4.1.2 第1课时 指数函数的性质与图象-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性质与图象 1 第1课时 指数函数的性质与图象 2 探究点一 指数函数定义的应用 探究点二 指数函数图象及应用 探究点三 利用指数函数的单调性比较大小 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法； 2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指 数函数的性质； 3.掌握指数函数的图象与性质，能借助指数函数的性质比较大小. 4 知识点一 指数函数的定义 一般地,函数称为__________,其中是常数,且 . 注意：指数函数的系数为1. 指数函数 课 前 预 习 5 【诊断分析】 指数函数中为什么规定且 ? 解:①如果,那么当时, 恒等于0,没有研究的必要， 当时,无意义; ②如果,例如,那么当, ,…时,该函数无意义; ③如果,那么 是一个常数,没有研究的价值. 为了避免上述各种情况的出现,所以规定且 . 课 前 预 习 6 知识点二 指数函数的图象与性质 函数且 的图象和性质 底数 图象 ___________________________________________ ___________________________________________ 性质 定义域 值域 课 前 预 习 7 底数 性质 过定点 ______ 单调性 在 上是____函数 在 上是____函数 函数值 的变化 当时， ______，当 时， __________ 当时， _________，当时，_________________________ 增 减 续表 课 前 预 习 8 知识点三 底数与指数函数图象的关系 1.由指数函数的图象与直线的交点可知，在 轴右 侧，图象从____到____相应的底数由小变大. 下 上 课 前 预 习 9 2.由指数函数的图象与直线的交点可知，在 轴 左侧，图象从下到上相应的底数__________. 如图所示,指数函数底数的大小关系为 . 由大变小 课 前 预 习 10 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）指数函数的图象一定在 轴的上方.( ) √ （2）函数在 上是减函数.( ) √ （3）函数和的图象关于 轴对称.( ) × 课 前 预 习 11 探究点一 指数函数定义的应用 例1（1）（多选题）下列各函数中是指数函数的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 根据指数函数的定义知A，D中的函数是指数函数，故选 . （2）若函数是指数函数，则 ___. 3 [解析] 若函数是指数函数，则解得 . √ √ 课 中 探 究 12 变式 (1)[2025·广东东莞一中高一期中]若函数是 指数函数，则 的值为( ) A.2 B.3 C. D.4 [解析] 函数是指数函数， 且，，解得， ， .故选A. √ 课 中 探 究 13 (2)已知函数 是指数函数， ，则是 的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若函数是指数函数， 则，且 ，，解得. 若,则或 .所以是 的必要不充分条件. 故选C. √ 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 判断一个函数是否为指数函数的方法： （1）底数的值是否符合要求； （2）<m></m>前的系数是否为1； （3）指数是否符合要求. 课 中 探 究 15 探究点二 指数函数图象及应用 例2（1）如图所示的是指数函数 ， ，， 的图象， 则，，， 与1的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] 在 轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大. 由指数函数图象的升降知，， 所以 .故选B. √ 课 中 探 究 16 （2）已知3a-3=4b-4=5c-5,则a,b,c的大小关系不可能为 ( ) A.c<a<b B.a=b=c C.a<b<c D.c<b<a [解析] 设3a-3=4b-4=5c-5=t,设f(x)=3x-3,g(x)=4x-4,h(x)=5x-5, 则a为直线y=t与函数f(x)的图象的交点的横坐标, b为直线y=t与函数g(x)的图象的交点的横坐标, c为直线y=t与函数h(x)的图象的交点的横坐标. √ 课 中 探 究 17 当t>0时,如图①所示(横、纵坐标轴单位长度不相等), 由图可得c<b<a;当t=0时,可得a=b=c=1; 当t<0时,如图②所示(横、纵坐标轴单位长度不相等), 由图可得a<b<c.故选A. 课 中 探 究 18 变式（1）已知，，则函数 的图象必定不 经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] ,的图象经过第一、二象限,经过点 , 且在上是减函数. 的图象可看成是把 的图象向下平移 个单位长度得到的, 故函数 的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选A. √ 课 中 探 究 19 （2）在同一个平面直角坐标系中，二次函数 与指数函 数 的图象可能为( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 20 [解析] 根据指数函数可知,同号且，， ， 则二次函数的图象的对称轴方程为 ， 排除B，D； 因为二次函数 的图象过坐标原点，所以排除A. 故选C. 课 中 探 究 21 ［素养小结］ （1）无论指数函数的底数<m></m>如何变化，指数函数<m></m>且 <m></m>的图象与直线<m></m>均相交于点<m></m>，由图象可知,在<m></m>轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变大. （2）处理指数函数的图象的方法：①抓住特殊点，指数函数图象过 点<m></m>；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响. 