专题12 期中复习压轴23类题型归纳 期中重难点复习专题训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题12 期中复习压轴23类题型归纳 （考试范围：第25章 一元二次方程~第27章 反比例函数） 【新教材人教版九年级上册】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的解】 2 【题型2 解一元二次方程-配方法】 3 【题型3 解一元二次方程-公式法】 5 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 6 【题型5 根的判别式】 7 【题型6 根与系数的关系】 10 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 12 【题型8 一元二次方程的应用】 12 【题型9 反比例函数系数k的几何意义】 16 【题型10 反比例函数图象上点的坐标特征】 18 【题型11 待定系数法求反比例函数解析式】 20 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 22 【题型13 反比例函数的应用】 25 【题型14 反比例函数几何综合_存在型】 29 【题型15 反比例函数几何综合_最值型】 34 【题型16 二次函数的性质】 37 【题型17 二次函数图象与系数的关系】 39 【题型18 二次函数图象上点的坐标特征】 41 【题型19 二次函数图象与几何变换】 43 【题型20 二次函数的最值】 44 【题型21 待定系数法求二次函数解析式】 46 【题型22 抛物线与x轴的交点】 47 【题型23 二次函数的函数综合】 51 【题型1 一元二次方程的解】 1．已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣6 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣6 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 【答案】B 【解答】解：由数据可得，当x＝﹣1或2时，﹣ax2+bx＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2． 故选：B． 2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ． 【答案】x＝2021 【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023， 解得x＝2021． 故答案为：x＝2021． 3．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【答案】（1）是“C方程”，理由见解析； （2）最小值为． 【解答】解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣4c﹣1的最小值为． 【题型2 解一元二次方程-配方法】 4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，此方程可变形为（　　） A．（x+3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8 【答案】D 【解答】解：原方程移项得x2﹣6x＝﹣1， x2﹣6x+9＝﹣1+9， （x﹣3）2＝8， 故选：D． 5．用配方法解一元二次方程x2﹣10x﹣11＝0，则方程可变形为（x﹣5）2＝ 　36　 ． 【答案】36． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣10x＝11， ∴x2﹣10x+25＝11+25， ∴（x﹣5）2＝36， 故答案为：36． 6．阅读下列方程2x2﹣8x﹣18＝0的解题过程，并解决下列问题． 解：移项得，2x2﹣8x＝18① 两边同除以2得，x2﹣4x＝9② 配方得，x2﹣4x+4＝9③ 即，（x﹣2）2＝9 ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3④ ∴x1＝5，x2＝﹣1⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是　③　 （填序号）； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）③； （2）2x2﹣8x﹣18＝0， 移项得2x2﹣8x＝18， 两边同除以2得x2﹣4x＝9， 配方得x2﹣4x+4＝9+4， 即（x﹣2）2＝13， （x﹣2）2＝13， ∴或， ∴，． 【解答】解：（1）上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在等号的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③； （2）原方程移项得2x2﹣8x＝18， 两边同除以2得x2﹣4x＝9， 配方得x2﹣4x+4＝9+4， 即（x﹣2）2＝13， （x﹣2）2＝13， ∴或， ∴，． 【题型3 解一元二次方程-公式法】 7．用公式法解方程3x2﹣7＝﹣5x时，得，则“□”处应填（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7 【答案】A 【解答】解：a＝3，b＝5，c＝﹣7． ∴， ∴“□”处应填﹣5． 故选：A． 8．定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时，min{a，b}＝b；当a≤b时，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：由定义可知： 当﹣x2+1≤﹣x，即x2﹣x﹣1≤0时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x2+1， 解得； 当﹣x2+1＞﹣x，即x2﹣x﹣1＞0时，min{﹣x2+1，﹣x}＝﹣x， 解得或； 不妨令y＝min{﹣x2+1，﹣x}， 则当时，y＝﹣x2+1的最大值在x处取得， ymax； 当或；y＝﹣x不存在最大值， 综上，y的最大值为， 故答案为：． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 【答案】（1）证明：∵x2﹣（k+3）x+3k＝0． ∴（x﹣3）（x﹣k）＝0， ∴无论k为何值，此方程总有一个根是x＝3． （2）解：令方程的两根为：x1，x2，则有：x1+x2＝k+3， 若斜边为4，可令另两直角边分别为3和k． ∴32+k2＝42， k2＝7， ∵k＞0． ∴k； 若直角边为4，则令斜边为k，另直角边为3． ∴42+32＝k2， ∵k＞0． ∴k＝5， 综上所述：k或k＝5． 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 10．小聪在解方程x2＝3x时，只得到一个根x＝3，则被漏掉的一个根是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【答案】B 【解答】解：原方程移项可得：x2﹣3x＝0， ∴x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x＝3． 小聪只得到x＝3，故被漏掉的根是x＝0． 故选：B． 11．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　14　 ． 【答案】14 【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14， 故答案为：14． 12．解方程： （1）5x2+x﹣1＝0； （2）x（x+2）﹣3x﹣6＝0． 【答案】（1）； （2）x1＝﹣2，x2＝3． 【解答】解：（1）∵a＝5，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×5×（﹣1）＝21， ∴， ∴； （2）原方程整理得x（x+2）﹣3（x+2）＝0， ∴（x+2）（x﹣3）＝0， ∴x+2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝3． 【题型5 根的判别式】 13．若关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C．且k≠0 D．k≥3 【答案】A 【解答】解：当k＝0时，原方程为：﹣2x+3＝0， 解得x，满足题意； 当k≠0时， ∵关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3 ＝4﹣12k≥0， 解得：k且k≠0， 综上，k的取值范围：k， 故选：A． 14．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a　 ． 【答案】a 【解答】解：∵（2x）※1＝a， ∴2x+4x2＝a， 方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0， 解得a， 故答案为：a． 15．定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，k＝432，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是　111　 ； （2）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且x＝﹣1是方程3x2+bx+c＝0的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，且10≤a+b+c≤15，求出“欢乐数”k的值． 【答案】（1）111； （2）741，852，963； （3）444或555． 【解答】解：（1）∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最小为1， ∴最小的“欢乐数”是111． 故答案为：111； （2）由条件可知2b＝a+c， ∵x＝﹣1是方程3x2+bx+c＝0的一个根， ∴3﹣b+c＝0，且b2﹣12c≥0， ∴b＝3+c， ∴6+2c＝a+c，即a＝6+c， ∵各个数位上的数字都不为零， ∴a，b，c三个数都大于等于1且小于等于9， ∴1≤3+c≤9，1≤6+c≤9， ∴1≤c≤3， ∴c的值可以为：1，2，3； 当c＝1时，b＝4，a＝7，符合b2﹣12c≥0，此时“欢乐数”为741； 当c＝2时，b＝5，a＝8，符合b2﹣12c≥0，此时“欢乐数”为852； 当c＝3时，b＝6，a＝9，符合b2﹣12c≥0，此时“欢乐数”为963； （3）由条件可知Δ＝（2b）2﹣4ac＝0，即b2＝ac， ∵a+c＝2b，b2＝ac， ∴（a﹣c）2＝（a+c）2﹣4ac＝4b2﹣4b2＝0， 解得a＝c， ∴a＝b＝c， ∵10≤a+b+c≤15， ∴10≤3a≤15， ∵1≤a、b、c≤9，a、b、c为自然数， ∴a＝b＝c＝4或a＝b＝c＝5， ∴k的值为444或555． 【题型6 根与系数的关系】 16．如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴x1，x2＝﹣q， ∴x2＝﹣q2x1， 因此是倍根方程， 故③正确； 故选：D． 17．设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为　2025　 ． 【答案】2025． 【解答】解：由条件可知a2+a﹣2026＝0，a+b＝﹣1， ∴a2+a＝2026， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2026﹣1＝2025． 故答案为：2025． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求m的值和方程的另一个根． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0， a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m﹣1） ＝m2+4m+4﹣8m+4 ＝m2﹣4m+8 ＝（m﹣2）2+4， ∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）m的值为2，方程的另一个根为3． 【解答】（1）证明：对于一元二次方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0， a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m﹣1） ＝m2+4m+4﹣8m+4 ＝m2﹣4m+8 ＝（m﹣2）2+4， ∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把x＝1代入方程，得1﹣（m+2）+2m﹣1＝0， 解得m＝2， 故方程为x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x1＝1，x2＝3， ∴另一个根为3． 即m的值为2，方程的另一个根为3． 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 19．如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 【答案】C 【解答】解：由题意，设道路的宽度为xm，则矩形田地的长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m， ∴（30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：C． 20．山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为38cm，宽为23cm的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为1000cm2，设留白部分的宽度为xcm，则可列方程为 　（38+2x）（23+2x）＝1000　 ． 【答案】（38+2x）（23+2x）＝1000． 【解答】解：根据题意，塑封后的长为（38+2x）cm，宽为（23+2x）cm， 所以列方程为（38+2x）（23+2x）＝1000． 故答案为：（38+2x）（23+2x）＝1000． 【题型8 一元二次方程的应用】 21．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣6＝0， ∴x（x﹣5）＝6， 拼图如图， ∴中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25， 大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7， 因此，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是， 故选：A． 22．如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：如图：设AB＝b， 图1中的正方形面积为4， ∴正方形边长为2， 直角三角形①中的长直角边为2， ∴b（2+b）＝4， 解得：b1（负值已舍去）， ∴AB1， 故答案为：1． 23．【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个相同矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】小颖根据以上解法解方程x2﹣3x﹣10＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x（x﹣3　 ）＝10； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；下面四个构图中，能用几何法求解方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是　丙　 ； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　（x+x﹣3）2＝49　 ，解得原方程的一个正根为x＝5　 ． （2）【类比迁移】若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法构图，则这个方程可能是　④　 ． ①x2﹣3x﹣10＝0； ②2x2+2x﹣8＝0； ③3x2+4x﹣12＝0； ④x2+4x﹣6＝0． （3）【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b（b＞0）的一元二次方程可以构造几何图形来解．已知图3是小明根据一个方程构造出来的，由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形的面积为4，请你求出a，b的值及此方程的正根． 【答案】（1）x（x﹣3），丙，（x+x﹣3）2＝49，x＝5； （2）④； （3）a＝±2，b＝3，方程的正根为1或3． 【解答】解：（1）解答过程补充完整如下： 第一步：将原方程变形为x（x﹣3）＝10： 第二步：四个全等的矩形构造“空心”大正方形，此时中间的空心正方形的边长为x﹣（x﹣3）＝3，大正方形的边长为x+（x﹣3）＝2x﹣3， 故四个构图中，能用几何法求解方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是丙； 第三步：根据题意得（2x﹣3）2＝4x（x﹣3）+32＝4×10+9＝49＝72， 故新的方程：（x+x﹣3）2＝49， 根据题意得2x﹣3＝7， 解得x＝5， 故原方程的一个正根为x＝5； 故答案为：x﹣3，丙，（x+x﹣3）2＝49，x＝5； （2）①根据题意得x（x﹣3）＝10， 故内空心正方形的边长为x﹣（x﹣3）＝3，与题意图示不相符，不符合要求； ②根据题意得x（x+1）＝4， 故内空心正方形的边长为x+1﹣x＝1，与题意图示不相符，不符合要求； ③根据题意得， 故内空心正方形的边长为，边长不是整数，与题意图示不相符，不符合要求； ④根据题意得x（x+4）＝6， 故内空心正方形的边长为x+4﹣x＝4，题意图示正方形的边长为4，有可能． 故选：④； （3）将方程变形为x（x+a）＝b，然后画四个长为x+a，宽为x的矩形，按图3所示的方式拼成一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积为（x+x+a）2，还可表示为4x（x+a）+a2＝4b+a2＝4×3+4＝16． 因此可得新方程（x+x+a）2＝16．因为x表示边长， 所以2x+a＝4，a2＝4，b＝3， 解得a＝±2， 当a＝2时，解2x+a＝4得x＝1； 当a＝﹣2时，解2x+a＝4得x＝3； 故a＝±2，b＝3，方程的正根为1或3． 【题型9 反比例函数系数k的几何意义】 24．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S△POA3， ∵点B在反比例函数y的图象上， ∴S△BOA2， ∴S△POB＝S△POA﹣S△BOA＝3﹣2＝1． 故选：D． 25．如图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，AB∥x轴，点C是x轴上一点，则△ABC的面积为　3.5　 ． 【答案】3.5． 【解答】解：如图，连接AO，BO，记AB与x轴的交点为F， 由条件可知AB⊥y轴， ∴， ∴S△ABC＝3.5， 故答案为：3.5． 【题型10 反比例函数图象上点的坐标特征】 26．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解答】解：作CD⊥x轴，垂足为点D， ∵点A（0，2），B（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， ∵∠AOB＝∠BDC，∠ABO＝∠BCD， ∴△AOB∽△BDC， ∵BC＝2AB， ∴， ∴BD＝2AO＝4，CD＝2BO＝2， ∴OD＝5， ∴C（5，2）， ∵点C在函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝5×2＝10． 故选：C． 27．设A，B，C，D是反比例函数图象上的四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD可以是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是　①③④　 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④． 【解答】解：根据反比例函数的对称性，结合特殊四边形的判定定理逐项分析判断如下： ∵反比例函数的图象关于原点成中心对称， ∴过原点作任意两条直线，分别交图象于A和C，B和D，可得OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确，符合题意； 假设四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，对角线交点为原点，设，由OA⊥OB， 根据勾股定理得OA2+OB2＝AB2， 代入坐标，得， 化简得（ab）2＝﹣16，方程无实数解，因此不存在这样的菱形，故②错误，不符合题意； ∵反比例函数关于直线y＝x对称，可找到四个点满足OA＝OB＝OC＝OD， 例如A（1，4），B（4，1），C（﹣1，﹣4），D（﹣4，﹣1），四个点都在函数图象上， 此时四边形ABCD是矩形， 因此四边形ABCD可以是矩形，故③正确，符合题意； ∵正方形是特殊的菱形，已经证明四边形不可能是菱形， ∴四边形不可能是正方形，故④正确，符合题意； 故答案为：①③④． 28．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”． （1）①方程x2﹣8x+12＝0 　是　 “3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程x2﹣4x+c＝0是“3倍根方程”，则c＝　3　 ； （2）若（x﹣3）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）若点（m，n）在反比例函数y上的图象上，则关于x的方程mx2﹣8x+n＝0是“3倍根方程”吗？并说明理由． 【答案】（1）是，3； （2）代数式的值为或； （3）见解答． 【解答】解：（1）①∵方程x2﹣8x+12＝0的两个根是x1＝2，x2＝6，则2×3＝6， ∴方程x2﹣8x+12＝0是“3倍根方程”； ②设一元二次方程x2﹣4x+c＝0的根是a，3a， 则a+3a＝4， 解得a＝1， ∴3a＝3， ∴c＝1×3＝3， 故答案为：是，3； （2）（x﹣3）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“3倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝3和x， ∴9或1， 当b＝9a时，， 当b＝a时，， 故代数式的值为或； （3）关于x的方程mx2﹣8x+n＝0是“3倍根方程”，理由如下： ∵点（m，n）在反比例函数y上的图象上， ∴n， ∴关于x的方程mx2﹣8x0， 解方程得x1，x2， ∴x2＝3x1， ∴方程mx2﹣8x+n＝0是“3倍根方程”． 【题型11 待定系数法求反比例函数解析式】 29．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数的图象上的三点，若x1＜x2＜0＜x3，则下列关系式正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【答案】B 【解答】解：∵反比例函数中，k＝3＞0， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵x1＜x2＜0＜x3， ∴y2＜y1＜y3． 故选：B． 30．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象和△ABC都在第一象限内．，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）． （1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析表达式； （2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值． 【答案】（1）y； （2）m． 【解答】解：（1）由题意，∵AB＝AC，BC＝4，点A（3，5）， ∴B（1，4），C（5，4）． ∵反比例函数的图象经过点B， ∴k＝1×4＝4． ∴反比例函数为y； （2）∵点A（3，5），C（5，4），又将△ABC 向下平移m个单位长度， ∴A（3，5﹣m），C（5，4﹣m）． ∵A，C两点同时落在反比例函数图象上， ∴3（5﹣m）＝5（4﹣m）． ∴m． 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 31．如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，过点C作CE⊥AD于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为9； ②点C的坐标为（3，3）； ③当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值； ④BE：AE＝2：3． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：分析结论①：点A横坐标为1，代入y得A（1，9），代入y＝x得B（1，1），故AB＝9﹣1＝8，结论①错误； 分析结论②：联立y＝x与y，解得x＝3（x＞0），故C（3，3），结论②正确； 分析结论③：由函数图象，当x＞3时，y＝x的图象在y上方，即一次函数值大于反比例函数值，结论③正确； 分析结论④：C（3，3），CE⊥AD，则E（1，3），BE＝3﹣1＝2，AE＝9﹣3＝6，故BE：AE＝2：6＝1：3，结论④错误． 故选：B． 32．如图，反比例函数y1（x＞0）的图象与一次函数y2＝bx+c的图象在第一象限交于点A（4，3），一次函数y2＝bx+c的图象与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）b＝　2　 ，c＝　﹣5　 ； （2）满足不等式0＜y2＜y1的x的取值范围是　x＜4　 ； （3）P（m，0）为x轴上一点，若△AOP的面积不小于△AOB的面积，请求出m的取值范围． 【答案】（1）2，﹣5； （2）； （3）或． 【解答】解：（1）由条件可知， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝5， ∴B（0，﹣5）， 由条件可得， 解得， ∴b＝2，c＝﹣5． 故答案为：2，﹣5； （2）令y＝0，代入y2＝2x﹣5中， 则0＝2x﹣5， 解得， ∴直线y2＝2x﹣5与x轴交于点， ∴根据图象可知，当0＜y2＜y1时，x的取值范围为； 故答案为：； （3）由条件可得， ∵P（m，0）， ∴OP＝|m|， ∴， ∵△AOP的面积不小于△AOB的面积， ∴， ∴或． 33．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（﹣3，﹣1），（m，3），过A，B两点的直线y＝ax+b（a≠0）与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足S△OCP＝4S△OBA，求点P的坐标． 【答案】（1）直线的函数表达式为y＝x+2，双曲线的函数表达式为； （2）． 【解答】解：（1）由条件可得，， ∴k＝3， ∴反比例函数的解析式为． 将B（m，3）代入得， 解得m＝1， ∴点B的坐标为（1，3）． 将点A和点B的坐标代入y＝ax+b（a≠0）得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+2； （2）将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，0），则OC＝2， ∴S△OBA＝S△BOC+S△AOC ＝4， ∴S△OCP＝4S△OBA＝4×4＝16． ∵ ∴， ∴yP＝±16， ∵点P在第三象限， ∴yP＝﹣16， 将yP＝﹣16代入得， ∴点P坐标为． 【题型13 反比例函数的应用】 34．小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米．若小明同学眼睛的近视度数不超过250度，则下列说法正确的是（　　） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于0.4米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2.5米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于0.4米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于0.4米 【答案】A 【解答】解：由题意，设近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）的函数解析式为， ∴把（0.2，500）代入解析式得：． ∴k＝100． ∴， ∴当D≤250时，即． ∴f≥0.4． 故选：A． 35．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y＝2x，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．教室空气中的药物浓度不低于2mg/m3时，对杀灭病毒有效．当m＝3时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 　8　 min． 【答案】8． 【解答】解：当m＝3是，y＝2×3＝6， ∴A（3，6）， 设熏蒸完后函数的关系式为：y， ∴k＝3×6＝18， ∴熏蒸完后函数的关系式为：y， ∵药物浓度不低于2mg/m3， ∴当2x≥2时，x≥1， 当y2时，x≤9， ∴有效时长为9﹣1＝8（min）， 故答案为：8． 36．某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标x（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标y（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知1≤y≤35． （1）根据所给信息，求y与x的函数关系式． （2）原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． （3）受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【答案】（1）（，且x为正整数）； （2）原计划使用货车6辆； （3）至少需要8辆货车，理由如下： 在中，当y＝8时，x＝7.5， 由反比例函数的图象可知，当，且x为正整数时，y随x增大而减小， ∴当y≤8时，x≥7.5， ∵x为正整数， ∴至少需要8辆货车． 【解答】解：（1）由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当x＝4时，y＝15， ∴， 解得k＝60， ∴， ∵1≤y≤35，即， ∴， ∴（，且x为正整数）； （2）设原计划使用货车x辆， ∴， 解得x＝6， 经检验x＝6是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3）至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当y＝8时，x＝7.5， 当，且x为正整数时，y随x增大而减小， ∴当y≤8时，x≥7.5， ∵x为正整数， ∴至少需要8辆货车． 【题型14 反比例函数几何综合_存在型】 37．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过A，B两点，连接AB，OA，OB，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，BD交OA于点C（1，2），且C为线段OA中点． （1）求k的值； （2）求△ABC的面积； （3）在反比例函数的图象上是否存在一点E，使得OA⊥AE？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k＝8； （2）△ABC的面积为3； （3）E（8，1）． 【解答】解：（1）∵O（0，0），C（1，2），且点C为OA中点， ∴A（2，4）， ∴k＝2×4＝8； （2）由（1）知k＝8， ∴反比例函数解析式为y， ∵BD⊥y轴， ∴yB＝yC＝2， ∴B（4，2）， ∴BC＝3， ∴S△ABCBC•（yA﹣yB）＝3； （3）当OA⊥AE时，如图，过A作MN∥x轴交y轴于点N，过E作EM⊥MN于点M， 则∠ANO＝∠OAE＝∠AME＝90°， ∴∠OAN＝∠AEM＝90°﹣∠MAE， ∴△OAN∽△AEM， ∴， 设E（m，），则AM＝m﹣2，EM＝4， ∴， 解得m＝8或m＝2（舍去）， 此时E（8，1）． 38．如图，四边形OABC是平行四边形，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，，tan∠AOC＝2，点A在反比例函数的图象上，点D是线段BC与反比例函数图象的交点，且点D的纵坐标为1． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接OD，AD，求△OAD的面积； （3）点P是x轴正半轴上一点，点Q是平面内一点，当以点A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）； （2）△OAD的面积为15； （3）点Q的坐标为或或或． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AG⊥x轴于G， ∵tan∠AOC＝2， ∴， ∴AG＝2OG， ∴， 解得OG＝2或OG＝﹣2（舍去）， ∴AG＝4， ∴A（2，4）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图所示，过点D作DE⊥x轴于E， 在中，当y＝1时，x＝8， ∴D（8，1）， ∴OE＝8，DE＝1， ∴EG＝OE﹣OG＝6，， ∵， ∴S△OAD＝S△AOG+S梯形AGED﹣S△ODE ＝15； （3）∵A（2，4），D（8，1）， ∴， 当AD为对角线时，如图， 设P（x，0）， 由条件可知PA＝PD，即PA2＝PD2， ∴（x﹣2）2+（0﹣4）2＝（x﹣8）2+（0﹣1）2， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为1+4﹣0＝5， ∴； 当AQ为对角线时，如图， 在Rt△APG中，，AG＝4， ∴， ∴， ∵A（2，4），D（8，1），菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为0+1﹣4＝﹣3， ∴； 当QD为对角线时，如图，作DE⊥x轴于点E，作QH⊥AG于点H，过点A作AG垂直于x轴于点G． 由题意得AQ∥PD，AG∥DE， ∴∠QAH＝∠PDE， ∵QA＝PD， ∴△QAH≌△PDE（AAS）， ∴AH＝DE＝1，GH＝AG﹣AH＝3， ∴， ∴． 当AP为对角线时，如图，作DE⊥x轴于点E，QF⊥x轴于点F，作DH⊥AG于点H， 同理△DAH≌△PQF， ∴QF＝AH＝4﹣1＝3，PF＝DH＝GE＝8﹣2＝6， 在Rt△PDE中，， ∴， ∴， ∴． 综上，点Q的坐标为或或或． 【题型15 反比例函数几何综合_最值型】 39．【阅读理解】函数y＝x（x＞0）可利用以下方法求得y的取值范围． 解：∵x＞0 ∴y＝x（）2+（）2＝（）2+6 ∵（）2≥0 ∴y≥6 【解决问题】（Ⅰ）函数y＝x，当x＞0时，y的取值范围是y≥10　 ． （Ⅱ）函数y，当x＞0时，求y的取值范围； 【灵活运用】（Ⅲ）已知矩形ABCD的面积是9，设AB长为x，矩形ABCD的周长为y．求y与x的函数关系式，并求出矩形ABCD的周长的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）∵x＞0 ∴y＝x（）2+（）2＝（）2+10， ∵（）2≥0 ∴y≥10； （Ⅱ）∵x＞0 ∴yx3＝（）2+（）2﹣3＝（）2+1， ∵（）2≥0 ∴y≥1； （Ⅲ）∵矩形ABCD的面积是9，设AB长为x， ∴BC， ∴矩形ABCD的周长为y＝2（AB+BC）＝2（x）（x＞0）， 由【阅读理解】知，x（）2+6≥6 ∴y＝2（x）≥12， 矩形ABCD的周长的最小值为12． 40．阅读理解：已知：对于实数a＞0，b＞0，满足a+b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，此时取得代数式a+b 的最小值．根据结论，解决以下问题： （1）拓展：若a＞0，当且仅当a＝　1　 时，a有最小值，最小值为 　2　 ； （2）应用：①如图1，已知点P为双曲线y（x＞0）上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥y轴．四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值： ②如图2．已知点Q是双曲线y（x＞0）上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标． 【答案】（1）1，2； （2）①P（2，2），周长最小8； ②点C的坐标为：（﹣2，0）、（2，0）或（6，4）． 【解答】解：（1）由题意得：a22， 故a有最小值为2； 此时a，解得：a＝±1（舍去负值）， 故答案为1，2； （2）①设点P（x，）， 则四边形OAPB的周长＝2PB+2AP＝2（x）≥2（2）＝8， 此时x，解得x＝±2（舍去负值），则点P（2，2）， 即：P（2，2），周长最小8； ②设点P（x，）， 则由题意得：OP2＝x2+（）2≥2x8， 当OP最小时，x，解得x＝±2（舍去负值），故点P（2，2）， 当y＝2时，y2，解得x＝4，即点Q（4，2）， 则PQ＝4﹣2＝2， 当PQ是边时， ∵PQ∥x轴， ∴四边形OPQC为平行四边形时，点C在x轴上， 即OC＝PQ＝2，则点C（2，0）或（﹣2，0）； 当PQ是对角线时， 设点C的坐标为（x，y）， 由中点的性质得：（2+4）（x+0）且（2+2）（0+y）， 解得：，故点C（6，4）． 即点C的坐标为：（﹣2，0）、（2，0）或（6，4）． 【题型16 二次函数的性质】 41．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解答】解：A，a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B，对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C，顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 42．如图所示，直线y＝x与抛物线y＝x2﹣x﹣3交于A，B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P作PQ⊥x轴交直线y＝x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随着m的增大而减小时m的取值范围是m≤﹣1或1≤m≤3　 ． 【答案】m≤﹣1或1≤m≤3 【解答】解： 联立直线和抛物线解析式可得，解得或， ∴A（﹣1，﹣1），B（3，3）， ∵点P在抛物线上，点Q在直线y＝x上，且点P的横坐标为m， ∴P（m，m2﹣m﹣3），Q（m，m）， 当m＜﹣1或m＞3时，可知点P在点Q上方， ∴PQ＝m2﹣m﹣3﹣m＝m2﹣2m+1﹣4＝（m﹣1）2﹣4， ∴当m≤﹣1时PQ的长度随m的增大而减小； 当﹣1＜m＜3时，可知点Q在点P上方， ∴PQ＝m﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣m2+2m+3＝﹣（m﹣1）2+4， 此时抛物线开口向下，对称轴为m＝1， ∴当1≤m≤3时，PQ随m的增大而减小， 综上可知m的取值范围为：m≤﹣1或1≤m≤3， 故答案为：m≤﹣1或1≤m≤3． 43．