第4章 1.1 实数指数幂及其运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用课件（人教B版）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 1 4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 2 新课导入 学习目标 　　公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现使数学史上第一个无理数 诞生． 1.理解n次方根及根式的概念，正确利用根式的运算性质进行根式运算． 2．学会根式与分数指数幂之间的相互转化，掌握利用有理数指数幂的运算性质化简求值． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　n次方根与根式 思考1　由32＝9和(－3)2＝9，我们可得到9的平方根是什么？由53＝125以及(－3)3＝－27，我们可以得到125和－27的立方根分别是什么？ 提示：9的平方根是3和－3，125的立方根是5，－27的立方根是－3. 思考2　实数a的平方根都是互为相反数吗？立方根呢？ 提示：当实数a<0时，没有平方根，当实数a＝0时，平方根是0，当实数a>0时，有一对互为相反数的平方根；任何实数都有唯一的立方根． 返回导航 [知识梳理] 1．n次方根 (1)定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． (2)表示： n为奇数 n为偶数 a∈R a＞0 a＝0 a＜0 x＝________ x＝___________ x＝__________ 不存在 0 返回导航 n a a a |a| 返回导航 √ 返回导航 (2)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________． 【解析】因为(±9)2＝81，所以81的平方根为±9， 即a＝±9，又(－2)3＝－8， 所以－8的立方根为－2，所以b＝－2， 所以a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7. －11或7 返回导航 (3，＋∞) 返回导航 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知x4＝625，则x＝(　　) A．5 B．－5 C．－5或5 D．不存在 √ 返回导航 返回导航 二　根式与分数指数幂的互化 提示：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 返回导航 0 返回导航 × × × 返回导航 返回导航 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母， 被开方数(式)的指数 分数指数的分子； (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 返回导航 [知识梳理] 1．有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝____________ (a＞0，s，t∈Q)； (2)(as)t＝____________ (a＞0，s，t∈Q)； (3)(ab)s＝____________ (a＞0，b＞0，s∈Q). 2．实数指数幂 无理数指数幂at(a>0，t是无理数)是一个确定的_________，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．因此，当a>0，t为任意_________时，可以认为实数指数幂at都有意义． 三　根式、分数指数幂的化简与求值 as＋t ast asbs 实数 实数 返回导航 返回导航 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)如果化简求值的结果中含有字母，一般用分数指数幂的形式表示． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 母题探究2　若本例条件不变，求x2－x-2的值． 返回导航 解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0，b＞0)： 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 31 √ 返回导航 √ 返回导航 √ √ 返回导航 0 返回导航 返回导航 (2)若＝，则实数a的取值范围为______________． 解析：＝|2a－1|, ＝1－2a. 由题意知|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤. 思考　观察下列各式，你能得出什么结论？ ①＝＝22＝2； ②＝＝44＝4. [即时练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)0的任何次幂都等于0.(　　) (2) ＝.(　　) (3)(－2) ＝.(　　) 解析：由题意得 ＝－＝－(2×2)＝－2＝－2.故选B. (2)() ·(a＞0，b＞0)＝________． 1．已学习：(1)n次方根的概念．(2)根式与分数指数幂的化简与求值．(3)指数式的条件求值问题． 2．须贯通：对根式、分数指数幂化简求值时，须将含有根式的式子先转化为分数指数幂． 条件求值问题，有时会用“整体代入法”巧妙求出代数式的值． 3．应注意：(1)对于，当n为偶数时，a≥0.(2)在运用分数指数幂的运算法则化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． $