课 中 探 究 22 探究点三 利用指数函数的单调性比较大小 例3 比较下列各组数中两个值的大小： （1）, ； 解:设，因为 ，所以在 上单调递增， 又，所以 . 课 中 探 究 23 例3 比较下列各组数中两个值的大小： （2）, ； 解:设，因为 ，所以在 上单调递减， 又，所以 . （3）, . 解:由指数函数的性质知 ，， 所以 . 课 中 探 究 24 变式 将下列各数按从小到大排序：,,,， . 解:因为，，，， ， 且 ，所以 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 比较幂的大小的方法： （1）底数相同的直接利用单调性; （2）底数、指数都不同的把1作为中间量比较; （3）底数不同指数相同的借助图象间的关系比较. 课 中 探 究 26 拓展 ［2025·江苏常州前黄高级中学高一期末］ 设函数 ，则不等式 的解集是_______． [解析] 函数的定义域为 ， 因为，所以为奇函数， 又函数 与分别为上的增函数和减函数， 所以是 上的增函数. 不等式可化为 ， 则，解得，所以原不等式的解集为 . 课 中 探 究 27 1.［2026·湖南衡阳高一月考］已知指数函数的图象过点 ， 则 ( ) A.3 B.6 C.9 D.27 [解析] 设,且，将代入得 ， 解得，所以，所以 .故选C. √ 课 堂 评 价 28 2.指数函数与 的图象如图所示， 则 ( ) A.， B.， C.， D.， [解析] 结合指数函数的图象知,, .故选C. √ 课 堂 评 价 29 3.已知,,,则,, 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] 设 ,可知在 上单调递减, ， 又 ,，. 设 ,可知在 上单调递增, ， .故选C. √ 课 堂 评 价 30 4. 已知a,b为实数,则“a>b”是“2a>2b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 因为y=2x为R上的增函数,所以当a>b时,2a>2b,当2a>2b时,a>b, 所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件.故选C. √ 课 堂 评 价 31 5.若且，则函数 的图象恒过的定点坐标为 ______. [解析] 令，得， 因为 ， 所以函数的图象恒过定点 . 课 堂 评 价 32 课后习题 33 1.［2026·天津河西区高一期末］若函数 是 指数函数，则 的值为( ) A.2 B.1 C.1或 D. [解析] 因为函数 是指数函数， 所以且，，可得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 2.函数且 的图象必过点( ) A. B. C. D. [解析] 因为的图象一定过点， 将 的图象向上平移1个单位得到函数的图象， 所以函数 的图象必过点 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 3.函数与 的图象关于( ) A.轴对称 B. 轴对称 C.直线 对称 D.原点对称 [解析] 易知函数与 的图象关于原点对称，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 4.［2026·福州高一期末］如图，曲线① ②③④中有3条分别是函数， ， 的图象，其中曲线①与④关于 轴对 称，曲线②与③关于轴对称，则 的 图象是曲线( ) A.① B.② C.③ D.④ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 由指数函数的单调性可知， 函数和的图象是曲线③④， 当 时，，所以曲线③是函数 的图象， 函数的图象与函数 的图象关于轴对称， 所以 的图象是曲线②. 故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 5. [2026·西安高一月考] 已知函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示, 则下列结论正确的是 (　 ) A.a>1 B.0<b<1 C.2b-a<1 D.g(x)=bx-a的图象不经过第四象限 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 [解析] 对于A,由图知f(x)在R上单调递减,所以0<a<1,故A错误; 对于B,由函数f(x)的图象与y轴的交点在负半轴上, 可得f(0)=a0-b=1-b<0,则b>1,故B错误; 对于C,因为b-a>0,所以2b-a>20=1,故C错误; 对于D,由0<a<1,b>1可知函数g(x)=bx-a在R上 单调递增,且g(x)的图象与y轴的交点在正半轴上, 所以函数g(x)=bx-a的图象不经过第四象限, 故D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 6. (多选题)[2026·山东潍坊高一月考] 若2a=6b,则a,b的大小关系可能为 (　 ) A.a>b>0 B.b>a>0 C.a<b<0 D.b<a<0 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 [解析] 作出函数y=2x,y=6x的图象,如图所示. 设2a=6b=t.当0<t<1时,如图①,a<b<0,故C可能成立; 当t=1时,a=b=0;当t>1时,如图②,a>b>0,故A可能成立.故选AC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 7.（多选题）下列结论中正确的是( ) A.函数的定义域为 B.函数的值域是 C.若，则 D.函数 为指数函数 [解析] 对于A，， ，故A正确； 对于B，，， 函数 的值域是，故B正确； 对于C，当时，在 上单调递减， ，，故C错误； 对于D， 为指数函数，故D正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 8. 