设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c，d），若a＝﹣2c，b＝﹣2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数y＝x2﹣x+1的一个“反倍顶二次函数”； （2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝2x2﹣nx+1，若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值． 【答案】解：（1）∵y2＝x2﹣x+1＝（x）2， 顶点（，）， ∴y1的值顶点坐标为（﹣1，）， ∴y1＝（x+1）2． （2）∵y1＝x2+nx＝（x）2，y2＝2x2﹣nx+1＝2（x）2， 由题意2，解得n＝±2． 【题型17 二次函数图象与系数的关系】 44．如图，直线y＝kx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于AB两点，其对称轴为直线x＝1，且OA＝OD，直线y＝kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0． ∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴b＜0且b＝﹣2a． ∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0． ∴①abc＞0错误； ②3a+c＞0正确； ∵直线y＝kx+c经过一、二、四象限， ∴k＜0． ∵OA＝OD， ∴点A的坐标为（c，0）． 直线y＝kx+c当x＝c时，y＞0， ∴kc+c＞0可得k＞﹣1． ∴③﹣1＜k＜0正确； ∵直线y＝kx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的图象有两个交点 ∴ax2+bx+c＝kx+c， 得x1＝0，x2 由图象知x2＞1， ∴1 ∴k＞a+b ∴④正确； 故选：D． 45．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b．其中正确的结论有　②③④　 ．（填写序号） 【答案】②③④． 【解答】解：由所给函数图象可知， a＜0，b＞0，c＞0， 则abc＜0， 故①错误； 当x＝﹣1时，函数值小于零， 则a﹣b+c＜0， 所以b﹣a＞c， 故②正确； 当x＝2时，函数值大于零， 所以4a+2b+c＞0， 故③正确； 因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以， 则a． 因为a﹣b+c＜0， 所以， 整理得，2c＜3b， 故④正确． 故答案为：②③④． 【题型18 二次函数图象上点的坐标特征】 46．设A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 【答案】D 【解答】解：抛物线y＝﹣x2﹣2x+c图象，开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵A（﹣3，y1）距离对称轴2个单位长度， B（﹣2，y2）距离对称轴1个单位长度， C（2，y3）距离对称轴3个单位长度， ∴y2＞y1＞y3． 故选：D． 47．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝　1　 ． 【答案】1 【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，如图所示． ∵点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，且A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0）， ∴点A的坐标为（m，﹣m2+4），点C的坐标为（n，﹣n2+4）， ∴AM＝m，CN＝n． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°． ∵∠CDN+∠DCN＝90°，∠CDN+∠ADM＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DCN＝∠ADM． 在△ADM和△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（AAS）． ∴DN＝AM＝m，DM＝CN＝n． ∴MN＝DN+DM＝m+n＝（﹣n2+4）﹣（﹣m2+4）＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）． ∴m﹣n＝1． 故答案为：1． 48．抛物线经过点（0，2），（﹣3，﹣1）． （1）求a，c的值； （2）点E（m，yE），F（m﹣4，yF）均在C1上． ①若yE＝yF，求m的值； ②若m≤﹣2，直接写出yE与yF的大小关系． 【答案】（1）a＝1，c＝2； （2）①m＝0；②yE＜yF． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得：； （2）①由（1）可得：抛物线的解析式为：y＝x2+4x+2， ∵点E（m，yE），F（m﹣4，yF）均在C1上，且yE＝yF， ∴m2+4m+2＝（m﹣4）2+4（m﹣4）+2， 解得：m＝0； ②由（1）得对称轴为直线， ∵m≤﹣2， ∴﹣2≥m≥m﹣4， ∵a＝1＞0， ∴当﹣2≥m≥m﹣4时， ∴y随m增大而减小， ∴yE＜yF． 【题型19 二次函数图象与几何变换】 49．把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， 故选：B． 50．把抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣2先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣x2 ． 【答案】y＝﹣x2． 【解答】解：由题意，∵y＝﹣（x﹣2）2﹣2， ∴先向左平移2个单位，y＝﹣（x﹣2+2）2﹣2， 又∵再向上平移2个单位， ∴可得y＝﹣（x﹣2+2）2﹣2+2，即y＝﹣x2． 故答案为：y＝﹣x2． 51．如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B、C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为（1，0）． （1）求点D的坐标； （2）将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过点D，求m的值． 【答案】（1）D（2，1）； （2）m＝8． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，顶点B、C在x轴的正半轴上， ∴AB⊥BC， ∵B（1，0），点A在抛物线y＝x2上， ∴A（1，1）， 又∵AD＝AB＝1， ∴D（2，1）； （2）设平移后抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣m， ∵平移后的抛物线经过点D（2，1）， ∴（2+1）2﹣m＝1， 解得m＝8． 【题型20 二次函数的最值】 52．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 【答案】C 【解答】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大， 把A（0，1），C（4，1），D（3，2）代入y＝ax2+bx+c得， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为yx2x+1， 当x＝1时，y1＝2， 故a+b+c的最大值等于2， 故选：C． 53．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由条件可知∠ADC＝90°，EF＝CE，∠FEC＝90°， ∵∠FEH+∠EFH＝90°＝∠FEH+∠CED， ∴∠EFH＝∠CED， 又∵∠FHE＝90°＝∠EDC，EF＝CE， ∴△FEH≌△ECD（AAS）， ∴FH＝ED， 设AE＝a，则ED＝FH＝4﹣a， ∴， ∵， ∴当AE＝2时，△AEF的面积最大，其值为2． 故答案为：2． 【题型21 待定系数法求二次函数解析式】 54．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线y相同， ∴a， ∵顶点为（2，1）， ∴抛物线解析式为y（x﹣2）2+1． 故选：A． 55．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣1． （1）该抛物线的对称轴为 x＝﹣1　 ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； （3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围． 【答案】（1）x＝﹣1； （2）抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x﹣1； （3）当a＞0时，m＞2或m＜﹣4；当a＜0时，﹣4＜m＜2． 【解答】解：（1）y＝ax2+2ax﹣1＝a（x2+2x）﹣1＝a（x+1）2﹣（a+1）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1； （2）由（1）知，抛物线的顶点为（﹣1，a+1）， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴a+1＝0， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x﹣1； （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴N （2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N'（﹣4，y2）， ①当a＞0时，若y1＞y2，则m＞2或m＜﹣4； ②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2． 综上，当a＞0时，m＞2或m＜﹣4；当a＜0时，﹣4＜m＜2． 【题型22 抛物线与x轴的交点】 56．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【解答】解：∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错； ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a， ∴4a+b＝0，②正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵b＝﹣4a， ∴a﹣4a+c＝0， ∴c＝3a， ∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2， ∴，③正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵c＝3a， ∴点C的坐标为（0，3a）， 当x＝2，可得y＝4a+2b+c， 将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a， ∴点P的坐标为 （2，﹣a）， ∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2， ∵∠CPB＝90°， ∴PC2+PB2＝BC2， 可得4+16a2+1+a2＝9+9a2， 解得或， ∵a＜0， ∴，④正确． ④解法二 前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a） ∵∠CPB＝90° ∴CP⊥PB ∴直线CP，PB对应一次函数斜率乘积为﹣1 ∴④正确 综上，正确的说法为②③④， 故选：A． 57．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标． 【答案】解：（1）把A（3，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x+m得： ﹣9+6+m＝0， m＝3； （2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， x2﹣2x﹣3＝0， （x+1）（x﹣3）＝0， ∴x＝﹣1或3， ∴B（﹣1，0）； （3）∵S△ABD＝S△ABC， 当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3， ﹣x2+2x＝0， x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0或2， ∴只有（2，3）符合题意． 综上所述，点D的坐标为（2，3）． 【题型23 二次函数的函数综合】 58．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：方程x3+2x﹣1＝0， ∴x2+2， ∴它的根可视为y＝x2+2和的图象交点的横坐标， 当x时，y＝x2+2＝2，y4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x时，y＝x2+2＝2，y3，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x时，y＝x2+2＝2，y2，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x＝1时，y＝x2+2＝3，y1，此时抛物线的图象在反比例函数上方． 故方程x3+2x﹣1＝0的实根x0所在范围为：x． 故选：C． 59．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为 　﹣3　 ； （2）设直线BC的函数表达式为y＝mx+n，当t≤x≤t+1时，函数y＝mx+n的最大值与最小值之差和函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值之差相等，则t的值为 　0或1　 ． 【答案】（1）（0，﹣3）； （2）0或1． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得， ，解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 故答案为：（0，﹣3）； （2）将B，C代入y＝mx+n， 得， 解得：， ∴y＝x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴x＝1时，y有最小值﹣4， ∵当t≤x≤t+1时，函数y＝mx+n的最大者与最小值的差和函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值之差相等， 时，y＝x﹣3的最大值与最小值之差为﹣3﹣（﹣4）＝1，y＝x2+bx+c的最大值与最小值之差为（t﹣1）2， 故（t﹣1）2＝1， 解得：t＝2（舍去）或t＝0， 1时，y＝x﹣3的最大值与最小值之差为﹣3﹣（﹣4）＝1，y＝x2+bx+c的最大值与最小值之差为（t﹣1+1）2， ∴（t+1﹣1）2＝1， 解得：t＝1或t＝﹣1（舍去）， 当t＜0时，y＝x﹣3的最大值与最小值之差为﹣3﹣（﹣4）＝1，y＝x2+bx+c的最大值与最小值之差为（t﹣1）2﹣（t+1﹣1）2＝﹣2t+1， ∴﹣2t+1＝1， 即t＝0，不满足题意， 当t＞1时，y＝x﹣3的最大值与最小值之差为﹣3﹣（﹣4）＝1，y＝x2+bx+c的最大值与最小值之差为（t+1﹣1）2﹣（t﹣1）2＝2t﹣1， ∴2t﹣1＝1， 即t＝1，不符合题意 综上所述，t的值为0或1， 故答案为：0或1． 60．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（6，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若a＝﹣4，且对于该抛物线上的两点P（m1，n1），Q（m2，n2），当t≤m1≤t+1，m2≥5时，均满足n1≥n2，求t的取值范围； （3）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝2x2﹣x上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线x＝3； （2）t的取值范围为1≤t≤4； （3）a，． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx经过点（6，0），代入得0＝a×62+b×6，化简得b＝﹣6a， 抛物线对称轴为，将b＝﹣6a代入得， 答：该抛物线的对称轴为直线x＝3； （2）当a＝﹣4时，b＝﹣6×（﹣4）＝24， 抛物线方程为y＝﹣4x2+24x，抛物线开口向下，对称轴为x＝3， 当x≥3时，y随x增大而减小， 当t≤m1≤t+1，m2≥5时，均满足n1≥n2， ∴t+1≤5，t≤4 m2＝5时，Q关于x＝3轴对称点为P时，m1＝1， ∴t≥1符合条件； 综上，t的取值范围为1≤t≤4， 答：t的取值范围为1≤t≤4； （3）设定值），则x2＝kx1， ， ， 由，得y2＝2ky1， 即， 两边除以k得，整理得． 因对所有x1≠0成立，故系数为0：2k﹣2a＝0， 得a＝k； ﹣1﹣2b＝0，得， ∵b＝﹣6a， ∴a， 答：a，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 期中复习压轴23类题型归纳 （考试范围：第25章 一元二次方程~第27章 反比例函数） 【新教材人教版九年级上册】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的解】 2 【题型2 解一元二次方程-配方法】 2 【题型3 解一元二次方程-公式法】 3 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 3 【题型5 根的判别式】 4 【题型6 根与系数的关系】 4 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 5 【题型8 一元二次方程的应用】 5 【题型9 反比例函数系数k的几何意义】 7 【题型10 反比例函数图象上点的坐标特征】 8 【题型11 待定系数法求反比例函数解析式】 9 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 9 【题型13 反比例函数的应用】 11 【题型14 反比例函数几何综合_存在型】 12 【题型15 反比例函数几何综合_最值型】 14 【题型16 二次函数的性质】 15 【题型17 二次函数图象与系数的关系】 16 【题型18 二次函数图象上点的坐标特征】 16 【题型19 二次函数图象与几何变换】 17 【题型20 二次函数的最值】 18 【题型21 待定系数法求二次函数解析式】 18 【题型22 抛物线与x轴的交点】 19 【题型23 二次函数的函数综合】 20 【题型1 一元二次方程的解】 1．已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣6 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣6 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ___________ ． 3．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【题型2 解一元二次方程-配方法】 4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+1＝0，此方程可变形为（　　） A．（x+3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8 5．用配方法解一元二次方程x2﹣10x﹣11＝0，则方程可变形为（x﹣5）2＝ _______ ． 6．阅读下列方程2x2﹣8x﹣18＝0的解题过程，并解决下列问题． 解：移项得，2x2﹣8x＝18① 两边同除以2得，x2﹣4x＝9② 配方得，x2﹣4x+4＝9③ 即，（x﹣2）2＝9 ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3④ ∴x1＝5，x2＝﹣1⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是_____ （填序号）； （2）请你写出正确的解答过程． 【题型3 解一元二次方程-公式法】 7．用公式法解方程3x2﹣7＝﹣5x时，得，则“□”处应填（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7 8．定义符号min{a，b}含义为：当a＞b时，min{a，b}＝b；当a≤b时，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，2）＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是____________________ ． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值． 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 10．小聪在解方程x2＝3x时，只得到一个根x＝3，则被漏掉的一个根是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 11．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 _______ ． 12．解方程： （1）5x2+x﹣1＝0； （2）x（x+2）﹣3x﹣6＝0． 【题型5 根的判别式】 13．若关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C．且k≠0 D．k≥3 14．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________________ ． 15．定义：对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“欢乐数”．例如，k＝432，因为，所以432是“欢乐数”． （1）直接写出最小的“欢乐数”是________ ； （2）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且x＝﹣1是方程3x2+bx+c＝0的一个根，写出所有满足条件的“欢乐数”； （3）若一个“欢乐数”k＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，a，b，c为自然数），且关于x的一元二次方程ax2+2bx+c＝0有两个相等的实数根，且10≤a+b+c≤15，求出“欢乐数”k的值． 【题型6 根与系数的关系】 16．如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 17．设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为_________ ． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求m的值和方程的另一个根． 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 19．如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 20．山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为38cm，宽为23cm的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为1000cm2，设留白部分的宽度为xcm，则可列方程为 ____________________ ． 【题型8 一元二次方程的应用】 21．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 22．如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB长为 _________________ ． 23．【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个相同矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】小颖根据以上解法解方程x2﹣3x﹣10＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x（________ ）＝10； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；下面四个构图中，能用几何法求解方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是_____ ； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：________________ ，解得原方程的一个正根为________ ． （2）【类比迁移】若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法构图，则这个方程可能是_____ ． ①x2﹣3x﹣10＝0； ②2x2+2x﹣8＝0； ③3x2+4x﹣12＝0； ④x2+4x﹣6＝0． （3）【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b（b＞0）的一元二次方程可以构造几何图形来解．已知图3是小明根据一个方程构造出来的，由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形的面积为4，请你求出a，b的值及此方程的正根． 【题型9 反比例函数系数k的几何意义】 24．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 25．如图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，AB∥x轴，点C是x轴上一点，则△ABC的面积为________ ． 【题型10 反比例函数图象上点的坐标特征】 26．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），∠ABC＝90°，BC＝2AB，若点C在函数y（x＞0）的图象上，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 27．设A，B，C，D是反比例函数图象上的四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD可以是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是________ ．（写出所有正确结论的序号） 28．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”． （1）①方程x2﹣8x+12＝0 _____ “3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程x2﹣4x+c＝0是“3倍根方程”，则c＝_____ ； （2）若（x﹣3）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）若点（m，n）在反比例函数y上的图象上，则关于x的方程mx2﹣8x+n＝0是“3倍根方程”吗？并说明理由． 【题型11 待定系数法求反比例函数解析式】 29．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数的图象上的三点，若x1＜x2＜0＜x3，则下列关系式正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 30．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象和△ABC都在第一象限内．，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）． （1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析表达式； （2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值． 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 31．如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，过点C作CE⊥AD于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为9； ②点C的坐标为（3，3）； ③当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值； ④BE：AE＝2：3． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．如图，反比例函数y1（x＞0）的图象与一次函数y2＝bx+c的图象在第一象限交于点A（4，3），一次函数y2＝bx+c的图象与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）b＝_____ ，c＝_______ ； （2）满足不等式0＜y2＜y1的x的取值范围是____________________ ； （3）P（m，0）为x轴上一点，若△AOP的面积不小于△AOB的面积，请求出m的取值范围． 33．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（﹣3，﹣1），（m，3），过A，B两点的直线y＝ax+b（a≠0）与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）求直线和双曲线的函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，满足S△OCP＝4S△OBA，求点P的坐标． 【题型13 反比例函数的应用】 34．小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米．若小明同学眼睛的近视度数不超过250度，则下列说法正确的是（　　） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于0.4米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2.5米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于0.4米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于0.4米 35．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y＝2x，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．教室空气中的药物浓度不低于2mg/m3时，对杀灭病毒有效．当m＝3时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 _____ min． 36．某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标x（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标y（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知1≤y≤35． （1）根据所给信息，求y与x的函数关系式． （2）原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． （3）受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【题型14 反比例函数几何综合_存在型】 37．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过A，B两点，连接AB，OA，OB，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，BD交OA于点C（1，2），且C为线段OA中点． （1）求k的值； （2）求△ABC的面积； （3）在反比例函数的图象上是否存在一点E，使得OA⊥AE？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，四边形OABC是平行四边形，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，，tan∠AOC＝2，点A在反比例函数的图象上，点D是线段BC与反比例函数图象的交点，且点D的纵坐标为1． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接OD，AD，求△OAD的面积； （3）点P是x轴正半轴上一点，点Q是平面内一点，当以点A，D，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 【题型15 反比例函数几何综合_最值型】 39．【阅读理解】函数y＝x（x＞0）可利用以下方法求得y的取值范围． 解：∵x＞0 ∴y＝x（）2+（）2＝（）2+6 ∵（）2≥0 ∴y≥6 【解决问题】（Ⅰ）函数y＝x，当x＞0时，y的取值范围是_________ ． （Ⅱ）函数y，当x＞0时，求y的取值范围； 【灵活运用】（Ⅲ）已知矩形ABCD的面积是9，设AB长为x，矩形ABCD的周长为y．求y与x的函数关系式，并求出矩形ABCD的周长的最小值． 40．阅读理解：已知：对于实数a＞0，b＞0，满足a+b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，此时取得代数式a+b 的最小值．根据结论，解决以下问题： （1）拓展：若a＞0，当且仅当a＝_____ 时，a有最小值，最小值为 _____ ； （2）应用：①如图1，已知点P为双曲线y（x＞0）上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥y轴．四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值： ②如图2．已知点Q是双曲线y（x＞0）上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标． 【题型16 二次函数的性质】 41．已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 42．如图所示，直线y＝x与抛物线y＝x2﹣x﹣3交于A，B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P作PQ⊥x轴交直线y＝x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随着m的增大而减小时m的取值范围是_______________ ． 43．设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c，d），若a＝﹣2c，b＝﹣2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数y＝x2﹣x+1的一个“反倍顶二次函数”； （2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝2x2﹣nx+1，若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值． 【题型17 二次函数图象与系数的关系】 44．如图，直线y＝kx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于AB两点，其对称轴为直线x＝1，且OA＝OD，直线y＝kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b． A．0 B．1 C．2 D．3 45．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b．其中正确的结论有________ ．（填写序号） 【题型18 二次函数图象上点的坐标特征】 46．设A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 47．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝_____ ． 48．抛物线经过点（0，2），（﹣3，﹣1）． （1）求a，c的值； （2）点E（m，yE），F（m﹣4，yF）均在C1上． ①若yE＝yF，求m的值； ②若m≤﹣2，直接写出yE与yF的大小关系． 【题型19 二次函数图象与几何变换】 49．把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 50．把抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣2先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为__________ ． 51．如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B、C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为（1，0）． （1）求点D的坐标； （2）将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过点D，求m的值． 【题型20 二次函数的最值】 52．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 53．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是_____ ． 【题型21 待定系数法求二次函数解析式】 54．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 55．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣1． （1）该抛物线的对称轴为 _________ ； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； （3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围． 【题型22 抛物线与x轴的交点】 56．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 57．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标． 【题型23 二次函数的函数综合】 58．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（　　） A． B． C． D． 59．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）点C的坐标为 _______ ； （2）设直线BC的函数表达式为y＝mx+n，当t≤x≤t+1时，函数y＝mx+n的最大值与最小值之差和函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值之差相等，则t的值为 ________ ． 60．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（6，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若a＝﹣4，且对于该抛物线上的两点P（m1，n1），Q（m2，n2），当t≤m1≤t+1，m2≥5时，均满足n1≥n2，求t的取值范围； （3）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝2x2﹣x上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $