专题10 因式分解 期中重难点复习专题训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题10 因式分解（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 判断是否是因式分解】 1 【题型2 提公因式法分解因式】 4 【题型3 平方差公式分解因式】 8 【题型4 完全平方公式分解因式】 13 【题型5 综合提公因式和公式法分解因式】 19 【题型6 十字相乘法】 25 【题型7 分组分解法】 28 【题型8 因式分解的应用】 32 【题型1 】 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边为和的形式，不属于因式分解； B、变形是从整式的积得到多项式，属于整式乘法，不属于因式分解； C、，符合因式分解的定义； D、等式右边为和的形式，不属于因式分解． 2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 3．下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：（1），不是因式分解； （2），不是因式分解； （3），不是因式分解； （4），不是因式分解； （5），是因式分解； （6），是因式分解； 故是因式分解的有2个． 4．下列式子由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； B．左边是单项式，单项式的分解不属于因式分解，故该选项不符合题意； C．符合因式分解的定义，属于因式分解，故该选项符合题意； D．右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意． 5．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，右边是整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义，故符合题意； B选项：右边不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； C选项：右边不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； D选项：右边不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意． 6．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【题型2 】 7．分解因式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 8．若，则式子的值为（     ） A．0 B．4044 C．4054 D．4064 【答案】C 【详解】解： ． 9．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 【答案】D 【分析】先明确因式分解步骤的变形依据：因为和互为相反数，所以原式中可变形为，对应①步的变形依据．分析①到②的变形：因为①式两项有公因式，所以提取公因式得到②式，判断该过程对应的运算律．逐一判断各选项描述是否符合因式分解的要求和步骤逻辑，选出错误选项． 【详解】对选项A，由， 可得，A正确． 对选项B，提取公因式， 得，B正确． 对选项C，从①到②逆用乘法分配律提取公因式，依据的运算律为乘法分配律，C正确. 对选项D，的各因式均不能继续分解， 故该多项式无法再分解，D错误． 10．若，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】先将所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵ ，， ∴ ． 11．已知，则_________． 【答案】 【分析】将所求多项式按每3项分组，利用已知推导出，再化简计算即可得到结果． 【详解】解：设所求式子为 ∵ ，等式两边同乘得，即 ∴ 将从首项开始每3项分为一组，可得 ∵ 每组提取公因式后满足，前组共项，和为 ∴ ∵ ， ∴ ∵ ，移项得 ∴ 12．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 13．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先将变为，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解）． (1)求式子中、的值； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【答案】(1)， (2)把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 用上述方法可求得：，， 所以， ． 解法二：把代入，得其值为0， 则多项式可分解为的形式， 用上述方法可求得：，， 所以， ． 【分析】（1）根据恒等式的性质，解答即可； （2）根据“试根法”分解多项式的基本步骤，解答即可． 【详解】（1）解：在等式中， 令，得， 令，得， 解得，； （2）解：略． 【题型3 】 15．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从因式分解的恒等性与分解彻底性入手，结合平方差公式逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴此选项错误； B、∵，变形正确且分解彻底，∴此选项正确； C、∵，原式未分解彻底，∴此选项错误； D、∵，∴此选项错误． 16．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，分别表示河、爱、南、我．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱河 B．我河南 C．我爱河南 D．爱河南 【答案】D 【详解】解：， ∵对应爱，对应河，对应南， ∴结果呈现的密码信息可能为爱河南． 17．下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从左边是否为多项式、右边是否为几个整式的乘积的角度，判断各选项的变形是否为因式分解. 【详解】解：对各选项逐一分析如下： A、∵左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，∴符合要求； B、∵左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，∴不符合要求； C、∵右边含减法运算，不是几个整式的乘积形式，∴不符合要求； D、∵左边不是多项式，右边含除法运算，不是几个整式的乘积形式，∴不符合要求； 18．如果，那么括号内的整式是___________. 【答案】 【分析】利用平方差公式将等式右边式子变形为，即可求解． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 19．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 20．分解因式 (1). (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先用提取公因式法，再用完全平方公式解答即可； （2）先用提取公因式法，再用平方差公式解答即可； （3）直接利用十字相乘法解答即可； （4）先分组，得到两个代数式的平方差，再用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 21．先阅读材料，再回答问题． 分解因式：． 解：将看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式 上述解题过程中用到了整体思想，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：_______． (2)因式分解：； (3)若n为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：的值是正整数的平方，理由如下： 令，则原式 是正整数， 是正整数， 的值是正整数的平方． 【分析】（1）把看作整体，套用完全平方公式分解因式． （2）先将前三项分组，用完全平方公式变形，再整体使用平方差公式分解因式． （3）先把展开，把看成整体，利用换元和完全平方公式变形，证明式子是完全平方数． 【详解】（1）解：令， （2）解： （3）略 22．阅读下列材料： 材料    将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如：；． 材料2    分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 材料    对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)根据材料，分解因式：__________________． (2)根据材料，分解因式：． (3)结合材料，，，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据十字相乘法分解因式； （2）令，分解因式，最后将还原，继续分解因式即可； （3）将拆成，进而分组因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式， 令， 则原式 ； （3）解： ． 【题型4 】 23．将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】结合整式的完全平方的两类形式（二项式平方、单项式平方），逐一验证各单项式． 【详解】解：∵ ， ∴ ①③符合条件； ∵ ， ∴ ②符合条件； ∵ ， ∴ ④符合条件； ∵ ， ∴ ⑤符合条件； 故答案为D． 24．下列式子从左到右变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除等式右边不是整式积形式的选项，再验证剩余选项是否符合要求． 【详解】解：A选项，的右边不是整式的积的形式，不是因式分解． B选项，的右边含分式，不是整式的积的形式，不是因式分解． C选项，的变形是因式分解． D选项，的变形是整式乘法，不是因式分解． 25．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， ∵， ∴，即． 26．若实数x，y，z满足等式：，则的值是_____________． 【答案】6 【分析】观察等式中根号项与对应变量的结构，通过拆分项将等式转化为多个完全平方式的和为0的形式，利用平方的非负性求解各变量值，再计算的值. 【详解】解：∵ ， ∴ 对左侧变量进行拆分，匹配根号的平方形式， ，，， 将拆分后的式子代入原等式，整理得： ， 根据完全平方公式，将上式分组配方： ， 即， ∵ 平方数具有非负性，即，，， ∴ 每个完全平方式的值均为0， 即，解得， ，解得，即， ，解得，即， ∴ . 27．在数轴上，我们称一个动点到所有定点的距离平方和最小时所在的点，为所有定点的“最佳幂和点”．若点A，B对应的数分别为和4，点P是动点，则点A与点B的“最佳幂和点”即取最小值时的点P所对应的数x是______． 【答案】 【分析】根据定义设动点对应的数为，将距离平方和展开配方，利用平方数的非负性求最小值对应的． 【详解】解：设点所对应的数是，根据题意得 展开得： 合并同类项得： 配方得： ，当时，原式取得最小值 即时，取最小值． 28．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． （2）利用多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 29．根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．例如：①∵，∴；②∵，∴；③∵，∴． (1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：若，则a______b；若，则a______b；若，则a______b； (2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①当时，______；②______； (3)已知，试比较与的大小． 【答案】(1)，， (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意可得答案； （2）①②利用作差法即可作答； （3）利用作差法和因式分解求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：① ， ∵， ∴， ∴， ∴； ② ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 原式 ． ②，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值； 请根据以上材料解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)如图1矩形面积为，如图2正方形面积为，根据图中数据比较，大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）配方得，即可求解； （2），，求出，进行配方，即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，的最小值为； （2）解：由图得 ， ， ， ， ， ， ． 【题型5 】 31．下列因式分解正确的为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，与选项A的等式右边不符， ∴A错误． ∵，选项B分解不彻底， ∴B错误． ∵因式分解的结果需为整式的积，选项C中的右边为和的形式， ∴C错误． ∵由完全平方公式得，符合因式分解要求， ∴D正确． 32．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 【答案】A 【分析】先将密文因式分解，再对应密码手册解答即可． 【详解】解： ， 由密码手册可知，8对应明文“我”，对应明文“爱”，对应明文“福”，对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 33．已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】将因式分解为，代入求值即可． 【详解】解： ，， ， 原式 ． 34．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____． 【答案】或781 【分析】根据密码的构成规则，由第一位因式码和第二位因式码构成的数为，可得，或， ，再将所求第三位因式码利用完全平方公式变形，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵第一位因式码和第二位因式码构成的数是， ∴，或， 当，时，原式， 当，时，原式， 综上所述，的值为28或781． 35．计算或因式分解 (1)计算； (2)计算：； (3)因式分解； (4)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 36．因式分解与简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)简便计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】先对原式变形，然后提取公因式即可得到结果； 先提取，再利用平方差公式分解即可； 先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； 利用平方差公式即可简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 37．（共9分）先读例题，解决下面问题 例题：若，求、． 解：∵ ∴ ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边，满足；是三角形最长边，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式和提公因式法分解因式得到，根据非负数的性质求出x、y的值即可得到答案； （2）根据完全平方公式分解因式得到，根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、、是三边， ∴，即， ∴， 又∵是三角形最长边， ∴． 【题型6 】 38．下列算式计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 39．因式分解，正确结果（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 40．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 【答案】或 【分析】根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出，列举所有整数对并计算p，即可求出p． 【详解】解：∵可以因式分解为，且， ∴， ∵均为整数， ∴或或或或或或或， 当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 综上所述，满足条件的的值是或． 41．若，则代数式的值_____ ． 【答案】 【分析】先将因式分解后，再把整体代入求值，即可解题． 【详解】解：， ． 42．数形结合是常用的一种数学思想方法．在本章的学习中，数形结合思想贯穿始终． (1)课本利用图形（如图），借助面积关系表示了一个等式，这个等式为 ； (2)若给定一个多项式，请将此多项式分解因式并画出相应的图形（请仿照第（1）小题，在几何图形上标出有关数量）． 【答案】(1) (2) 如图所示： 【分析】（1）大正方形的面积等于边长为a的正方形、边长为b的正方形、两个邻边为a，b的长方形面积的和，由此可列出等式． （2）多项式可分解为，仿照第（1）小题即可画出图形． 【详解】（1）解：这个等式为：； （2）略 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则的几何背景，根据图形面积的不同求法（相等）列式是解答本题的关键． 43．阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把因式分解． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）①令，然后利用十字相乘法因式分解即可； ②令，然后利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①把“”看成一个整体，令 ∴ ； ②把看成一个整体，令 ∴ ． 【题型7 】 44．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（     ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】将已知等式移项后分组因式分解，结合三角形三边的性质即可判断的形状． 【详解】解： ， 移项得 ， 分组得 ， 分解得 ， 提取公因式得 ， ∵ ，，是的三边长， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ 是等腰三角形． 45．阅读下面例题：把多项式因式分解． 解：原式． 依照上述方法因式分解：________． 【答案】 【分析】仿照例题，先将前三项分组分解得到完全平方式，再提取中间两项的公因式，最后把看作整体，用完全平方公式分解因式． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式 把看作整体，根据完全平方公式，可得原式． 46．分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用立方差公式，分解解答即可； （2）首先根据整式的乘法，化简，再利用完全平方公式，平方差公式，解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 47．阅读下面的材料：常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)已知等腰三角形的三边长均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有　　　　　个； (3)已知为的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2个 (3)等腰三角形，理由如下： ， ∵为的三边长， ∴， ∴， 即， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）分组分解因式，先将整式分为和，然后用公式法分解，接着提公因式即可； （2）先将等号左边的整式因式分解，再根据三角形三边均为整数将等号右边的数分解为两个整数相乘，最后分类讨论． （3）先将整式分组分解，再根据“三角形的两边之和大于第三边”判断出结果为的因式，直接求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∴， ， ； 情况１：当，则， ∴， ∵均为整数， ∴， ∵， ∴，解得， ∵，不满足三角形三边关系， ∴无法组成三角形； ， 当，得， ∵，满足三角形三边关系， ∴组成等边三角形； 当，得， ∵，，满足三角形三边关系， ∴组成等腰三角形； 情况2：当，且时， ， ∵均为整数， ∴， ∴， ，则， ∵不满足三角形三边关系， ∴无法组成三角形； ， ，则， ∵，且， ∴不符合题意； ∵当时，， ∴不符合题意； 情况3：当时，与情况2一致； 综上所述，满足条件的等腰三角形有２个． （3）详解见答案 【题型8 因式分解的应用】 48．如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（     ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．归纳思想 【答案】B 【分析】题目利用图形面积关系解释代数恒等式，需识别数形对应关系. 【详解】解：四个小纸片的面积之和为， 拼成的大长方形长为，宽为， 面积为； 由面积相等可得． 该过程将代数式与几何图形结合，体现了数形结合思想． 49．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725，1257，7125，7251，2517， 2571，其中最大的数是7251，即为密码．对于多项式，当x取11，y取13时，其密码为（     ） A．42112 B．11242 C．24211 D．42211 【答案】C 【分析】先把对应多项式进行因式分解，然后按照题意求得当x取11，y取13时对应的所有数字组合，取其中最大的数字即可． 【详解】解：∵， 当x取11，y取13时，，，， ∴三个数为11、2、24． 所有数字组合为：11224、11242、21124、22411、24112、24211，其中最大数字为24211． ∴ 密码为24211． 50．若二次三项式（）可以变形为，则______． 【答案】 【分析】展开因式分解形式，对比二次三项式系数得到与的关系，代入计算即可得到结果． 【详解】解：展开，先计算括号内乘积： ， ∴， ∵，且， ∴对比对应项系数得，， ∴． 51．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码151719，则______． 【答案】 【分析】先对多项式提取公因式，再根据密码得到因式分解的结果，展开多项式后对应系数相等求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：， 当时，可以得到密码， 分解后的三个因式为，，，即分解结果为， ， ，， ． 52．某农场有一块长方形试验田，长为 ，宽为 （）．沿长边方向划出一块边长为   的正方形区域种植花卉，其余区域种植蔬菜． (1)求长方形试验田的总面积 S（结果用含 x 的多项式表示）； (2)求剩余蔬菜地的面积（结果用含 x 的多项式表示，并因式分解）； (3)当 时，求剩余蔬菜地的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）总面积等于长乘宽，把 用多项式乘多项式展开并合并同类项． （2）剩余面积等于总面积减去正方形花卉区面积，先算 再作差，最后用十字相乘法分解因式，并代值验算分解结果． （3）把 代入剩余蔬菜地的面积的多项式进行计算，注意 ，结果保留根号． 【详解】（1）解：由题意，长方形试验田的长为 ，宽为 ． ∴ ． 展开得 ， ∴ ． （2）解：正方形花卉区的边长为 ， ∴ 花卉区面积 ． ∴ 剩余蔬菜地的面积 ， 即 ． 因式分解： ． （3）解：当 时， 剩余蔬菜地的面积 ， ． 53．阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： (1)【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； (2)【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴多项式的值总是一个正数． (2)解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）将多项式配成完全平方+常数的形式，利用平方的非负性即可求证； （2）将分成分别配方即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 54．【阅读材料】我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：． 解： ． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： (1)分解因式：． (2)多项式的最小值是______． (3)已知a、b、c是的三边长，且满足：，判断是什么形状的三角形，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是等边三角形．理由： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）利用【阅读材料】中配方法将式子因式分解即可得到答案； （2）利用【阅读材料】中配方法将式子化成，由于，所以，从而即可得到答案； （3）利用【阅读材料】中配方法将式子整理成，从而得到，即可得到是等边三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴， ∴的最小值是； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 因式分解（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 判断是否是因式分解】 1 【题型2 提公因式法分解因式】 2 【题型3 平方差公式分解因式】 3 【题型4 完全平方公式分解因式】 5 【题型5 综合提公因式和公式法分解因式】 7 【题型6 十字相乘法】 8 【题型7 分组分解法】 10 【题型8 因式分解的应用】 11 【题型1 】 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列式子由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 5．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 6．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【题型2 】 7．分解因式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 8．若，则式子的值为（     ） A．0 B．4044 C．4054 D．4064 9．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 10．若，，则代数式的值是______． 11．已知，则_________． 12．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 13．分解因式： (1)； (2)． 14．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出、后再代入，就可以把多项式因式分解）． (1)求式子中、的值； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【题型3 】 15．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 16．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，分别表示河、爱、南、我．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱河 B．我河南 C．我爱河南 D．爱河南 17．下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 18．如果，那么括号内的整式是___________. 19．若，，则_______． 20．分解因式 (1). (2)； (3) (4) 21．先阅读材料，再回答问题． 分解因式：． 解：将看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式 上述解题过程中用到了整体思想，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：_______． (2)因式分解：； (3)若n为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 22．阅读下列材料： 材料    将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如：；． 材料2    分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 材料    对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)根据材料，分解因式：__________________． (2)根据材料，分解因式：． (3)结合材料，，，分解因式：． 【题型4 】 23．将多项式添加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，下列单项式：①；②；③；④；⑤．其中符合条件的是（     ） A．①③ B．①②③ C．①③⑤ D．①②③④⑤ 24．下列式子从左到右变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 25．已知，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．若实数x，y，z满足等式：，则的值是_____________． 27．在数轴上，我们称一个动点到所有定点的距离平方和最小时所在的点，为所有定点的“最佳幂和点”．若点A，B对应的数分别为和4，点P是动点，则点A与点B的“最佳幂和点”即取最小值时的点P所对应的数x是______． 28．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 29．根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．例如：①∵，∴；②∵，∴；③∵，∴． (1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：若，则a______b；若，则a______b；若，则a______b； (2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）． ①当时，______；②______； (3)已知，试比较与的大小． 30．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 原式 ． ②，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值； 请根据以上材料解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)如图1矩形面积为，如图2正方形面积为，根据图中数据比较，大小． 【题型5 】 31．下列因式分解正确的为（        ） A． B． C． D． 32．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（   ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 33．已知，，则代数式的值为______． 34．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当时，各个因式的值是：，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，多项式因式分解的结果是，当它的第一位因式码的值和第二位因式码的值构成的数是“128”时，它的第三位因式码的值是_____． 35．计算或因式分解 (1)计算； (2)计算：； (3)因式分解； (4)因式分解：． 36．因式分解与简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)简便计算：． 37．（共9分）先读例题，解决下面问题 例题：若，求、． 解：∵ ∴ ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边，满足；是三角形最长边，直接写出的取值范围． 【题型6 】 38．下列算式计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 39．因式分解，正确结果（     ） A． B． C． D． 40．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 41．若，则代数式的值_____ ． 42．数形结合是常用的一种数学思想方法．在本章的学习中，数形结合思想贯穿始终． (1)课本利用图形（如图），借助面积关系表示了一个等式，这个等式为 ； (2)若给定一个多项式，请将此多项式分解因式并画出相应的图形（请仿照第（1）小题，在几何图形上标出有关数量）． 43．阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把因式分解． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 【题型7 】 44．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（     ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 45．阅读下面例题：把多项式因式分解． 解：原式． 依照上述方法因式分解：________． 46．分解因式： (1)； (2)； 47．阅读下面的材料：常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的因式分解．这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)因式分解：； (2)已知等腰三角形的三边长均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有　　　　　个； (3)已知为的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【题型8 因式分解的应用】 48．如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（     ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．归纳思想 49．利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725，1257，7125，7251，2517， 2571，其中最大的数是7251，即为密码．对于多项式，当x取11，y取13时，其密码为（     ） A．42112 B．11242 C．24211 D．42211 50．若二次三项式（）可以变形为，则______． 51．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码151719，则______． 52．某农场有一块长方形试验田，长为 ，宽为 （）．沿长边方向划出一块边长为   的正方形区域种植花卉，其余区域种植蔬菜． (1)求长方形试验田的总面积 S（结果用含 x 的多项式表示）； (2)求剩余蔬菜地的面积（结果用含 x 的多项式表示，并因式分解）； (3)当 时，求剩余蔬菜地的面积（结果保留根号）． 53．阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： (1)【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； (2)【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 54．【阅读材料】我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：． 解： ． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： (1)分解因式：． (2)多项式的最小值是______． (3)已知a、b、c是的三边长，且满足：，判断是什么形状的三角形，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $