第4章 1.2 第2课时 指数函数的性质与图象的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）

4．1.2　指数函数的性质与图象 第2课时　指数函数的性质与图象的应用 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 3 一　指数函数单调性的应用 角度1　比较大小 [例1] (对接教材例1)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5与1.53.2； 【解】　因为函数y＝1.5x在R上是增函数，2．5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2. 返回导航 返回导航 (3)1.50.3与0.81.2. 【解】　由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1， 而0.81.2＜0.80＝1，所以1.50.3＞0.81.2. 返回导航 比较指数式大小的三种类型及处理方法 返回导航 【解】　原不等式可化为：73x<76x-12，由函数y＝7x在R上是增函数可得3x<6x－12，解得x>4， 故原不等式的解集为{x|x>4}． 返回导航 (2)已知ax2－3x＋1<ax+6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 【解】分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数，所以有x2－3x＋1>x＋6，即x2－4x－5>0， 解得x<－1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，所以x2－3x＋1<x＋6，即x2－4x－5<0，解得－1<x<5. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5. 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 (2)不等式23-2x<0.53x-4的解集为_______________． 解析：原不等式可化为23-2x<24-3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，故不等式的解集为(－∞，1). (－∞，1) 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 判断指数型复合函数单调性的基本思路 (1)对于形如y＝af(x)的函数，当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相反． (2)对于形如y＝f(ax)的函数，一般将ax视作一个整体用换元法，令u＝ax，结合u＝ax>0及f(u)的单调性进行讨论． 返回导航 [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝2x2＋2x＋a(－2≤x≤2). (1)写出函数f(x)的单调区间； 解：令t＝x2＋2x＋a，则其对称轴为直线x＝－1，所以t＝x2＋2x＋a在[－2，－1]上单调递减，在[－1，2]上单调递增， 又y＝2t在R上单调递增，所以f(x)的单调递增区间为[－1，2]，单调递减区间为[－2，－1]. 返回导航 (2)若f(x)的最大值为64，求f(x)的最小值． 返回导航 返回导航 (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； 返回导航 (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 【解】因为f(x)为奇函数，所以f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0可化为f(t2－2t)＜f(k－2t2). 由(2)知f(x)在R上为减函数， 所以t2－2t＞k－2t2， 即3t2－2t－k＞0对于一切t∈R恒成立， 返回导航 解决指数函数性质综合应用问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧； (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行； (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要对底数进行分类讨论． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 1．(教材P13练习AT2改编)已知0.75m>0.75n，则m，n的大小关系为(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．m≤n 解析：因为函数y＝0.75x在定义域R上是减函数，且0.75m>0.75n，所以m<n. √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 3．若a3.1＞a3(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________． 解析：因为3.1＞3，且a3.1＞a3， 所以函数y＝ax是增函数，所以a＞1. (1，＋∞) 返回导航 4．(教材P14习题4－1AT4改编)已知定义在R上的函数f(x)，对于∀x1，x2∈R都满足f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(x)是减函数，请写出满足以上条件的一个 函数解析式f(x)＝_________________． 返回导航 返回导航 1．已学习：(1)利用指数函数性质比较大小．(2)利用指数函数性质解不等式．(3)指数型函数的单调性．(4)指数函数图象与性质的综合运用． 2．须贯通：比较幂的大小和求解指数型不等式，常用到分类讨论和数形结合思想，研究指数型函数转化为所学函数，借助于“同增异减”的方法，确定其单调性． 3．应注意：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a＞1还是0＜a＜1. 返回导航 母题探究　本例(1)变为“若不等式7ax-1<()ax2恒成立”，求实数a的取值范围． 解： 因为不等式7ax-1<() ax2恒成立，即7ax-1<7-ax2恒成立，且函数y＝7x在R上为增函数，所以ax－1<－ax2恒成立，即ax2＋ax－1<0恒成立， 当a＝0时，－1<0恒成立，符合题意； 二　指数型复合函数的单调性 [例3] 判断f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域． 母题探究　若将本例中“f(x)＝()x2－2x”变为“f(x)＝()2x－x2”，求f(x)的值域与单调区间． 三　指数函数图象和性质的综合运用 [例4] 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数． (1)求a的值； $