5.1 方程 （高频考点讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

5.1 方程 学习目标和重难点 1、理解方程的意义，知道方程是含有未知数的等式，能区分方程与代数式。 2、认识一元一次方程，了解“元”“次”的含义，会判断一个方程是否为一元一次方程。 3、理解方程的解的意义，会检验一个数是否为方程的解，能根据简单实际问题列出方程。 重点：方程的概念；一元一次方程的概念；方程的解的意义；根据实际问题列方程。 难点：从实际问题中分析等量关系并列出方程；体会从算式到方程的思维转变；准确判断一元一次方程，避免把分母含未知数的方程误认为一元一次方程。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型1 判断各式是否是方程】 题型2 列方程 题型3 判断是否是一元一次方程】 题型4 根据一元一次方程求参数的值 题型5 判断是否是一元一次方程的解】 题型6 已知一元一次方程的解求参数的值 题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值】 题型8 等式的基本性质 题型9 利用等式的基本性质解方程】 题型10 已知同类项求指数中字母或代数式的值 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点01 方程的概念 1. 方程的概念： 含有 的等式叫做方程。 特别说明：两个条件必须满足：①是等式；②等式中含有未知数。 【针对训练】 ▌例1 下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． ▌例2．下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 根据实际问题列方程 1．根据实际问题列方程的步骤： ①审题，找出题目中已知量，未知量以及等量关系 ②设字母表示未知量 ③把等量关系中的量用含有未知数的式子表示出来，根据等量关系建立方程。 2. 找等量关系的常见方法： （1） 利用公式。如图形的面积公式，体积公式等。 （2） 题目中不变量的寻找。 题目中的关键词：和，差，倍，分等，通常表达为“比......多（少）”“是......的几倍” 【针对训练】 ▌例1．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． ▌例2．用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 知识点03 方程的解 1．方程的解的概念： 使方程中等号左右两边 的 的值叫做方程的解。方程有可能不止一个解，也有可能无解。 【针对训练】 ▌例1是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． ▌例2有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 知识点04 一元一次方程 1. 一元一次方程的概念： 只含有 个未知数且未知数的次数是 的 方程叫做一元一次方程。 2. 一元一次方程的一般形式： 一元一次方程的一般形式为 或 。由一般形式可知，含未知数的项的系数不能等于 。在判断方程是否为一元一次方程时，先化其形式，在进行判断。 【针对训练】 ▌例1 下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌例2下列选项中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 知识点05 等式的性质 性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。 性质2：若a=b，则ac=bc；(c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 【拓展延伸】 （1）等式的对称性：如果，那么． （2） 等式的传递性：如果，那么（也叫等量代换） 【针对训练】 ▌例1如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 ▌例2如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 高频考题典例精析 【题型1 判断各式是否是方程】 例题：下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下面的式子不是方程的是（   ） A． B． C． 【题型2 列方程】 例题：列方程表示“的3倍与5的和等于”为 ． 【变式训练】 1.已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程： ． 【题型3 判断是否是一元一次方程】 例题：下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列四个方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据一元一次方程求参数的值】 例题：若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【变式训练】 1．已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【题型5 判断是否是一元一次方程的解】 例题：是方程（　　）的解． A． B． C． 【变式训练】 1．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型6 已知一元一次方程的解求参数的值】 例题：已知是方程的解，则的值是 ． 【变式训练】 1．如果是方程的解，那么的值是 ． 【题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值】 例题：若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【变式训练】 1．已知是关于的方程的解，则 ． 【题型8 等式的基本性质】 例题：运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 1.已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型9 利用等式的基本性质解方程】 例题：解方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．根据等式的性质，下列变形不一定正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 8．若是关于的方程的解，则的值为___________． 9．根据等式的性质填空： （1）若，则_______．       （2）若，则_______． （3）若，则_______．        （4）若，，则_______． 10．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 11．利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 12．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 15．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 16．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 17．已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是_____________． 18．若是方程的解，则的值为______． 19．□、△各代表一个数，已知，．则□=___________， ___________． 20．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如．我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则_______． 21．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 22．（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 23．已知关于x的方程 是一元一次方程，m的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0 24．阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 25．若有理数，，互不相等，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 26．多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 27．已知，，则________． 28．已知，，则式子的值为_____． 29．若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 30．学习情境·规律 探究一列方程如下排列： 的解是的解是的解是，…根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：_______． 31．若，则______． 32．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 方程 学习目标和重难点 1、理解方程的意义，知道方程是含有未知数的等式，能区分方程与代数式。 2、认识一元一次方程，了解“元”“次”的含义，会判断一个方程是否为一元一次方程。 3、理解方程的解的意义，会检验一个数是否为方程的解，能根据简单实际问题列出方程。 重点：方程的概念；一元一次方程的概念；方程的解的意义；根据实际问题列方程。 难点：从实际问题中分析等量关系并列出方程；体会从算式到方程的思维转变；准确判断一元一次方程，避免把分母含未知数的方程误认为一元一次方程。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型1 判断各式是否是方程】 题型2 列方程 题型3 判断是否是一元一次方程】 题型4 根据一元一次方程求参数的值 题型5 判断是否是一元一次方程的解】 题型6 已知一元一次方程的解求参数的值 题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值】 题型8 等式的基本性质 题型9 利用等式的基本性质解方程】 题型10 已知同类项求指数中字母或代数式的值 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点01 方程的概念 1. 方程的概念： 含有 未知数 的等式叫做方程。 特别说明：两个条件必须满足：①是等式；②等式中含有未知数。 【针对训练】 ▌例1 下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． ▌例2．下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，判断式子是否为方程需同时满足两个条件，一是含有未知数，二是等式，两个条件缺一不可，据此判断各选项即可. 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程. ∵选项A 是等式，但不含未知数，∴A不符合要求； ∵选项B 含有未知数，但不是等式，∴B不符合要求； ∵选项C 含有未知数，但不是等式，属于不等式，∴C不符合要求； ∵选项D 是含有未知数的等式，符合方程的定义，∴D符合要求. 知识点02 根据实际问题列方程 1．根据实际问题列方程的步骤： ①审题，找出题目中已知量，未知量以及等量关系 ②设字母表示未知量 ③把等量关系中的量用含有未知数的式子表示出来，根据等量关系建立方程。 2. 找等量关系的常见方法： （1） 利用公式。如图形的面积公式，体积公式等。 （2） 题目中不变量的寻找。 题目中的关键词：和，差，倍，分等，通常表达为“比......多（少）”“是......的几倍” 【针对训练】 ▌例1．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． ▌例2．用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出x的，再根据题意可知与的差为，据此列方程即可． 【详解】解：∵的可表示为，题意为“比它的多”，即与的差为， ∴可列方程为 ． 知识点03 方程的解 1．方程的解的概念： 使方程中等号左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解。方程有可能不止一个解，也有可能无解。 【针对训练】 ▌例1是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． ▌例2有一个方程的解为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将依次代入各选项方程，验证方程左右两边是否相等，相等即为正确答案． 【详解】解：将代入选项A左边 ，右边， ，故A错误； 将代入选项B左边，右边，，故B错误； 将代入选项C左边 ，右边，左边右边，故C正确； 将代入选项D左边 ，右边，，故D错误． 知识点04 一元一次方程 1. 一元一次方程的概念： 只含有 1 个未知数且未知数的次数是 1 的 整式 方程叫做一元一次方程。 2. 一元一次方程的一般形式： 一元一次方程的一般形式为 或 。由一般形式可知，含未知数的项的系数不能等于 0 。在判断方程是否为一元一次方程时，先化其形式，在进行判断。 【针对训练】 ▌例1 下列方程中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式，逐一分析各选项即可． 【详解】解：选项A中，方程的未知数最高次数为2，不满足一元一次方程定义，A不符合要求； 选项B中，方程含有两个未知数，不满足一元一次方程定义，B不符合要求； 选项C中，方程只含有1个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，满足一元一次方程定义，C符合要求； 选项D中，方程的分母含有未知数，不是整式方程，不满足一元一次方程定义，D不符合要求． ▌例2下列选项中是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元一次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A中，满足只含一个未知数，未知数次数为，且是整式方程，符合一元一次方程定义，A符合题意； 选项B中不是等式，不属于方程，B不符合题意； 选项C中是不等式，不是方程，C不符合题意； 选项D中不含未知数，不符合一元一次方程要求，D不符合题意． 知识点05 等式的性质 性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。 性质2：若a=b，则ac=bc；(c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 【拓展延伸】 （1）等式的对称性：如果，那么． （2） 等式的传递性：如果，那么（也叫等量代换） 【针对训练】 ▌例1如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．直接判断即可． 【详解】∵， ∴， 利用了等式的性质，符合等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， 故答案为：D． ▌例2解方程时，若要得到，应在方程两边同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上 D．减去 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 移项的依据是等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立，据此判断变形过程即可． 【详解】解：由于原方程为， 根据等式的基本性质，等式两边同时减去 则左边得，右边得， 即变形后得到， 因此应在方程两边同时减去． 高频考题典例精析 【题型1 判断各式是否是方程】 例题：下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是方程，不符合题意； B、，不含未知数，不符合题意； C、，不是方程，不符合题意； D、，是方程，符合题意； 故选D． 【变式训练】 1．下面的式子不是方程的是（   ） A． B． C． 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此可得答案． 【详解】解：由方程的定义可知，和都是方程，不是方程， 故选：A． 【题型2 列方程】 例题：列方程表示“的3倍与5的和等于”为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意直接列出一元一次方程即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，． 故答案为：． 【变式训练】 1．已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程： ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了由具体问题抽象出一元一次方程，关键是抓住题目中的关键词语，如：倍、差、和等．首先表示出“某数的3倍”为，再表示出“与4的差”可得，进而得到方程． 【详解】解：已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程：， 故答案为：． 【题型3 判断是否是一元一次方程】 例题：下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题考查一元一次方程的一般形式，解题关键在于掌握其定义只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a，b是常数且），根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数是2，故不是一元一次方程，故A不符合题意； B、是一元一次方程，故B符合题意； C、不是等式，故C不符合题意； D、不是整式方程，故D不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．下列四个方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由一元一次方程的定义可知，四个方程中，只有方程是一元一次方程， 故选：C． 【题型4 根据一元一次方程求参数的值】 例题：若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题考查一元一次方程的定义，解题关键在于掌握其定义． 根据一元一次方程的定义得到，进而解答即可． 【详解】解：根据题意可知， 解得：， 故答案为：0． 【变式训练】 1．已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【题型5 判断是否是一元一次方程的解】 例题：是方程（　　）的解． A． B． C． 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查了方程的解， 分别将代入每个选项，检验左右两边是否相等，即可得出答案． 【详解】解：将代入，得左边，右边，等式成立， ∴是方程的解， 所以A符合题意； 将代入，得左边，右边，等式不成立， ∴不是方程的解， 所以B不符合题意； 将代入，得左边，右边，等式不成立， ∴不是方程的解， 所以C不符合题意． 故选：A． 【变式训练】 1．下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程解的定义是解本题的关键．把代入下列方程，进行一一验证即可． 【详解】解：A、当时，左边，右边，左边右边．故本选项错误； B、当时，左边，右边，左边右边．故本选项正确； C、当时，左边，右边，左边右边．故本选项正确； D、当时，左边，右边，左边右边．故本选项错误； 故选：B． 【题型6 已知一元一次方程的解求参数的值】 例题：已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出k的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式训练】 1．如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入即可求解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值】 例题：若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键．先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值；把代入，得到，然后整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：把代入得， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8 等式的基本性质】 例题：运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1.已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 【题型9 利用等式的基本性质解方程】 例题：解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了运用等式的性质解方程，即等式两边同加上或同减去、同乘上或同除以一个数（除外），两边仍相等． （1）根据等式的性质，将等式两边同时乘以，即可求解； （2）先计算等式的左边，然后根据等式的性质，将等式两边同时乘以，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查利用等式的性质解方程，利用等式的性质正确求解是解答的关键． （1）方程两边同乘以2可解方程； （2）方程两边同除以5可解方程； （3）方程两边同除以可解方程． 【详解】（1）解：方程两边同乘以2， 得； （2）解：方程两边同除以5， 得； （3）解：方程两边同除以， 得． 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的三个判定维度：整式、一个未知数、未知数次数为1判断各选项． 【详解】解：A、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，符合题意； B、分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； C、含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意． 3．下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质．根据等式两边同时加减、乘除同一个数（除数不为）等式仍成立，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. 若，则，而选项中等式右边为，显然不成立，错误，不符合题意； B. 若，两边同乘得：，符合等式性质，正确，符合题意； C. 若，两边同除以得：，而非，错误，不符合题意； D. 若，两边减得：，即，而非，错误，不符合题意； 故选：B． 4．方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键，根据等式的性质进而分析即可求解． 【详解】解： 方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上， 故选：D． 5．若关于x的方程的解是，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：， 解得． 6．根据等式的性质，下列变形不一定正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质． 根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．若，则，故原变形正确； B．若，则，故原变形正确； C．若，则，故原变形正确； D．若，当时，无意义，故原变形错误； 故选：D． 7．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 8．若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得 ， 移项得， 系数化为得． 9．根据等式的性质填空： （1）若，则_______．       （2）若，则_______． （3）若，则_______．        （4）若，，则_______． 【答案】 0 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握是解此题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据等式的基本性质解答即可； （3）根据等式的基本性质解答即可； （4）根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2) 当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）略 11．利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程． （1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解； （2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 方程两边同时加上6，得：， 即：， 方程两边同时减去x，得：， 即； （2）解：． 方程两边同时乘以12，得：， 去括号得：， 化简，得：， 方程两边同时减去7，得， 方程两边同时除以7，得：． 12．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查的是等式的基本性质，牢记“等式两边同时除以的数不能为”是解题的关键．根据等式性质，等式两边同时除以同一个数时需保证这个数不为，而选项未说明，因此该变形不严谨． 【详解】解：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立， ：若，则，正确； ：若，则，正确； 等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立， ：若，则，正确； 等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立，但选项中未指定， ：若，则，当时无意义，故不正确． 故选：． 13．若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：A.若，则，故不符合； B. 若，，故不符合； C. 若，，故符合题意； D. 若，，故不符合； 故选：C． 14．已知关于的一元一次方程，若，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，带有字母的绝对值化简问题．由方程为一元一次方程，得二次项系数为零且一次项系数不为零，解得；再根据，即，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：∵ 方程为一元一次方程， ∴ 且， 解得且， ∴ . 又∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 15．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 16．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 17．已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是_____________． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键； 把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：2． 18．若是方程的解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．将代入方程，得到的值，再将用表示，整体代入计算． 【详解】解：因为是方程的解， 所以代入得，即． 则． 故答案为：． 19．□、△各代表一个数，已知，．则□=___________， ___________． 【答案】 4 12 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，12． 20．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如．我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则_______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即，利用等式的性质将变形为，然后将其代入求值即可． 【详解】解：根据题意可得：， 即：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式的性质，合并同类项，代数式求值等知识点，利用等式的性质将变形为是解题的关键． 21．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1) 正确， 理由：∵， ∴， ∴； (2) 不正确， 理由：∵， ∴， ∴， ． ∴不正确． 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质进行计算，即可解答； （2）根据等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 22．（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）； （2）去括号，得． 等式两边都加上 ，得． 等式两边都减去 ，得． 等式两边都除以 ，得． 即． 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 【详解】解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）略 23．已知关于x的方程 是一元一次方程，m的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握 “一元一次方程需满足‘未知数次数为1且系数不为0’” 是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，且系数不能为零进行解题即可． 【详解】∵方程是一元一次方程， ∴，且， 由，得，即， 又∵，∴， ∴． 因此，的值为． 故选：B． 24．阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 25．若有理数，，互不相等，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题等式的性质、整式的加减等知识，解题的关键是正确的变形合并同类项．根据得到，，，代入，即可判断A，B，C，D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，故B不正确，不符合题意， ∴，， ∵有理数，，互不相等， ∴，故A不正确，不符合题意， ∵ ∴，故C不正确，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选：D． 26．多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，根据表格得出当时，，，即，从而得出方程的解． 【详解】解：由表格数据： 当 时，，，则，； ∴方程的解为， 故选：C． 27．已知，，则________． 【答案】2015 【分析】本题考查代数式求值，等式的性质，将第一个等式的两边分别乘以2，变形后，与第二个等式相加，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：2015． 28．已知，，则式子的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，以及代数式求值，根据等式的性质得到，将其整理为求解，即可解题． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 29．若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将三个式子相加可得，从而得出，，表示出，结合是正整数，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴将三个式子相加可得：， 整理可得， ∴， 将代入可得：，即， 将代入可得：，即， ， 为正整数， ∴当时，原式取得最大值． 30．学习情境·规律 探究一列方程如下排列： 的解是的解是的解是，…根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：_______． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，观察方程可得：的解是，进而求出时的值，即可得出结果． 【详解】解：观察可知：方程的解为， ∴当， ∴， ∴方程为：； 故答案为：． 31．若，则______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等式性质的应用，通过设比值为，并利用等式性质，分和 两种情况讨论即可． 【详解】解：设，则 （1） （2） （3） 将（1）、（2）、（3） 相加得： ， 左边合并同类项：， 右边：， 所以， 若，则， 若，则从（1）式得，代入 ， 同理其他分式也等于，故， 因此，比值为或， 故答案为：或． 32．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1) ①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ② (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①略 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $