4.2.2 对数运算法则-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

4.2.2 对数运算法则 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.对数的运算性质 若a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么 (1)loga(MN)=_____________； (2)logaMα=_______； (3)loga=_____________. logaM+logaN αlogaM logaM-logaN |微|点|助|解| (1)法则的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-3) ×(-5)]有意义，但log2(-3)与log2(-5)都没有意义. 2.对数运算中的常用结论 已知a>0，且a≠1. (1)loga=logaM-1=_______ (M>0)； (2)loga=loga=logaM(M>0，n，p∈N+，p，n>1)； (3)推广：logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N+，N1，N2，…，Nk均大于0). -logaM 3.换底公式 (1)对数换底公式 logab=(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1). (2)推论 ①logab·logba=1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). ②logab·logbc·logca=1(a>0，b>0，c>0，且a，b，c≠1). (3)lobs=logab(a>0，且a≠1，t≠0，b>0). |微|点|助|解| (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab=，logab=. 基础落实训练 1.计算log84+log82等于 (　　) A.log86 B.8 C.6 D.1 √ 解析：log84+log82=log88=1. 2.已知lg 3=a，lg 7=b，则lg 的值为(　　) A.a-b2 B.a-2b C. D. √ 解析：∵lg 3=a，lg 7=b，∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. 3.计算log92×log43= (　　) A.4 B.2 C. D. √ 解析：log92×log43=×=×=. 4.若lg 3=a，lg 2=b，用a，b表示log43=_______.  解析：log43===. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　对数运算法则的应用 [例1]　计算： (1)2(lg )2+lg ×lg 5+； 解：原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+ (1-lg )=lg +1-lg =1. (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2； 解：法一：原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+ lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 法二：原式=2lg 5+2lg 2+(1-lg 2)(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+1-(lg 2)2 +(lg 2)2=2+1=3. (3). 解：分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+lg 2) =3lg 5+3lg 2=3(lg 5+lg 2)=3. 分母=lg 6+2-lg=lg 6+2-lg =lg 6+2-lg 6+2=4.故原式=. |思|维|建|模| 利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用运算法则，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 针对训练 1.已知lg 2=a，lg 3=b，则lg =_________.(用含a，b的代数式表示)  解析：lg=lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2) =lg 3+lg 22-1+lg 2=lg 3+3lg 2-1=b+3a-1. b+3a-1 2.计算：(1)log3(27×92)； 解：法一：log3(27×92)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33 =3+4=7. 法二：log3(27×92)=log3(33×34)=log337=7log33=7. (2)； 解：原式===. (3)log535-2log5+log57-log51.8. 解：原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57 +2log53+log57-2log53+log55=2log55=2. 题型(二)　换底公式的应用 [例2]　已知log37=a，2b=3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b=3，所以b=log23，即log32=. 所以log1456== ===. 变式拓展 1.本例条件不变，试用a，b表示log2898. 解：log2898== == =. 2.若把本例中条件“2b=3”变为3b=2，其他条件不变，则结论又如何呢? 解：因为3b=2， 所以b=log32.又a=log37， 所以log1456= ==. |思|维|建|模| 利用换底公式计算、化简的常用方法 (1)先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底. (2)一次性地换为常用对数，再化简、通分、求值. (3)将式子中的对数的底数及真数改为幂的形式，然后利用变形lobn=logab进行化简、计算. 针对训练 3.已知log1227=a，用a表示出log616. 解：由log1227=a，得==a， ∴lg 2=lg 3. ∴log616====. 4.计算(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)的值. 解：法一：原式=· =· =log25×3log52 =13log25×=13. 法二：原式= = =×=13. 法三：原式=(log253+lo52+lo51)·(log52+lo22+lo23) =(log52+log52+log52) =log25×3log52 =×3=13. 题型(三)　对数运算的综合应用 [例3]　(1)已知32x=43y=126，求+的值. 解：因为32x=43y=126，所以2x=log3126=6log312， 解得x=3log312=12； 由3y=log4126=6log412，解得y=2log412=log212， 所以+=+=3log12+2log122=log12(3×22)=log1212=1. (2)已知正实数a，b满足ln a+ln b=ln(a+9b)，求+的最小值. 解：由ln a+ln b=ln(a+9b) 可得ln(ab)=ln(a+9b)， 即ab=a+9b， 所以ab=a+9b≥2， 解得ab≥36， 当且仅当a=18，b=2时，等号成立. 又+= ==1-≥， 当且仅当a=18，b=2时，等号成立， 所以+的最小值为. |思|维|建|模| 带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则.要整体把握对数式的结构特征，灵活进行指数式与对数式的互化. 针对训练 5.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=____.  解析：根据题意有-=-， 即3loga2-=-.设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)，所以loga2=，所以=2，解得a=64. 64 6.已知a>b>1，且logab+logba=，ab=ba，求a的值. 解：∵a>b>1，且logab+logba=，即+logba=， ∴设logba=t，则t>1.∴t+=， 解得t=2或t=(舍去)，即logba=2. ∴a=b2. ∵ab=ba，∴(b2)b=b2b=， ∴2b=b2，解得b=2或b=0(舍去)，∴a=4. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.计算log32·log227的值为 (　　) A.2 B.3 C. D.-3 √ 解析：log32·log227=·==log327=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知x，y为正实数，则 (　　) A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x·2lg y √ 解析：2lg x·2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(多选)下列运算正确的是 (　　) A.2lo10+lo0.25=2 B.log427·log258·log95= C.lg 2+lg 50=2 D.lo(2-)-(log2)2=- √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，2lo10+lo0.25=lo(102×0.25)=lo52=-2，A错误； 对于B，log427·log258·log95=··==，B错误； 对于C，lg 2+lg 50=lg 100=2，C正确； 对于D，lo(2-)-(log2)2=-1-=-，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知2a=3b=k(k≠1)，且2a+b=ab，则实数k的值为 (　　) A.6 B.9 C.12 D.18 √ 解析：∵2a=3b=k(k≠1)， ∴a=log2k，b=log3k， ∴=logk2，=logk3. ∵2a+b=ab， ∴+=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1，∴k=18. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若2.5x=1 000，0.25y=1 000，则-等于(　　) A. B.3 C.- D.-3 √ 解析：由2.5x=1 000，0.25y=1 000，得x=log2.51 000=， y=log0.251 000=，所以-=-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.17世纪初，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中e=2.718 28…，对数是简化运算的有效工具，依据下表数据，计算ln的结果约为(　　) x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 … ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 … 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 A.1.334 B.1.244 C.2.747 D.3.733 √ 解析：ln=ln(31.9×1.312)=[ln(31.9)+ln(1.312)]= (ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设log83=p，log35=q，则lg 5等于 (　　) A.p2+q2 B.(3p+2q) C. D.pq √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵log83===p， ∴lg 3=3plg 2. ∵log35==q， ∴lg 5=qlg 3=3pqlg 2=3pq(1-lg 5)， ∴lg 5=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(多选)若实数a，b满足2a=5b=10，则下列关系正确的有 (　　) A.+=1 B.+=lg 20 C.+=2 D.+= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由已知，得a=log210，b=log510，+=+=lg 2+lg 5=1，故A正确；+=+=lg 4+lg 5=lg 20，故B正确；+=+ =lg 2+lg 25=lg 50，故C、D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)计算：+2lg 2-lg=_________.  解析：原式=(23+lg 4-(lg 1-lg 25)=+lg(4×25)=+2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)计算lg 4+2lg 5+log25·log58=___.  解析：原式=lg 4+lg 52+·=lg 100+3=5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab=N⇔b=logaN，现在已知a=log48，b=log24，则4a=_____，a+b=____.(用最简结果作答)  8　 解析：已知a=log48，b=log24，所以4a==8，a+b=+2=+2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求值：(1)lg+lg；(5分) 解：原式=lg=lg 10=1. (2)log89·log2732-(-1)lg 1+log535-log57.(5分) 解：原式=×-1+log5=×-1+1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)求下列各式中x的值： (1)lg(10x)+1=3lg x；(2分) 解：lg(10x)+1=lg x+1+1=3lg x，即2lg x=2，即lg x=1，x=10. (2)3ln x-6=ln x；(2分) 解：3ln x-6=ln x⇒2ln x=6⇒ln x=3，所以x=e3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)lg=-2-2lg x；(3分) 解：lg=-2-2lg x⇒lg x-1=-2-2lg x⇒3lg x=-1⇒lg x=-，所以x=1. (4)logx(2x)=.(3分) 解：logx(2x)=⇒=⇒lg x=-lg 4=lg，所以x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)(1)设logac，logbc是关于x的方程x2-3x+1=0的两个实数根，求logabc的值；(8分) 解：因为logac，logbc是关于x的方程x2-3x+1=0的两个实数根， 所以由根与系数的关系得 由logac·logbc=1得=1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则logca·logcb=1； 由logac+logbc=3得+=3， 所以+=3， 即logca+logcb=3， 则logabc===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)已知x2+y2=1，且x>0，y>0，若loga(1+x)=m，loga=n，求logay的值.(7分) 解：由loga(1+x)=m，得am=1+x，由loga=n，得an=，则a-n= 1-x，所以am·a-n=(1+x)(1-x)=1-x2=y2，即y2=am-n，故logay=logay2 =logaam-n=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $