaN＝1⇒N＝a可频繁使用，应在理解的基础上灵活运用． (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：alogaN＝N，logaaN＝N. 返回导航 [跟踪训练3] (1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：因为log2(log3x)＝0， 所以log3x＝1.所以x＝3. 同理y＝4，z＝2.所以x＋y＋z＝9. √ 返回导航 (2)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln 6)＝(　　) A．－ln 6＋6 B．ln 6－6 C．ln 6＋6 D．－ln 6－6 解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6－eln 6)＝－(－ln 6－6)＝ln 6＋6.故选C. √ 返回导航 (3)已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，则实数x的值为________. 1 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 25 1．(教材P19T1改编)将43＝64写成对数式，正确的是(　　) A．log644＝3 B．log464＝3 C．log43＝64 D．log643＝4 解析：由指对互化的关系ax＝N⇔ x＝logaN可知B正确． √ 返回导航 √ √ √ C中log39＝2⇔ 32＝9，故C错误． 返回导航 √ 返回导航 4．计算：2log23＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝_________. 解析：2log23＋2log31－31g 10＋3ln 1 ＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 0 返回导航 返回导航 1．已学习：(1)对数的概念．(2)指数式与对数式的互化．(3)对数的性质． 2．须贯通：指数式与对数式的等价转化，体现数学转化思想． 3．应注意：易忽略对数式中底数与真数的范围． 返回导航 [跟踪训练2] (1)(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．100＝1与lg 1＝0 B．9＝3与log39＝2 C．27－＝与log27＝－ D．51＝5与log55＝1 (3)x＝71－log75＝＝. 解析：由指对互化的关系ax＝N⇔ x＝logaN可知A，B，D都正确； $