设，若函数 是指数函数，且， 则 的取值范围是________． [解析] 因为函数是指数函数,且 , 所以是增函数，所以，解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 9.已知，，，则，， 的大小关系为 . [解析] ，，，故 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 10.（13分）通过图象比较以下函数的①单调性；②值域、定义域； ③奇偶性；④定点. 解：当时，作出函数， ， 在同一平面直角 坐标系中的图象，如图1所示； 当时，作出函数, ， 在同一平面直角 坐标系中的图象，如图2所示. （1）函数与 ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 ①函数与 的单调性相同. 当时，函数与在 上均为增函数； 当时，函数与在 上均为减函数. ②函数与的定义域均为，值域均为 . ③函数与 均为非奇非偶函数. ④函数的图象过定点，函数的图象过定点 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 10.（13分）通过图象比较以下函数的①单调性；②值域、定义域； ③奇偶性；④定点. 解：当时，作出函数， ， 在同一平面直角 坐标系中的图象，如图1所示； 当时，作出函数, ， 在同一平面直角 坐标系中的图象，如图2所示. （2）函数与 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 ①函数与 的单调性不同. 当时，函数在上为增函数， 函数在 上为减函数； 当时，函数在上为减函数，函数在 上为增函数. ②函数与的定义域均为， 函数 的值域为，函数的值域为 . ③函数与 均为非奇非偶函数. ④函数的图象过定点，函数 的图象过定点 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 11. [2026·广西桂林高一期中] 当-2<a<-1时,函数y=(a+3)x与函数 y=(a+1)x+a+3在同一坐标系内的图象可能是 (　 ) B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 因为-2<a<-1,所以1<a+3<2,则函数y=(a+3)x是增函数, 排除A,B选项. 因为-2<a<-1,所以-1<a+1<0,当x=0时,(a+3)x=1,(a+1)x+a+3=a+3>1, 排除 D选项.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 12. (多选题)[2026·成都高一期末] 已知f(x)=2x,g(x)=2x,则下列说法正确的 是 ( 　 ) A.f(x)与g(x)的图象有两个公共点 B.f(x)>g(x)的解集为(-∞,1) C.f(x)<g(x)的解集为(1,2) D.y=|f(x)-g(x)|有最大值和最小值 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 在同一坐标系中作出函数f(x)=2x,g(x)=2x的图象,如图所示. 对于A,由图可知,函数f(x)与g(x)的图象有(1,2),(2,4)两个公共点,故A正确; 对于B,由图可知,不等式f(x)>g(x)的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),故B错误; 对于C,由图可知,不等式f(x)<g(x)的解集为(1,2),故C正确; 对于D,由图可知,当x→-∞和x→+∞时,y=|f(x)-g(x)|→+∞,无最大值, 故D错误.故选AC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 13.[2025·四川成都金堂中学高一月考]已知函数， 若，则 的取值范围为_____________________. [解析] 因为 ， 且 ， 所以 . 因为函数,,均在 上单调递增， 所以在 上单调递增， 由，得，解得或 ， 故的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 14.（13分）已知函数 . （1）求 的定义域； 解：由，得 ，所以函数的定义域为 . （2）讨论 的奇偶性. 解：由(1)知，函数的定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ，所以 为奇函数. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 15. 已知b>a>0,0<ω<1,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.aω<a B.bω>b C.aωb1-ω<a D.aωb1-ω<b √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 对于A,当0<a<1时,y=ax在R上单调递减,∵0<ω<1,∴aω>a, 故A不一定成立; 对于B,当b>1时,y=bx在R上单调递增,∵0<ω<1,∴bω<b,故B不一定成立; 对于C,∵0<ω<1,∴0<1-ω<1,又b>a>0,∴b1-ω>a1-ω>0, 又aω>0,∴aωb1-ω>aωa1-ω=a,故C错误; 对于D,∵b>a>0,0<ω<1,∴aω<bω,∴aωb1-ω<bωb1-ω=b,故D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 16.已知函数，则不等式 的解集为 __________________________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 当时，单调递减， 因为 ，所以，所以或. 当时， 单调递减，令，得， 所以 ， 当时， ， 所以 满足题意. 综上，不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $