16.2 整式的乘法（第3课时 多项式与多项式相乘）（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

16.2 整式的乘法 第3课时 多项式与多项式相乘 第十六章 整式的乘法 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 经历从实际问题出发，借助图形面积的不同求法推导(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq的过程，能准确说出多项式与多项式相乘的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，体会数形结合思想的合理性。 掌握多项式与多项式相乘的运算法则，能正确、熟练地进行两个多项式相乘的运算（含合并同类项、结果化为最简形式），并能运用法则解决先化简再求值、确定字母系数的取值等简单问题。 体验并领会转化的数学思想，即把多项式与多项式相乘的问题，先转化为单项式与多项式相乘的问题，再把其中的多项式看作一个整体、两次运用单项式乘多项式法则加以解决；经历由特殊到一般归纳法则的过程，感受从具体到抽象的思维方法，并体会数学与现实生活的联系。 知识回顾 解：A计算正确； B应为aᵐ(aᵐ-a²+1)=a²ᵐ-aᵐ⁺²+aᵐ，计算错误； C、D计算正确。 1.下列计算错误的是（　　　　） A. -4a(2a²+3a-1)=-8a³-12a²+4a B. aᵐ(aᵐ-a²+1)=aᵐᵐ-a²ᵐ+aᵐ C. (-3x²)(4x²-(x+1)=-12x⁴+x³-3x² D. (2a²-(a-)·(-9a)=-18a³+6a²+4a B 知识点链接 单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加。 知识回顾 1.计算：(1) x(x2-3x+1)； (2) 6mn(2m+3n-1)。 解：(1) x(x2-3x+1) =x•x2-x•3x+x•1 =x3-x2+x。 p (a + b + c) = pa + pb + pc 理论依据是乘法分配律。 解：(2) 6mn(2m+3n-1) =6mn•2m+6mn•3n+6mn•(-1) =12m2n+18mn2-6mn。 知识点链接 你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 新课导入 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a m、宽 p m 的长方形绿地，加长了 b m，加宽了 q m。 a p b q 新课探究 （1）：把扩大后的绿地看作一个整体 ——长为 (a+b) m、宽为 (p+q) m 的长方形 a p b q a+b p+q 扩大后的绿地面积为 m2： (a+b)(p+q) 探究点1 面积法探究多项式与多项式相乘 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a m、宽 p m 的长方形绿地，加长了 b m，加宽了 q m。 新课探究 新课探究 探究点1 面积法探究多项式与多项式相乘 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a m、宽 p m 的长方形绿地，加长了 b m，加宽了 q m。 （2）：看作两个长方形，计算它们的面积和. a p b q a+b a+b 扩大后的绿地面积为： p(a+b)+q(a+b) 新课探究 新课探究 探究点1 面积法探究多项式与多项式相乘 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a m、宽 p m 的长方形绿地，加长了 b m，加宽了 q m。 a p b q （2）：看作两个长方形，计算它们的面积和. p+q p+q 扩大后的绿地面积为： a(p+q)+b(p+q) 新课探究 新课探究 探究点1 面积法探究多项式与多项式相乘 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a m、宽 p m 的长方形绿地，加长了 b m，加宽了 q m。 a p b q 新课探究 新课探究 探究点1 面积法探究多项式与多项式相乘 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a m、宽 p m 的长方形绿地，加长了 b m，加宽了 q m。 （3）：把扩大后的绿地看作由四个小长方形拼成，则其面积为四个小长方形面积之和，即ap+aq+bp+bq（单位：m2）。 ap a b p q 扩大后的绿地面积为 m2 ： ap+bp+aq+bq bp bq aq 新课导入 这几种表示方法求的都是同一块绿地的面积，它们有什么关系？ ap a b p q p+q a+b bp bq aq 结论：同一个量用不种方式表示，结果必然相等： (a+b) (p+q) a(p+q)+b(p+q) p(a+b)+q(a+b) ap+bp+aq+bq (a+b)(p+q) a(p+q)+b(p+q) p(a+b)+q(a+b) ap+bp+aq+bq = = = 我们怎样去推理上面这个等式呢？ 新课探究 探究点1 面积法探究多项式与多项式相乘 11 新知探究 探究点2 多项式与多项式相乘的法则 （1）如何计算 (a+b)(p+q)？能否把它转化为已经学过的运算？ 我们已经会计算单项式与多项式相乘。 如果把其中的一个多项式（如 p+q）看成一个整体，当作一个“单项式”，进行单项式与多项式相乘 （2）把 p+q 看作整体后，运用单项式与多项式相乘的法则如何计算？ (a+b)(p+q) + = 将多项式(p+q)看成一个整体 a(p+q) b(p+q) 思考 再利用单项式乘多项式的法则 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘的法则 （3）继续运用单项式与多项式相乘的法则，分别展开 a(p+q) 与 b(p+q). + + = =a(p+q) b(p+q) ap bp aq bq + + 再利用单项式乘多项式的法则 思考 (a+b)(p+q) （4）观察上面的展开过程，你发现 (a+b)(p+q) 的结果是怎样得到的？ 整体上看，( (a + b)(p + q) 的结果可以看作由 a + b 的每一项乘 p + q 的每一项，再把所得的积相加而得到的, 即(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。 (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘法则 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq 归纳 新知探究 探究点1 多项式与多项式相乘的法则 思考 把多项式与多项式相乘的问题转化为单项式与多项式相乘， 关键的一步是什么？ (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq ① 注意符号： “每一项”包括其前面的符号； ② 合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积. 把其中一个多项式看成一个整体（看成“一个单项式”），然后两次运用单项式与多项式相乘的法则 典例分析 例1.计算： (a+3)(a−2)； (3x+1)(x+2)； (x−8y)(x−y)； (a+b)(a²−ab+b²)。 解：(1) (a + 3)(a – 2) = a·a + a·(–2) + 3·a + 3×(–2) = a2 – 2a + 3a – 6 = a2 + a – 6 (2) (3x + 1)(x + 2) = (3x)·x + (3x)·2 + 1·x + 1×2 = 3x2 + 6x + x + 2 = 3x2 + 7x + 2 典例分析 例1.计算： (a+3)(a−2)； (3x+1)(x+2)； (x−8y)(x−y)； (a+b)(a²−ab+b²)。 解：(3) (x – 8y)(x – y) = x2 – xy – 8xy + 8y2 = x2 – 9xy + 8y2 (4) (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b –ab2 + b3 = a3 + b3 典例分析 例1.计算： (a+3)(a−2)； (3x+1)(x+2)； (x−8y)(x−y)； (a+b)(a²−ab+b²)。 方法总结： 防止“漏项”： 两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的乘积。如 (a+b)(p+q) 未合并前积的项数为 2×2=4，即 ap、aq、bp、bq 四项。检查漏项可用此法。 2. 注意符号： 多项式是单项式的和，每一项都包括它前面的符号，计算时一定要注意确定积中各项的符号。 3. 合并同类项： 如果积中有同类项，必须合并同类项，得出最简结果。 典例分析 例2. 已知(x3+mx+n)(x2-3x+4)的展开式中不含x3项和x2项 (1)求m与n的值; (2)求(m+n)(m2-mn+n2)的值. 解：(1)(x3+mx+n)(x2-3x+4) =x5-3x4+(m+4)x3+(n-3m)x2+(4m-3n)x+4n, ∵展开式中不含x2项和x3项 ∴得 解得： (2)(m+n)(m2-mn+n2) =m3-m2n+mn2+m2n-mn2+n3 =m3+n3, 由(1)知m=-4,n=-12, ∴原式=(-4)3+(-12)3 =-64-1 728 =-1 792. 典例分析 例3.(2026广东汕头月考)如图，一块长方形土地，长为(3a+2b)米，宽为(a+2b)米，现准备在这块土地上修建一个长为(2a+2b)米，宽为(a+b)米的长方形花坛，剩余部分修建休息区，则休息区的面积为__________平方米。 解：由题意得，休息区面积： (3a+2b)(a+2b)-(2a+2b)(a+b) =3a²+8ab+4b²-(2a²+4ab+2b²) =a²+4ab+2b²。 a²+4ab+2b² 新知巩固 教材P107 1、计算： (1)(2x+1)(x+3)； (2) (m+2n)(3n−m)； (3) (a−1)²； (4) (a+3b)(a−3b)； (5) (2x²−1)(x−4)； (6) (x²+2x+3)(2x−5)。 (1)解： (2x + 1)(x + 3) = 2x·x + 2x·3 + 1·x + 1×3 = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 (2)解： (m + 2n)(3n – m) = m·3n + m·(–m) +2n·3n + 2n·(–m) = 3mn – m2 + 6n2 – 2mn = – m2 + mn + 6n2 新知巩固 P107“练习”第1题。 1、计算： (1)(2x+1)(x+3)； (2) (m+2n)(3n−m)； (3) (a−1)²； (4) (a+3b)(a−3b)； (5) (2x²−1)(x−4)； (6) (x²+2x+3)(2x−5)。 (3)解： (a – 1)2 = (a – 1)(a – 1) = a·a + a·(–1) + (–1)·a + (–1)×(–1) = a2 – a – a + 1 = a2 – 2a + 1 (4)解： (a + 3b)(a – 3b) = a·a + a·(–3b) + 3b·a + 3b·(–3b) = a2 –3ab + 3ab – 9b2 = a2 – 9b2 教材P107 新知巩固 P107“练习”第1题。 1、计算： (1)(2x+1)(x+3)； (2) (m+2n)(3n−m)； (3) (a−1)²； (4) (a+3b)(a−3b)； (5) (2x²−1)(x−4)； (6) (x²+2x+3)(2x−5)。 = 2x3 – 8x2 – x + 4 (6)解： (x2 + 2x + 3)(2x – 5) = x2·2x + x2·(–5) + 2x·2x +2x·(–5) + 3·2x + 3×(–5) = 2x3 – 5x2 + 4x2 – 10x + 6x – 15 = 2x3 – x2 – 4x – 15 (5)解： (2x2 – 1)(x – 4) = 2x2·x + 2x2·(–4) + (–1)·x + (–1)×(–4) 教材P107 新知巩固 2、计算： x2 x x p q qx px pq （1）(x + 2)(x + 3)； （2）(x – 4)(x + 1)； （3）(x + 4)(x – 2)； （4）(x – 5)(x – 3)； 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： (x+p)(x+q)=(　)²+(　)x+(　)。 教材P107 (1)解： (x + 2)(x + 3) = x·x + x·3 + 2·x + 2×3 = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 (2)解： (x – 4)(x + 1) = x·x + x·1+ (–4)·x + (–4)×1 = x2 + x – 4x – 4 = x2 – 3x – 4 (3)解： (x + 4)(x – 2) = x·x + x·(–2) + 4·x +4×(–2) = x2 + –2x + 4x – 8 = x2 + 2x – 8 (4)解： (x – 5)(x – 3) = x·x + x·(–3) + (–5)·x + (–5)×(–3) = x2 – 3x – 5x + 15 = x2 – 8x + 15 新知巩固 2、计算： x2 x x p q qx px pq （1）(x + 2)(x + 3)； （2）(x – 4)(x + 1)； （3）(x + 4)(x – 2)； （4）(x – 5)(x – 3)； 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： (x+p)(x+q)=(　)²+(　 )x+( 　)。 教材P107 由上面四题可知，一次项系数等于两个常数之和，常数项等于两个常数之积，故: (x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ). x p+q pq （1）(x + 2)(x + 3) = x2 – 3x – 4 （2）(x – 4)(x + 1) （3）(x + 4)(x – 2) = x2 + 2x – 8 = x2 – 8x + 15 （4）(x – 5)(x – 3) = x2 +5x + 6 = x2 + （-4+1）x + （-4）×1 = x2 + （4-2）x + 4×（-2） = x2 + （-5-3）x + （-5）×（-3） = x2 + （2+3）x + 2×3 x p+q pq 新知巩固 3　先化简，再求值：(x−y)(x²+xy+y²)−(x+y)(x²−y²)，其中 x=，y=5。 解：原式=（x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3）－（ x3-xy2+x2y-y3 ） =(x3-y3)-(x3+x2y-xy2-y3) =x3-y3-x3-x2y+xy2+y3 =-x2y+xy2。 教材P107 分析：先分别展开两个多项式相乘的积，再合并同类项化简，最后代入求值。 当 x=，y=5 时， 原式=-2×+×52 =-+5 = 。 拓展提升 1.分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 解： 图①，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、， 所以有：，因此图①符合题意； 图②，整体长方形的长为，宽为，因此面积为， 整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为， 所以有：， 因此图②符合题意； 拓展提升 1.分别观察如图四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的有 （填序号）． 图③，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为， 所以有：，因此图③符合题意； 图④，整体正方形的边长为，因此面积为， 整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为， 另外两个长方形的长为，宽为，则面积为， 所以有， 即，因此图④符合题意； ①②③④ 真题感知 1.(2026天津和平月考)计算(x+6)(2x-3)，结果正确的是（　　） A. -2x²+9x-18　　　　B. 2x²+9x+18 C. -2x²-9x+18　　　　D. 2x²+9x-18 解： (x+6)(2x-3) =x(2x-3)+6(2x-3) =2x²-3x+12x-18 =2x²+9x-18。 解：(1)原式=-6x²+8x+15x-20 =-6x²+23x-20。 D 2. (2026江西师大附中月考)计算：(1)(-2x+5)(3x-4)；(2)(x²+3x-3)(2x+1)。 (2)原式=2x³+x²+6x²+3x-6x-3 =2x³+7x²-3x-3。 真题感知 3. (2026浙江金华期中)在计算(2x+a)·(x+b)时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x²+8x-24；乙错把a看成了4，得到的结果是2x²+14x+20。 (1)求a，b的值；(2)计算(2x+a)(x+b)的正确结果。 (1)解：∵(2x+a)(x+6) =2x²+(12+a)x+6a =2x²+8x-24， ∴12+a=8， 解得：a = -4； ∵(2x+4)(x+b) =2x²+(2b+4)x+4b =2x²+14x+20， ∴2b+4=14， 解得：b=5。 (2)解：由(1)得： (2x-4)(x+5) =2x²+10x-4x-20 =2x²+6x-20。 课堂小结 知识点总结 ⁑多项式与多项式相乘的法则： 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ⁑运用时要注意三点： 一是防止漏项（未合并前积的项数等于两个多项式项数之积）； 二是各项符号要随每一项自带，准确确定积中各项的符号； 三是结果中含有同类项必须合并，化为最简形式。 课堂小结 方法思想总结 ►转化思想：把多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘，再把其中一个多项式看成一个整体、两次运用法则。学习新知识、新方法时，常把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习得以进行。 ►数形结合思想：用图形面积直观验证法则 ►从特殊到一般的归纳思想：由具体实例归纳出多项式乘多项式法 课堂小结 易错提醒 (1) 漏项：展开后未合并同类项前，积的项数应为两多项式项数之积，漏乘某一项是常见错误。 (2) 符号：每一项都包括它前面的符号，特别是出现负号（如 −2、−y）时，务必连同符号一起相乘。 (3) 结果化简：若积中含有同类项（如 a²b 与 a²b、ab² 与 ab²），必须合并，得到最简结果，不能把未合并的式子当作最终答案 课后练习 教材P110 3. 计算： （1）(x−6)(x−3)； （2）(x+)(x−)； (3) (3x+2)(x+2)； (4) (4y−1)(5−y)； (5) (x−2)(x²+4)； (6) (x−1)(x²+x+1)。 解：(1) 原式 = x·x + x·(–3) + (–6)·x + (–6)×(–3) = x2 – 3x – 6x + 18 = x2 – 9x + 18 (2) 原式=x2-x+x- =x2+x-； (3) 原式 = 3x·x + 3x·2 + 2·x + 2×2 = 3x2 + 6x + 2x + 4 = 3x2 + 8x + 4 34 课后练习 教材P110 3. 计算： （1）(x−6)(x−3)； （2）(x+)(x−)； (3) (3x+2)(x+2)； (4) (4y−1)(5−y)； (5) (x−2)(x²+4)； (6) (x−1)(x²+x+1)。 (4) 原式 = 4y·5 + 4y·(–y) + (–1)×5 + (–1)·(–y) = 20y – 4y2 – 5 + y = – 4y2 + 21y – 5 (5) 原式 = x·x2 + x·4 + (–2)·x2 + (–2)×4 = x3 – 2x2 + 4x – 8 (6) 原式 = x·x2 + x·x + x –x2 – x + (– 1)×1 = x3 + x2 + x – x2 – x – 1 = x3 – 1 35 课后练习 教材P111 11. 确定下列各式中 m 的值 (其中 p，q 为正整数)： （1）(x + 4)(x + 9) = x2 + mx + 36； （2）(x – 2)(x – 18) = x2 + mx + 36； （3）(x + 3)(x + p) = x2 + mx + 36； （4）(x – 6)(x – p) = x2 + mx + 36； （5）(x + p)(x + q) = x2 + mx + 36. 解：（1） (x + 4)(x + 9) = x2 + 9x + 4x + 36 = x2 + 13x + 36 = x2 + mx + 36 所以 m = 13. （2） (x – 2)(x – 18) = x2 – 18x – 2x + 36 = x2 – 20x + 36 = x2 + mx + 36 所以 m = –20. 课后练习 11. 确定下列各式中 m 的值 (其中 p，q 为正整数)： （1）(x + 4)(x + 9) = x2 + mx + 36； （2）(x – 2)(x – 18) = x2 + mx + 36； （3）(x + 3)(x + p) = x2 + mx + 36； （4）(x – 6)(x – p) = x2 + mx + 36； （5）(x + p)(x + q) = x2 + mx + 36. （3） (x + 3)(x + p) = x2 + px + 3x + 3p = x2 + (p + 3)x + 3p = x2 + mx + 36 ∴3p = 36， （4） (x – 6)(x – p) = x2 – px – 6x + 6p = x2 – (p + 6)x + 6p = x2 + mx + 36 ∴6p = 36， 解得：p = 12， ∴m = p + 3 = 15 . 解得：p = 6， ∴m = –(p + 6) = –12. 教材P111 课后练习 11. 确定下列各式中 m 的值 (其中 p，q 为正整数)： （1）(x + 4)(x + 9) = x2 + mx + 36； （2）(x – 2)(x – 18) = x2 + mx + 36； （3）(x + 3)(x + p) = x2 + mx + 36； （4）(x – 6)(x – p) = x2 + mx + 36； （5）(x + p)(x + q) = x2 + mx + 36. 教材P111 （5） 左边 = x2 + (p + q)x + pq = x2 + mx + 36 ∴pq = 36. ∵p，q 为正整数， ∴ p = 1， q = 36 或 p = 2， q = 18 或 p = 3， q = 12 或 p = 4， q = 9 或 p = 6， q = 6 或 p = 9， q = 4 或 p = 12， q = 3 或 p = 18， q = 2 或 p = 36， q = 1. 或 p = 6， q = 6 所以有五种情况： m1 = 1 + 36 = 37， m2 = 2 + 18 = 20， m3 = 3 + 12 = 15， m4 = 4 + 9 = 13， m5 = 6 + 6 = 12， 综上所述，m 的值为 12 或 13 或 15 或 20 或 37. 谢谢聆听 $