4．4 对数函数讲义（13大培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4．4 对数函数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、对数函数的概念 3 知识点二、对数函数的图象与性质 3 知识点三、底数对对数函数图象的影响 4 知识点四、反函数 4 03 题型精讲 6 题型一：对数函数的概念与定义辨析 6 题型二：对数函数中的参数求解 7 题型三：对数函数解析式的确定 8 题型四：对数型函数恒过定点问题 9 题型五：对数函数的图象识别与变换 11 题型六：对数函数的定义域求解 15 题型七：对数函数的奇偶性判定与应用 17 题型八：对数函数单调性的综合运用 19 题型九：对数式的大小比较 22 题型十：对数型不等式的求解 24 题型十一：反函数概念与对数反函数应用 26 题型十二：对数函数的值域与最值 28 题型十三：对数函数核心性质的综合应用 31 04 课后精练 35 05 培优拓展 42 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点诠释： （1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点诠释： 关于对数式的符号问题，既受．．的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 知识点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 题型一：对数函数的概念与定义辨析 【典例1-1】下列函数中，是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A. 是对数函数；B. 是一次函数；C. 是正弦函数；D. 是二次函数. 故选：. 【典例1-2】下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 【变式1-1】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【解析】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【变式1-2】下列函数是对数函数的是 A． B．   C． D．   【答案】C 【解析】由对数函数定义可以，本题选C． 【变式1-3】下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数； ②和③符合对数函数的定义，是对数函数； ④中，底数不是常数，不是对数函数； ⑤中系数不是，不是对数函数. 故选：B. 【方法技巧与总结】 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 题型二：对数函数中的参数求解 【典例2-1】若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【解析】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 【典例2-2】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若函数为对数函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 【变式2-1】函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由解得或，又，且，所以 故选：B. 【变式2-2】使对数有意义的的取值范围为　　 A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【解析】要使对数有意义，则， 解得， 故选：B． 【变式2-3】函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】， 所以， ， 所以， 故选：C． 【方法技巧与总结】 的系数为1 题型三：对数函数解析式的确定 【典例3-1】对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【解析】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 【典例3-2】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式3-1】（2026·高一·江苏无锡·期末）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 【变式3-2】（2026·高二·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 【变式3-3】（2026·高二·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【解析】由已知得，所以，解得：， 故选：A． 【方法技巧与总结】 待定系数法 题型四：对数型函数恒过定点问题 【典例4-1】（2026·高一·山东日照·期末）函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【解析】因为 ，令 （即 ）， 则，所以定点 的坐标为 ， 因为点 在直线 上， 所以， 所以， 所以， 当且仅当 （即 ）时取等号，则的最小值为8. 故选：B. 【典例4-2】（2026·高一·陕西商洛·期末）函数图象恒过定点，且点坐标满足方程，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【解析】因为函数图象恒过定点， 所以令，即时，，所以. 因为点坐标满足方程，则有. 因为，所以根据基本不等式的性质可得 ， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为8. 故选：D. 【变式4-1】（2026·高一·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得，再将代入解析式得. 所以过定点，即. 故选：D 【变式4-2】（2026·高一·广西钦州·期末）已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若过定点，则有，即， 又，故，点在函数的图象上， 则有，解得. 故选：C. 【变式4-3】（2026·高一·云南昭通·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】D 【解析】函数的图象恒过定点， 又点在的图象上， ，即， 故选：D. 【方法技巧与总结】 令真数为1求解． 题型五：对数函数的图象识别与变换 【典例5-1】（2026·高一·全国·期中）若函数且的图象如图，其中，为常数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察的图象可知， 则也是单调递增的，排除掉选项C，D； 当时，，又，则. ，排除B，结合图象判断A正确. 【典例5-2】（2026·高三·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，在定义域内单调递减，所以. 当时，，即，所以. 由图象可知，则. 故，. 当时，单调递减； 当时，，此时， 综上，函数的大致图象是选项D. 【变式5-1】（2026·高一·河南·期中）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 【变式5-2】（2026·高一·天津·期末）若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 【答案】C 【解析】若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递增， 可得， 故不等式在上有解，满足要求； 若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 同一坐标系内画出和在的图象，如下： 要想在上有解，需满足 ，即，解得， 故的取值范围为. 故选：C 【变式5-3】（2026·高三·四川泸州·开学考试）已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【解析】对于，当时，， 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时的图象过第二、三、四象限； 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时图象过第一、三、四象限； 综合可知函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C 【方法技巧与总结】 排除法 题型六：对数函数的定义域求解 【典例6-1】（2026·高三·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，解得，所以的定义域为. 【典例6-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由根据函数的解析式 可知，有，即定义域为 定义域为. 故选：A. 【变式6-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 【变式6-2】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， ，解得， 函数的定义域满足， 即． 函数的定义域为． 故选：A． 【变式6-3】（2026·高一·广东·期中）已知函数，则的定义域为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数有意义，则：，求解不等式组可得函数的定义域为， 则函数的定义域满足，即，表示为区间形式即. 本题选择C选项. 【方法技巧与总结】 与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证． 题型七：对数函数的奇偶性判定与应用 【典例7-1】下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，由，解得，定义域不关于原点对称，故函数不是奇函数； B选项，由，解得，定义域为， ， 又， 所以为奇函数； C选项，定义域为，因为，而，不为奇函数； D选项，对于函数，定义域为， ，且， 所以是偶函数，不是奇函数． 【典例7-2】（2026·高一·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 【答案】C 【解析】奇函数，则有， 根据奇函数的定义可知，， 得， 即， 所以对定义域中的x恒成立， 可得，即， 此时或，其定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 所以或. 故选：C. 【变式7-1】（2026·高一·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 【答案】A 【解析】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称， 则，所以为奇函数； 由， 因为在上单调递增，为增函数， 所以为增函数. 故选：A 【变式7-2】（2026·高二·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【解析】因，则，即定义域关于原点对称， 又令，则为偶函数. 又， 当，， 在上单调递增，又在上单调递增，则在上单调递增. 故选：A 【变式7-3】（2026·高三·湖南·期中）“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以， 即，即，即，所以， “”是“函数为偶函数”的必要条件； 当“”时， ， 即函数为偶函数，“”是“函数为偶函数”的充分条件； 综上，“”是“函数为偶函数”的充要条件， 故选：A. 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数．（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数． 题型八：对数函数单调性的综合运用 【典例8-1】（2026·高一·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 【典例8-2】（2026·高一·广东中山·阶段检测）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，由，得或， 设，该函数的对称轴为，开口向上， 则函数的单调递增区间为， 而函数在上是增函数， 所以 的单调递增区间是， 故选：B. 【变式8-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 因为在区间上是减函数，且在区间上是减函数， 所以在区间上是增函数，且在区间上恒成立， 即 ，且， 解得，且， 所以实数a的取值范围是， 故选：D 【变式8-2】（2026·高二·河南驻马店·开学考试）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，所以，且函数是减函数， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数单调性可得 函数的单调递增区间为 【变式8-3】（2026·高一·河北承德·期末）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 【方法技巧与总结】 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 题型九：对数式的大小比较 【典例9-1】（2026·高一·上海静安·期中）已知正实数,,满足，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由为正实数可知， 则可得，，， 继而，，. 选项A：，故A正确； 选项B：因为，所以，， 因为且，由基本不等式， 所以，即成立，故B正确； 选项C：因为，，， 由函数在上单调递增，且， 则，即， 又因为为正实数，则可得，即，故C错误； 选项D：因为且， 由基本不等式，， 即，因为为正实数，所以，故D正确. 【典例9-2】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，因为，所以， 又，，而 ，所以. 【变式9-1】（2026·高三·北京海淀·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 又，所以，所以，即. 所以. 【变式9-2】（2026·高三·江西·阶段检测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以指数函数在上单调递增，所以，即， 因为，所以对数函数在上单调递增，因为， 所以，故， 因为，所以指数函数在上单调递减，，所以，即， 因为，所以对数函数在上单调递减，，故，即， 所以，故. 【变式9-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， ，故有. 【方法技巧与总结】 比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 题型十：对数型不等式的求解 【典例10-1】（2026·高一·吉林通化·期末）已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数，定义域为， 又， 所以函数关于对称， 当时，单调递增，故函数单调递增， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 由可得，， 解得，且. 故选：D. 【典例10-2】（2026·高三·江西南昌·期中）已知函数,若,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知的定义域为，且为偶函数，易知当，为单调递增函数，且 ，则，解得： 故选：C 【变式10-1】（2026·山东·二模）已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴的图像关于直线对称， ∵和都在上是减函数，在上是增函数，∴在上为减函数，在上为增函数． 又，∴，即或，解得或． 故选：C． 【变式10-2】（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数函数定义可知或； 由可得，因此可得； 即可得实数的取值范围为. 【变式10-3】（2026·高三·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【解析】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 【方法技巧与总结】 利用对数函数的单调性求解 题型十一：反函数概念与对数反函数应用 【典例11-1】（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________. 【答案】 【解析】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. 【典例11-2】（2026·高一·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【答案】 【解析】因为函数的反函数的图像经过， 所以函数的图像经过， 又的图像经过， 所以. 故答案为： 【变式11-1】（2026·高一·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【答案】 【解析】当时，，故过定点， 根据反函数的性质可得，过定点对应反函数必过定点. 故答案为：. 【变式11-2】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，则________________. 【答案】2 【解析】由，可得， 所以分别为直线与和的图像交点横坐标， 因为和的图像关于直线对称，如图所示， 联立方程组，解得，所以，可得, 故答案为：. 【变式11-3】（2026·高一·宁夏固原·阶段检测）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 【答案】3 【解析】易知函数与的图象关于直线对称， 即上一点，则有在上， 设，则，解得. 故答案为：3 【方法技巧与总结】 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域． 题型十二：对数函数的值域与最值 【典例12-1】（2026·高一·江苏南通·期末）已知函数的图象经过点. (1)求不等式的解集； (2)若，求在上的最小值. 【解析】（1）由题意得的图象经过点， 则，可得，解得， 此时，由对数函数性质得在上单调递增， 若求，则求， 此不等式可转化为，解得， 故所求不等式的解集为. （2）由题意得， 令， 则，对称轴， ①当，即时，，即时，； ②当，即时，，即时，， 综上：当时，；当时，. 【典例12-2】（2026·上海闵行·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【解析】（1）函数是定义在上的奇函数， ， 当时，，， ； （2）当时，，， ， 令， ，， ， 函数图象开口向上，对称轴为， ，   函数的值域为. 【变式12-1】（2026·高一·四川成都·阶段检测）设函数，且. (1)求的值及的定义域； (2)判断的奇偶性，并给出证明； (3)求函数的最大值. 【解析】（1）由，可得，解得， 由，则，解得， 所以的定义域为； （2）由（1）可得函数的定义域为， 由， 则函数为偶函数； （3）由，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 函数在上是增函数， 由复合函数的单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为， 所以的最大值为. 【变式12-2】（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数 (1)若，求的值域； (2)若，函数的最小值为，求的值． 【解析】（1）， 时，设， 当时，取最小值； 当时，取最大值2； 因此函数的值域为． （2）， 设，，， ①当，即，函数的最小值为，满足题意； ②当，即， 函数的最小值为，由已知， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即，函数的最小值为， 由已知，故， 综上所述：的值为或. 【变式12-3】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知函数且. (1)若，求实数的值； (2)若在区间上的最大值与最小值之差为，求实数的值. 【解析】（1）因为， 整理可得， 解得或，所以或. （2）若在区间上的最大值与最小值之差为， ①当时，在区间上单调递增， 则， 即，所以； ②当时，在区间上单调递减， 则， 即，所以. 综上所述：实数的值为或. 【方法技巧与总结】 数形结合 题型十三：对数函数核心性质的综合应用 【典例13-1】（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得，故的取值范围为. （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4. “对，都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立. 易得在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以，即的取值范围为. 【典例13-2】（2026·高二·河北廊坊·开学考试）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）令，其图象开口向下、对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得， 故的取值范围为. （2）令，由得， 则， 当，即时，取最大值. 条件“对任意，都有”等价于对一切成立， 即，则， 即对一切成立. 根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，所以，即的取值范围为. 【变式13-1】（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【解析】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 【变式13-2】（2026·高一·广东深圳·期末）设函数． (1)当时， （i）求的定义域； （ii）解不等式； (2)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）（i）当时，， 于是有， 所以函数的定义域为； （ii）由题意，知， 由或， 由，所以， 原不等式的解集为； （2），即， 因为在上是增函数，在上是减函数， 所以函数在上是增函数， 所以时，； 时，， 所以实数的取值范围是． 【变式13-3】（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，， 由 ，所以不等式的解集为； （2）令，因为，所以， ，因为， 所以由， 因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号， 所以在单调递减，则， 因此当时，恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. 【方法技巧与总结】 如果函数的定义域为某个区间，则函数在这个区间的任何子集内部都有意义；如果函数在区间上有意义，而的定义域为，则必有． 考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键． 1．（2026·高三·山东济宁·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 且，所以. 2．（2026·高三·河北·阶段检测）设，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对数函数在上为增函数，所以， 因为对数函数在上为减函数，所以， 因为指数函数在上为减函数，所以，故. 3．（2026·高三·山东潍坊·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，， 充分性判断，，取，则无意义，无法推出，充分性不成立； 必要性判断，，显然满足，可以推出， 必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件. 4．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，， 而，则， 由，得， 而，则，故. 5．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为 对，令，则， 所以或，解得或 所以定义域为. 6．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 7．（2026·高二·河南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. 8．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 9．（多选题）（2026·高一·云南昆明·期末）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，是奇函数且在上是增函数，A正确； 对于B，是奇函数且分别在和上是增函数，B错误； 对于C，是奇函数且在上是增函数，C正确； 对于D，是偶函数，D错误． 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期末）函数，则正确的有（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在区间上是增函数 【答案】AD 【解析】由，所以的定义域为，故A正确； 由， 由，当时，等号成立， 令，则，又在单调递增， 所以，即， 所以的值域为，故B错误； 又，所以为偶函数，故C错误； 令，对任意的，且， 所以， 因为，则，即有， 所以，即，所以在单调递增， 又在单调递增，所以在区间上是增函数，故D正确. 11．（多选题）（2026·高一·河北保定·开学考试）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BCD 【解析】对A：由题可知，解得，故的定义域为，故A错误； 对B：的定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数，故B正确． 对C：当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确． 对D：，令， 因为可以取遍所有正实数，所以的值域为，故D正确． 12．（2026·高三·北京西城·阶段检测）函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】由题，即， ，解得， 则函数的定义域是． 13．（2026·高三·天津河东·阶段检测）函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 14．已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 【答案】 【解析】（1）因为的定义域为，所以恒成立， ①当时，不等式为成立，符合题意； ②当时，不等式要恒成立，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为函数的值域为，即真数能取遍， ①当时，真数，不符合题意； ②当时，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 15．（2026·高一·北京朝阳·期末）设不等式的解集为M，求当时，函数的最大值和最小值． 【解析】由得，即， 由，令， 则，函数图象开口向上且对称轴为， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的最大值为，最小值为 16．（2026·高一·湖北鄂州·期中）已知指数函数的图象､对数函数的图象分别经过点. (1)求的解析式； (2)若函数，求不等式的解集. 【解析】（1）设，且，且.由，得. 由，得， 所以. （2）由（1）得， 可得在定义域上单调递增. 因为， 所以由，得，得. 故不等式的解集为. 17．（2026·高一·湖南·阶段检测）已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 【解析】（1）令，得或2， 得， 所以图象经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. 1．已知函数,则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数知：，解得：或， 所以函数的定义域为：， 因为 ， 所以函数是偶函数， 当时， ， 令，则在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为． 2．（2026·高三·广东深圳·开学考试）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为 ， 所以不等式等价于： 现在比较 与 的大小， 令 ，则 由基本不等式 ，等号仅当 时成立，而 时 ， 所以， 因此，若 ，则必有 ，充分性成立；但反之不一定成立，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件． 3．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则不等式转化为. 当时，则，所以； 当时，则，解得， 综上：或，即或. 对于： 当时，则有， 所以； 当时，则有，即，无解； 对于： 当时，则有，所以； 当时，则有，即，所以， 综上，不等式的解集是. 4．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，若的值域为，则（    ） A．正实数 B．负实数 C．0 D．不确定 【答案】C 【解析】因函数的定义域为， 函数与均为上的增函数，且两函数的零点分别为与， 为使函数的值恒为非负数，则两零点必须重合， 否则在两零点之间，两函数值会出现一正一负，不符合题意. 故. 于是 . 5．（2026·高一·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 6．（多选题）（2026·高一·河南焦作·期末）已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设， 则，， ，其中， 令，则， ，，， 当时，，，， 此时，选项D成立； 当时，， 因为，所以，即，选项A成立； 当时，， C选项，，即， ①， 先解，，解得， 再解， ， 任取， 则 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，， 即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，即， 此结果与①中互相矛盾， 不存在使得，选项C错误. 7．（多选题）（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 【答案】BD 【解析】A选项，令，则，其中， 因为外层函数为，而在定义域上单调递增， 且在定义域内可以取到任意大的正数，所以在定义域内没有最大值， 因此也没有最大值，A选项错误； B选项，的定义域为R，， 则与x轴有交点，且开口向上，所以在定义域内能取遍所有大于0的实数， 则的值域为，B选项正确； C选项，对称轴为：，且开口向上， 所以在上单调递减， 若，则在该区间上的最小值为， 则在该区间上无定义，因此C选项说法不准确； D选项，若，则，即与x轴无交点，且开口向上， 的最小值为：且， 所以最小值为：，D选项正确. 8．（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 9．已知函数，若，则________． 【答案】 【解析】由可得，则. 已知，又因为函数在上单调递增， 故，因此. 进而，即. . 10．（2026·高一·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【解析】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 11．（2026·高一·湖南益阳·期中）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 12．（2026·高一·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【解析】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. （3）， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 13．（2026·高一·湖南邵阳·期中）指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. (1)比较和的大小； (2)当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 【解析】（1）由题意得：，，则，所以， 当时，则在定义域内单调递减，解得，所以； 当时，则在定义域内单调递增，解得，所以. 综上所述，，即，即. （2）（i）当时，则， （方法一）①假设，则，即， 由，且，所以，则， 所以，与已知矛盾，故假设不成立； ②假设，则，即， 由，且＞0，所以，则， 所以，与已知矛盾，假设不成立； ③当，则，可得，符合题意； 由①②③可得：. （方法二）设，则是的零点， 对、，且，因为在单调递增， 则，，， 可得，，即， 故在单调递增，所以函数有唯一的零点， 设，对、，且， 因为都在单调递增，则，， 可得，即，故在单调递增， 且，， 故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点， 则满足，即，可得，即， 故，即， 所以的零点即为的零点，所以，即. （方法三）等式两边除以可得， 变形得：， 构造，对、，且， 因为、都在单调递增，则，， 可得，即， 故在上单调递增，且， 由（1）可知：当时，则，所以，，所以. （ii）， 由（1）可知，故只需比较与、的大小， 设，对、，且， 因为、都在单调递增，则，， 可得，即，故在单调递增， 因为，且，即，所以， 由（i）得，则，故； 由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大， 所以指数函数在区间上的平均变化率小于在区间上的平均变化率， 即，化简得，所以， 解得或（舍去）， . 14．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数与是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数s，t，都有，证明：对任意，都有． 【解析】（1）是“函数”； 不是“函数”，理由如下： 对于任意， 所以， 即成立， 故是“函数”； 对于， 取，则． 因为，故不是“函数”. （2）因为函数是“函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立，所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数的取值范围为. （3）∵对于任意正数s，t，都有， 由函数为“函数”，可知， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．4 对数函数 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、对数函数的概念 3 知识点二、对数函数的图象与性质 3 知识点三、底数对对数函数图象的影响 4 知识点四、反函数 4 03 题型精讲 6 题型一：对数函数的概念与定义辨析 6 题型二：对数函数中的参数求解 6 题型三：对数函数解析式的确定 7 题型四：对数型函数恒过定点问题 7 题型五：对数函数的图象识别与变换 8 题型六：对数函数的定义域求解 10 题型七：对数函数的奇偶性判定与应用 10 题型八：对数函数单调性的综合运用 11 题型九：对数式的大小比较 12 题型十：对数型不等式的求解 13 题型十一：反函数概念与对数反函数应用 14 题型十二：对数函数的值域与最值 14 题型十三：对数函数核心性质的综合应用 15 04 课后精练 18 05 培优拓展 21 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点诠释： （1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点诠释： 关于对数式的符号问题，既受．．的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 知识点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 题型一：对数函数的概念与定义辨析 【典例1-1】下列函数中，是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【变式1-2】下列函数是对数函数的是 A． B．   C． D．   【变式1-3】下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法技巧与总结】 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 题型二：对数函数中的参数求解 【典例2-1】若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【典例2-2】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若函数为对数函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】使对数有意义的的取值范围为　　 A．且 B． C．且 D． 【变式2-3】函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 的系数为1 题型三：对数函数解析式的确定 【典例3-1】对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【典例3-2】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·江苏无锡·期末）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式3-2】（2026·高二·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【变式3-3】（2026·高二·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【方法技巧与总结】 待定系数法 题型四：对数型函数恒过定点问题 【典例4-1】（2026·高一·山东日照·期末）函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 【典例4-2】（2026·高一·陕西商洛·期末）函数图象恒过定点，且点坐标满足方程，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 【变式4-1】（2026·高一·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·广西钦州·期末）已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·云南昭通·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【方法技巧与总结】 令真数为1求解． 题型五：对数函数的图象识别与变换 【典例5-1】（2026·高一·全国·期中）若函数且的图象如图，其中，为常数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高三·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·河南·期中）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·天津·期末）若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 【变式5-3】（2026·高三·四川泸州·开学考试）已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【方法技巧与总结】 排除法 题型六：对数函数的定义域求解 【典例6-1】（2026·高三·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·广东·期中）已知函数，则的定义域为 A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证． 题型七：对数函数的奇偶性判定与应用 【典例7-1】下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·高一·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 【变式7-1】（2026·高一·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 【变式7-2】（2026·高二·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【变式7-3】（2026·高三·湖南·期中）“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数．（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数． 题型八：对数函数单调性的综合运用 【典例8-1】（2026·高一·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2026·高一·广东中山·阶段检测）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高一·河北邢台·期末）已知在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·高二·河南驻马店·开学考试）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高一·河北承德·期末）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 题型九：对数式的大小比较 【典例9-1】（2026·高一·上海静安·期中）已知正实数,,满足，则下列说法中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·高三·北京海淀·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·高三·江西·阶段检测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 题型十：对数型不等式的求解 【典例10-1】（2026·高一·吉林通化·期末）已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2026·高三·江西南昌·期中）已知函数,若,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·山东·二模）已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026·高三·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 【方法技巧与总结】 利用对数函数的单调性求解 题型十一：反函数概念与对数反函数应用 【典例11-1】（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________. 【典例11-2】（2026·高一·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【变式11-1】（2026·高一·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【变式11-2】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，则________________. 【变式11-3】（2026·高一·宁夏固原·阶段检测）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 【方法技巧与总结】 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域． 题型十二：对数函数的值域与最值 【典例12-1】（2026·高一·江苏南通·期末）已知函数的图象经过点. (1)求不等式的解集； (2)若，求在上的最小值. 【典例12-2】（2026·上海闵行·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【变式12-1】（2026·高一·四川成都·阶段检测）设函数，且. (1)求的值及的定义域； (2)判断的奇偶性，并给出证明； (3)求函数的最大值. 【变式12-2】（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数 (1)若，求的值域； (2)若，函数的最小值为，求的值． 【变式12-3】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知函数且. (1)若，求实数的值； (2)若在区间上的最大值与最小值之差为，求实数的值. 【方法技巧与总结】 数形结合 题型十三：对数函数核心性质的综合应用 【典例13-1】（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【典例13-2】（2026·高二·河北廊坊·开学考试）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【变式13-1】（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【变式13-2】（2026·高一·广东深圳·期末）设函数． (1)当时， （i）求的定义域； （ii）解不等式； (2)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围． 【变式13-3】（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【方法技巧与总结】 如果函数的定义域为某个区间，则函数在这个区间的任何子集内部都有意义；如果函数在区间上有意义，而的定义域为，则必有． 考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键． 1．（2026·高三·山东济宁·阶段检测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·河北·阶段检测）设，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·山东潍坊·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·河南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·云南昆明·期末）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期末）函数，则正确的有（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在区间上是增函数 11．（多选题）（2026·高一·河北保定·开学考试）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 12．（2026·高三·北京西城·阶段检测）函数的定义域是_________． 13．（2026·高三·天津河东·阶段检测）函数的单调递减区间为__________． 14．已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 15．（2026·高一·北京朝阳·期末）设不等式的解集为M，求当时，函数的最大值和最小值． 16．（2026·高一·湖北鄂州·期中）已知指数函数的图象､对数函数的图象分别经过点. (1)求的解析式； (2)若函数，求不等式的解集. 17．（2026·高一·湖南·阶段检测）已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 1．已知函数,则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·广东深圳·开学考试）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高一·四川泸州·阶段检测）设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，若的值域为，则（    ） A．正实数 B．负实数 C．0 D．不确定 5．（2026·高一·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2026·高一·河南焦作·期末）已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高一·河南·阶段检测）已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 8．（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 9．已知函数，若，则________． 10．（2026·高一·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 11．（2026·高一·湖南益阳·期中）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 12．（2026·高一·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 13．（2026·高一·湖南邵阳·期中）指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. (1)比较和的大小； (2)当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 14．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“函数”． (1)试判断函数与是否为“函数”，并说明理由； (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为“函数”，，对任意正数s，t，都有，证明：对任意，都有． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $