4.1.2 指数函数的性质与图象（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.2 指数函数的性质与图象 4.1指数与指数函数 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 掌握指数函数y= (a>0且a≠1)的图象特征，熟练归纳并牢记定义域、值域、定点、单调性等核心性质。 能够区分a>1和0<a<1两种情况下指数函数图象与性质的差异，突破底数对函数单调性的影响这一核心知识点。 会运用指数函数的性质解决基础题型，包括比较指数幂大小、利用单调性求简单函数值域、判断函数增减性等基础问题。 重点：指数函数的图象特征与核心性质 难点：根据底数范围分类掌握函数单调性，灵活运用性质解决比较大小等实际问题 考古情境 知识讲解 互动探究 新课引入 考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间。当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半。 你能用函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗？一种死亡已经一万年的有机体，其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少？ 假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用 y 代表该有机体死亡 x 年后体内碳14的含量，则当 x=5730 时，y=；x=11460 时，y。由此可知，y 与 x 的关系可以表示为 y。 3 目标一：指数函数定义 概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,函数 y= 称为指数函数,其中 a 是常数,a>0 且 a≠1。 理解 (1)因为 a>0,x 是任意一个实数时, 是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R。 (2)规定底数 且 的理由: 如果 , 当 时, 中 为偶数, 为奇数时, 无意义,例如,,当 取 时, 无意义。 如果 , 是一个常量,对它就没有研究的必要。 为了避免上述各种情况的出现,所以规定 且 。 5 概念 知识讲解 互动探究 新课引入 (3)指数函数的解析式 y= (a>0,a≠1,x∈R)的结构特征: y=1⋅ 函数表达式需满足:① 的系数必须为 1;②自变量出现在指数位置上;③底数为大于 0 且不等于 1 的常数,不能是自变量。 例如:因为 (,且 )可化为 ,此时该函数的底数为 ,依然满足 ,,因此是指数函数; (,且 )可化为 ,此时该函数的底数为 ,依然满足 ,,因此是指数函数;而 ,,, (,且 )无法化成定义形式,因此不是指数函数。 一般地,当对一切实数 x,y 均有 f(x+y)=f(x)⋅f(y) 时,均可猜测函数为指数函数模型。 6 对点体验 给出下列函数:① ;② ;③ ;④ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧ (,且 ),其中为指数函数的有________。(填正确结果的序号) 解 由指数函数定义的特征知,② 不符合自变量出现在指数上的条件;③ 不符合 的系数必须为 1 的条件;④ 不符合 且 的条件;⑥ 不符合指数部分只是自变量 的条件;⑦ 不符合底数为常数的条件。故填①⑤⑧。 答 ①⑤⑧ 对点体验 函数 y是指数函数,则实数 a 的值为________。 解 因为 是指数函数,所以 ,解得 或 。由于 ,且 ,则 舍去,即 。 答 3 易错警示 (1)由于忽视 的系数为 1,而忘记 -4a+4=1 这一条件,只给出 a>0,且 a≠1 而致错。 (2)忽视 a>0,且 a≠1,而只解 -4a+4=1,得到 a=1 或 a=3 而致错。 目标二：y=的图象与性质 y=质 知识讲解 互动探究 新课引入 分别求出指数函数 y= 在自变量取 -2，-1，-，0，，1，2 时所对应的函数值（填写下表），并由此猜测指数函数 y= 的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由。 -2 -1 0 1 2 1 2 4 函数性质 具体结论 定义域 （全体实数） 值域 （正实数集） 奇偶性 非奇非偶函数 单调性 在 上为单调增函数 10 y=象 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下：根据上述指数函数 的性质，总结一下指数函数 的图象 根据以上性质可知，函数 的图象都在 轴上方，而且从左往右图象是逐渐上升的.通过描点，可以作出 的图象，如下图所示. 11 目标三：y的性质与图象 y质和图象 知识讲解 互动探究 新课引入 函数性质 具体结论 定义域 （全体实数） 值域 （正实数集） 奇偶性 非奇非偶函数 单调性 在 上为单调减函数 然后在图中作出 y的图象. 13 目标四：指数函数的性质与图象 比一比 思考一下：指数函数 y= 与指数函数 y有什么联系？ 注意到 ，因此不难看出 和 是有联系的： 当这两个函数的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等. 也就是说，如果点 在 的图象上，那么这个点关于 轴的对称点 一定在 的图象上； 反之， 的图象上任意一点 ，其关于 轴的对称点 也一定在 的图象上. 的范围 图像 性质     定义域 值域 定点 图像恒过定点 图像恒过定点 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值的变化情况 当 时，；当 时，；当 时， 当 时，；当 时，；当 时， 对称性 函数 与 的图像关于 轴对称 函数 与 的图像关于 轴对称 深度解读 ①当底数 a 大小不确定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论。 ②当 0<a<1 时，x→+∞，y→0；当 a>1 时，x→-∞，y→0（其中“x→+∞”的意义是：“x 接近于正无穷大”）。 ③当 a>1 时，a 的值越大，在第一象限的图像越靠近 y 轴，递增的速度越快；当 0<a<1 时，a 的值越小，在第一象限的图像越靠近 x 轴，递减的速度越快。 底数对图象的影响 不同底数的指数函数图像间的相对位置关系 ①对于不同底数的指数函数，在同一平面直角坐标系中作出它们的图像，如图 ，则 a>b>1>c>d>0。 ②在同一平面直角坐标系中作出不同底数的指数函数的图像时，在第一象限的图像由下至上，底数由小到大。通过在同一平面直角坐标系中作直线 x=1，得到的直线 x=1 与各个函数的图像交点的纵坐标，即分别为各个函数的底数，如图 ③变化趋势：指数函数 y= (a>1) 的底数越大，函数图像在 y 轴右侧部分越靠近 y 轴；指数函数 y= (0<a<1) 的底数越小，函数图像在 y 轴左侧部分越靠近 y 轴。 特别说明 通常称指数函数为下凸函数，即凹函数，其满足不等式 ()，可作为其判定依据之一。 对点体验 函数 的图像恒过定点________。 解 令 可得 ，又 。因此, 函数 的图像恒过定点 。 答 点评 由于指数函数 y= (a>0,且a≠1) 的图像恒过点 (0,1), 因此我们讨论与指数函数有关的图像过定点的问题时, 只需令指数为 0, 解出相应的 x,y, 即可求出定点坐标。 对点体验 已知 , , , , 则在同一平面直角坐标系内, 它们的大致图像为( )。 解 方法一:在第一象限内作直线 (图略), 该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各个函数的底数, 易知选 A。 方法二: 与 的图像单调递增, 且 的图像上升得快; 与 的图像关于 轴对称; 与 的图像关于 轴对称, 故选 A。 对点体验 如图 是指数函数① ; ② ; ③ ; ④ 的图像, 则 与 1 的大小关系是( )。 A. B. C. D. 解 方法一:如图, ①②的底数小于 1 且大于 0, 在 𝑦 轴右边, 底数越小, 图像越靠近 𝑥 轴, 故有 𝑏<𝑎。③④的底数大于 1, 底数越大, 图像越靠近 𝑦 轴, 故有 𝑑<𝑐。故选 B。 方法二:设直线 与①②③④的图像分别交于点 , 如图 4-1-2-4 所示, 则其坐标依次为 , 由图像观察可知 。故选 B。 目标五：有关指数函数的定义域与值域 1、 定义域 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 指数函数 y= (a>0, 且 a≠1) 的定义域为 R。 (2) (a>0, 且 a≠1) 的定义域与函数 y=f(x) 的定义域相同。 (3) y=f( ) 的定义域与函数 y=f(x) 的定义域不一定相同。例如：函数 f(x)= 的定义域为 [0,+∞)，而 f(x)=的定义域为 R。求 y=f( ) 的定义域时，应通过复合函数的定义，由 f(x) 的定义域与 g(x)= 的值域的等价性，建立关于 x 的不等式，利用指数函数的相关性质 24 2、 值域 知识讲解 互动探究 新课引入 (1) 指数函数的值域为 (0,+∞)。 (2) 求形如 的函数的值域时，先求 f(x) 的值域，然后结合函数 y= (a>0, 且 a≠1) 的性质确定。 (3) 求形如 y=f( ) 的值域，转化为求 t=∈(0,+∞) 时，y=f(t) 的值域。 (4) 有关指数函数的最值问题往往结合函数单调性更易求解。 (5) 求函数的值域仍应坚持“定义域优先”的原则。 25 求下列函数的定义域和值域 (1) ； (2) ； (3) 。 对点体验 答 (1) 由题意知 , , 函数的定义域为 。 , , 故函数的值域为 。 由题意知函数的定义域为 。 , , 故函数的值域为 。 求下列函数的定义域和值域 (1) ； (2) ； (3) 。 对点体验 答 (1) 由题意知 , , 函数的定义域为 。 , , 故函数的值域为 。 由题意知函数的定义域为 。 , , 故函数的值域为 。 求下列函数的定义域和值域 (1) ； (2) ； (3) 。 对点体验 （3）由题意知 , , , 函数的定义域为 。 又 , , , , 故函数的值域为 。 特别提醒 求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法：①首先观察函数是 y= 型还是 型，前者的定义域是 R，后者的定义域与 f(x) 的定义域一致，而 y=f( ) 的定义域由 t= 的值域在 y=f(t) 的定义域部分决定，因此求 y=型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）。②一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是 (0,+∞)。 目标六：指数幂的大小比较的方法 比较下列几组值的大小： (1) 与 ； (2) 与 ； (3) 与 ； (4) 与 。 对点体验 答 (1) 由于 ，，函数 为增函数，又 ，因而 ，即 。 由于 ，函数 为减函数，又 ，因而 。 比较下列几组值的大小： (1) 与 ； (2) 与 ； (3) 与 ； (4) 与 。 对点体验 由于函数 与函数 分别为 上的减函数与增函数，又 ，因而 ，即 。 由于 ，函数 为增函数，又 ，因而 ，即 。 特别提醒 指数幂的大小比较，是指数问题的常见考查形式，不仅涉及指数函数性质的研究运用，还涉及多种形式的灵活处理和各种比较方法的训练。 幂的大小比较的方法及注意事项如下： (1) 比较两个幂的大小常用的方法有： ① 作差(商)法； ② 函数单调性法； ③ 中间值法：要比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与 C，B 与 C 的大小，由不等式的传递性得到 A 与 B 的大小关系。 (2) 在比较两个幂的大小时，除了上述的一般方法之外，还应注意： ① 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 ② 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。 ③ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较。这个中间值必须和两者都有联系，如果取第一个的底数就要取第二个的指数，这样就可以进行比较了。 ④ 对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应根据值的大小(特别是与0,1的大小)进行分组，再比较各组数的大小。 目标七：利用指数函数的图像解题 方程 的实数根的个数为______。 对点体验 【解】由 得 。在同一平面直角坐标系中作出 与 的图像，如图 4-1-2-5 所示。可观察到两个函数图像有且仅有2个交点，故方程有2个实数根。 若函数 满足 ，且 在 上单调递增，则实数 的最小值为______。 对点体验 解 因为 ，所以函数 的图像关于直线 对称，所以 。作出函数 的图像，如图 所示。因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以实数 的最小值为1。 点评 若定义域为 R 的函数 f(x) 满足情况 ① f(2a-x)=f(x)，② f(-x)=f(2a+x)，③ f(a-x)=f(a+x) 中的任意一种，则函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称。 为何值时，关于 的方程 无解？仅有一解？有两个不相等的实数解？ 对点体验 答 函数 的图像是由函数 的图像先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，最后把位于 轴下方的图像翻折到 轴上方得到的，其图像如图 实线部分所示。 为何值时，关于 的方程 无解？仅有一解？有两个不相等的实数解？ 对点体验 可得当 时，直线 与函数 的图像无交点，所以关于 的方程 无解； 当 或 时，直线 与函数 的图像有唯一的交点，所以关于 的方程 仅有一解； 当 时，直线 与函数 的图像有两个不同的交点，所以关于 的方程 有两个不相等的实数解。 目标八：针对训练 举一反三 1.“”是“为指数函数”的() A.充分条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当时，是指数函数；若是底数为的指数函数，则，且，解得，故“”是“为指数函数”的充分不必要条件.故选：C. 举一反三 2.已知函数的定义域为.记的定义域为集合，的定义域为集合.则“”是“”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：的定义域为.当时，，的定义域为，即.令，解得，的定义域为，即.，“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 举一反三 3.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是() A. B. C. D. 解析：函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D. 举一反三 4.若函数是指数函数，则的值为() A.2 B.3 C. D.4 解析：函数是指数函数，且且，解得，，.故选：A. 5.已知函数的图象恒过定点，则() A.2 B.0 C. D. 解析：，恒过定点，，，，故选：A. 目标九：小结 学海拾贝 本节课我们完成了指数函数图象与性质的系统探究，核心内容可总结为“一个定义、两类图象、五条性质、一种思想”。 1. 两类图象，分类核心：指数函数的图象和性质由底数a的范围决定，分为a>1（递增型）和0<a<1（递减型）两种情况，这是解决所有指数函数问题的分类依据。 2. 五条核心性质：定义域为R，值域为(0,+∞)，恒过定点(0,1)；a>1时函数在R上单调递增，0<a<1时函数在R上单调递减，且图象始终位于x轴上方。 学海拾贝 3. 核心数学思想：全程运用数形结合思想，以图象直观反映函数性质，以性质解释图象特征，同时掌握分类讨论的解题思维。 4. 简单应用：利用指数函数的单调性，可快速比较同底数指数幂的大小，后续还可拓展解决不等式、值域求解等综合问题。 学海拾贝 最后强调：研究所有基本初等函数，都可以沿用“画图象—观特征—归性质—用性质”的通用方法，为后续对数函数、幂函数的学习奠定基础。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $