01-4.1.1 实数指数幂及其运算(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第二册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“实数指数幂及其运算”，从根式概念的易错题切入，通过奇偶性分类明确根式性质，结合分数指数幂互化规律，构建从基础运算到条件求值的学习支架，衔接指数函数后续内容。 其亮点在于分层训练与实际应用融合，以A4纸尺寸问题培养数学眼光，易错提示和方法点拨强化数学思维，条件求值题提升符号表达能力。学生能夯实基础提升运算推理能力，教师可高效开展分层教学。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　根式的概念及性质 1.[易错题][2026辽宁大连期中]已知n∈N+,a∈R,则“ =a”是“a>0”的 ( ) A.充分不必要条件　　　     B.必要不充分条件 C.充要条件　　　     D.既不充分也不必要条件     B     解析　当n为奇数时, =a, 当n为偶数时, =|a|= 若 =a,则a≥0,所以“ =a”是“a>0”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    对根式的化简要准确地记住根式的性质,即:若n为奇数,则( )n=a,a为任意实数;若n为偶数, 则当a≥0时( )n才有意义,且( )n=a;a为任意实数时, 均有意义,且 =  第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026浙江温州五校联考]已知a<b,且ab≠0,化简二次根式 的结果是 ( ) A.-a 　　　    B.-a  C.a 　　　     D.a      A     解析　∵ 有意义,∴-a3b≥0,即a3b≤0,又ab≠0,∴a,b异号,又∵a<b,∴a<0,b>0,∴ =  =|a| =-a . 第1讲　描述运动的基本概念 3.若 =( )3,则实数a的取值范围是_________. 解析　由题意得|2a-1|=1-2a,所以2a-1≤0,解得a≤ .故实数a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025上海交通大学附属中学期中]在实数范围内, 的四次方根是__________.     ±      解析　由指数运算可知 = , = ,所以 的四次方根是 或- . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　根式与分数指数幂的运算 5.[多选题][2025浙江杭州期中]下列计算正确的是　     (　　　　) A.3-1+ = 　　　    B.(a3)2=a5(a>0) C. =4　　　    　　　D. · · =a(a>0)     CD     解析    3-1+ = + = ,故A错误;(a3)2=a6(a>0),故B错误; = =(23 =22=4,故C正确; · · =  =a(a>0),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编]已知a>0,将 表示成分数指数幂,其结果是　     ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     解析     = = = = = . 方法点拨　当表达式中的根号较多时,要弄清被开方数,由内向外进行转化、运算. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025广东佛山检测]已知22n+1+4n=192,则n=　     ( ) A.3　　　    B.4　　　    C.5　　　    D.6     A     解析　已知22n+1+4n=192,即22n+1+22n=192,即22n×(2+1)=192,即22n=64=26,即2n=6,∴n=3. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026辽宁沈阳五校协作体期中]下列指数幂的运算中,正确的是 (　　　　) A. = (y<0)　　　     B. = (x≠0)　　　     C. = (x>0)　　　     D. = (a>0)     BCD     解析　对于A, =| |=- (y<0),因此A错误;对于B, = = (x≠0),因此B正确; 对于C, = = (x>0),因此C正确;对于D, = = (a>0),因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 名师支招     根式与分数指数幂互化的规律 1.根指数 分数指数的分母,被开方数(式)的指数 分数指数的分子. 2.在具体计算时,先把根式转化成分数指数幂,然后利用实数指数幂的运算性质解题. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025山东日照检测]计算: (1) ÷ (a>0); (2)[(0.06 )-2.5 - -π0; (3) (a>0,b>0). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原式=( ·  ÷( ·  =(a3 ÷(a2 =a÷a=1. (2)原式= - -1= - -1= - -1=0. (3)原式= = · =a-1= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　指数幂的条件求值问题 10.[2025广东茂名检测]若m-2n=1,则 = ( ) A.1　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     解析　因为m-2n=1,所以2n-m=-1,所以 = = =22n-m=2-1= . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026安徽宿州灵璧中学期中]已知a,b∈R,且2a+3b=2,则4a+8b的最小值是 ( ) A.2 　　　    B.4 　　　    C.2 　　　    D.4     D     解析　因为a,b∈R,且2a+3b=2, 所以4a+8b=22a+23b≥2 =2 =4, 当且仅当22a=23b,即a= ,b= 时,等号成立.故4a+8b的最小值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026上海财经大学附属北郊高级中学期中]若a2x=3,且a>0,则 =_________. 解析     = =a2x+a-2x-1=3+ -1= . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　根式与分数指数幂的运算 1.[2025江西赣州期中]若a<-1,则 · = ( ) A.-(a+1)5　　　    B.(a+1)5 C.-(a+1)6　　　    D.(a+1)6     C     解析    因为a<-1,所以a+1<0, 所以 · = · =-(a+1)3·(a+1)3=-(a+1)6. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025山东滨州期中]已知a>0,b>0,x>0,y>0,下列运算(化简)中正确的有 (　　　　　) A. · = 　　　     B. ·(4y-a)=4x C. - + =3-2 　　　     D.2a3 ·(-5  )÷(4 )=-        ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A, · = = ,因此A正确; 对于B, ·(4y-a)=4 ya-a=4xy0=4x,因此B正确; 对于C, - + = - +1= -1-( -1)+1=1,因此C错误; 对于D,2a3 ·(-5  )÷(4 )=-10 b÷(4  )=-   ,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东济宁第一中学期中] (1)计算:(0.008 1 - × 81-0.25+   + ; (2)化简: ÷ × (a>0). 解析    (1)原式=(0.34 -3-1× (34 +   + = - × +π-3= - +π-3=π. (2)原式= ÷ × = ( -2 )× × =a2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　指数幂的条件求值问题 4.[2026浙江杭州十四中月考]设a,b,c均为正数,且a-2=b3=c6,则abc的值为 ( ) A.3　　　    B.2　　　    C.1　　　    D.      C     解析    解法一:∵a-2=b3=c6,∴b=c2, =b3,∴a2b3=a2b2b=a2b2c2=1,又a,b,c均为正数,∴abc=1. 解法二:设a-2=b3=c6=t,则a= ,b= ,c= , 因此abc= · · =t0=1. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025黑龙江哈尔滨期中]已知a+a-1=4,则(　　　　　) A. + = 　　　    B.a2+a-2=14 C.a3+a-3=52　　　    　D.a-a-1=2      ABC     解析    A选项,因为a+a-1=( + )2-2=4,所以 + =± ,显然 + >0,所以 + = ,故A正确; B选项,a2+a-2=(a+a-1)2-2=16-2=14,故B正确; C选项,a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=4×13=52,故C正确; D选项,因为a+a-1=( - )2+2=4,所以( - )2=2,所以 - =± ,所以a-a-1=( + )·( - )=±2 ,故 D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知a>1, + =4,则 的值为_________. 解析　由 + =4,即 + =4,得( + )2=a+a-1+2=16,所以a+a-1=14,所以( - )2=a+a-1-2=12, 因为a>1,所以 > , 所以 - =2 ,所以 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026浙江G5联盟期中联考]若实数a,b,c满足 + =1,1+c·2a+4c·2b=2a+b,则实数c的最小值是_________. 解析　由1+c·2a+4c·2b=2a+b可得c= . 由 + =1可得2b+2+2a=2a+b, ∴c= = =1- , ∵1= + ≥2 =4 , ∴2a+b≥16,当且仅当 = 且 + =1,即a=3,b=1时取等号. ∴c=1- ≥1- = ,即实数c的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏徐州检测]已知10m+10n=5,10m+n=6,求: (1) ; (2)1 . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由10m+10n=5,可得(10m+10n)2=102m+102n+2×10m+n=25, 又10m+n=6,所以102m+102n=13,10-m+10-n= + = = ,所以 = = . (2)1 =(103m-2n = , 由10m+10n=5和10m·10n=6可得,10m=2,10n=3或10m=3,10n=2, 当10m=2,10n=3时,原式= = = , 当10m=3,10n=2时,原式= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　不同纸张尺寸中蕴含的指数运算 9.A4纸是生活中最常用的一种纸张规格.A系列的纸张规格特色在于:①A0,A1,A2,A3等,所有尺寸的纸 张长宽比都相同;②以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后 面序号大小的纸,比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸,1张A1纸对裁后可以得到2张A2纸,依此类推.A 系列纸张之所以具备这种特性,是因为它们的长宽比均为 ∶1.已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米, 118.9÷84.1≈1.41≈ ,那么A4纸的长度约为 ( ) A.14.8厘米　　　    B.21.0厘米 C.29.7厘米　　　    D.42.0厘米     C     第1讲　描述运动的基本概念 信息提取 ①A0,A1,A2,A3等,所有尺寸的纸张长宽比均为 ∶1;②以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为 折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸;③A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米. 数学建模 由生活中常见纸张规格之间的长度关系建立与指数幂有关的数学模型,根据题意设出A4纸的长度,利 用指数幂的运算法则求解. 解析     设A4纸的长度为x 厘米,则A3纸的长度为 x 厘米,依此类推可以得到 =( )4=4,解得x≈29.7. 第1讲　描述运动的基本概念 $