1.3三角函数的应用（分层作业，12大题型）数学新教材北师大版九年级下册

分层作业 1.3 三角函数的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 方向角的概念理解 题型02 利用三角函数求高度 题型03 方向角问题 题型04 仰角俯角问题 题型05 坡度坡角问题 题型06 实物建模问题 题型07 物理实验问题 题型08 其它问题 B组 能力进阶 题型01 方案设计问题 题型02 临界值问题 题型03 解直角三角形综合应用问题 C组 思维拔高 题型 三角函数综合 方向角的概念理解题型01 1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 2．（25-26七年级·贵州遵义·期末）如图，小嘉站在点，小淇站在点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东方向上，则我位于你的什么方向上（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 3．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转80°，则结果指针的指向（　　） A．南偏东30° B．北偏西40° C．南偏东40° D．北偏西50° 4．（25-26七年级下·广东湛江·期中）如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 5．如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线， (1) 南偏东25°；(2) 北偏西60°. 利用三角函数求高度题型02 1．（2025·吉林长春·一模）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为．为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（        ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·广西柳州·三模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 3．山西的饮食文化以面食文化为主，常见的面食品种有刀削面、刀拨面、剔尖等等，同时山西人也会自制一些其他面食，比如利用“杠杆原理”压制出来的饸饹面本是西北常见的一种面食，山西人也会经常吃．如图①，是一个手动饸饹机的实物图，图②是其示意图，已知手柄的长度，，支架的高度，抬至最高时与水平方向的夹角约为，此时点，，，四点共线． （结果精确到，参考数据：，，） (1)求饸饹机手柄上的点到水平面的距离； (2)李师傅压制饸饹时，某一时刻与水平方向的夹角为，则手柄上点的高度降低了多少？ 4．如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据： 5．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量建筑物的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 测量示意图 测量过程 小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走28步到达点C，又沿坡角为的斜坡行走了40步到达点D，此时建筑物在太阳光线下的影子端点落在E处，测量为100步，同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，，小明每一步的长度为米．参考数据：，，． 请根据以上测量数据，求建筑物的高度． 方向角问题题型03 1．在一次“新希望杯”数学夏令营活动中，某同学从营地点A出发，到与点A的距离为1000米的C地去，她先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向走了500米到达目的地C，此时这名同学在营地点A的（　　） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏东方向上 2．如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）． 4．（2025·湖北·三模）某校九年级学生开展利用三角函数知识解决实际问题的综合与实践活动．如图，直角三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 点在点的正东方向，点在点的正北方向，点都在点的正北方向． 测量数据 米，米． 点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上． 参考数据 ，，． (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的总长度．（结果保留根号） 5．如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得点A，B均在点C的北偏东方向上，沿正东方向行走105米至观测点D，测得点A在点D的正北方向，点B在点D的北偏西方向上．求A、B两点间的距离． 同学甲：在纸上利用“比例尺”画出相应的图，并测得纸上长度约为，长度约为，再求出实际A、B两点间的距离． 同学乙：通过计算器得到数据：，，，再结合三角函数知识求出A、B两点间的距离． 请按照同学甲、乙的方法分别计算出A、B两点间的距离． 仰角俯角问题题型04 1．如图，为了测量一棵树的高度，小明在离这棵树10米处的点测得树的最顶端的仰角为，小亮在离这棵树25米处的点测得树的最顶端的仰角为.已知．则这棵树的高度是（    ） A． B．12 C． D． 2．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（    ）．（结果精确到0.1米，） A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米 3．如图，为测量旗杆的高度，在水平地面的处用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，在三楼窗台处测得旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为___________． 4．在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） 5．（2025·山西运城·一模）太原市晋阳湖之眼摩天轮计划于年月正式试灯营业，该摩天轮位于晋阳湖北岸，采用双侧通透立柱和全拉索轮盘设计，配备台球形吊舱，兼具安全性与科技感．图是太原市晋阳湖之眼摩天轮，图2是测量晋阳湖之眼摩天轮高度示意图．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量晋阳湖之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量晋阳湖之眼摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为． 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上．（参考数据：，，，） 任务 求晋阳湖之眼摩天轮的高度．（结果精确到） 坡度坡角问题题型05 1．如图，某水渠的横断面是一个梯形．已知其斜坡AD的坡度为，斜坡BC的坡度为．现测得放水前的水面宽EF为，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为，则放水后水面上升的高度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 3．（2025·一模）如图，大坝的横截面是Rt△ABC，坝高AC为16 m．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面AB改造成长为36 m的折线形坝面AD—DE，坝面AD的倾斜角α为36.87°，坝面DE的倾斜角β为22.62°．（参考数据：sin 36.87°≈，sin 22.62°≈．） (1)求坝面DE的长度； (2)求坡脚向前推进的距离BE的长度． 4．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 5．（25-26八年级·浙江金华·期中）如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高为米，坝顶宽为米，求大坝横截面的面积和周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值，结果保留根号） 实物建模问题题型06 1．如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点D，米．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26九年级上·重庆·月考）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 3．（2026·上海·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 4．为了提升学生防灾减灾意识，某学校组织学生到贵州省消防总队进行参观学习．同学们现场观看了消防员的消防演习，小明回家后，想利用自己所学的知识解决下面问题：如图（1），线段是消防车上的云梯，可自由伸缩，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为． (1)若，求此时云梯的长； (2)如图（2），云梯上的消防员为了到达上一层楼，联系下方的消防员调整云梯的角度，使得，若云梯伸长的速度为米/秒，则云梯完成伸长最快需要多长时间？（结果精确到小数点后一位）（参考数据：，，） 5．如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．    (1)如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； (2)如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 物理实验问题题型07 1．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（    ）    A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是_________．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 3．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______（单位：N）（参考数据：，） 4．（2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中． (1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？ (2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）． 5．（2025·河北邯郸·一模）情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 (1)请求出长（结果保留一位小数）； (2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 其它问题题型08 1．（2025·广东深圳·二模）深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 2．天坑是喀斯特地貌中的一种，它的形成是因为地下水不断侵蚀固体基岩，使溶洞顶部发生坍塌，最终在地表形成一个巨大的深坑，这个深坑被称作天坑．如图1所示是位于兴文石海具有天下第一漏斗美称的天坑最深处达208米．是天坑坑洞洞口最大口径．现在同一平面内的天坑边沿再另取两点C、D，使．测量示意图如图2所示，在点D处测得，，在点C处测得，，求天坑坑洞洞口最大口径的长度．（结果精确到；参考数据：） 方案设计问题题型01 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 2．（25-26九年级下·河北邯郸·月考）为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 3．某小区打算在一块长，宽的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计），已知规划的倾斜式停车位每个车位长，宽，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于，那么最多可以设置停车位________个．（参考数据：，） 4．（2025·重庆·月考）小明一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，小明一家从轻轨站出口处沿北偏东方向行走200米到达景点处．再从处沿正东方向行走300米到达景点处．然后从处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边处．从处沿正西方向到处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点在处南偏西方向上．（都位于的正南方向上） (1)求巴渝风情步行街的长；（结果保留根号） (2)结束游玩之后小明爸爸需要赶到重庆西站乘坐高铁．小明爸爸从处出发，现可沿①路线回到处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1小时；也可沿②路线到达出租车乘车点处打车到达西站，出租车到达西站需23分钟，但会堵车半小时．已知小明爸爸步行速度是20米/分，请问小明爸爸选择哪条路线能更快到达重庆西站？（参考数据：） 5．（25-26上·上海·期中） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 临界值问题题型02 1．要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一个长的梯子，用这个梯子最高可以安全攀上的墙高是（    ） A． B． C． D． 2．某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据：，，） 3．随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 4．（2025·四川成都·模拟）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 5．在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 解直角三角形综合应用问题题型03 1．（25-26九年级上·期末）为促进学生身心健康发展，学校组织全体师生开展秋季远足实践活动．如图A，B，C，D是四个打卡地，此次远足路线分为“访山”线：和“寻海”线：，其中B在A的正东方向处，C在A的南偏东方向，C也在B的南偏西方向，D在A的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求“寻海”线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)若七年级选择走“访山”线，九年级选择走“寻海”线，已知“访山”线长度约为，七年级比九年级提前6分钟出发，两个年级全程匀速前进（忽略全程途中停留时间），九年级的平均行走速度是七年级的1.2倍，结果两个年级同时返回到出发点A，求七年级的平均行走速度． 2．我市为满足广大市民的锻炼需求，拟将郊区的一座山打造为健身公园，山体的横截面示意图如图1，计划修建两段登山步道、和两段平台、．其中，平台、均与水平地面平行，平台长75米，在点处观察点的仰角为（即），步道的坡角为，平台距离地面的竖直高度为900米，步道的坡度．（参考数据：，，，） (1)求步道的长度； (2)为方便市民徒步登山，市规划局预备将步道全部修建成石梯，石梯的修建方式及尺寸（包括踏步高和踏步宽）均如图2所示．每一步石梯的安全标准是踏步高不小于，不大于，且踏步宽不小于，不大于．若计划修建3600个相同尺寸的连续石梯，请你通过计算说明这样修建的石梯是否符合安全标准？ 3．（2026·安徽合肥·一模）某山林瞭望塔建在山坡上，用于观测火情或特殊目标．山坡的坡度为，坡长为26米，瞭望塔高3米，塔顶为观测点．巡山员在将某信号弹从地面点垂直发射前，在观测点测得点的俯角为37°，发射3秒后，测得信号弹升至处的仰角为53°，请根据以上数据，估算巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度．（参考数据：，，） 4．为弘扬志愿服务精神，传承红色基因，杨家坪中学的志愿者们积极行动，通过清理社区周边垃圾、宣讲环保知识，将红岩精神融入实践．如图，是某社区的平面勘测图，在的北偏东方向，千米，在的正东方向，千米，在的东南方向，且在的正东方向．（参考数据：，） (1)求的长度；（结果保留小数点后一位） (2)小皆和小能作为志愿者，同时从地出发，小皆沿路线前往地，小能沿路线前往地，已知小皆与小能的速度之比为，出发0.6小时后小皆在由到的途中恰好位于小能的西北方向．求小皆从地出发多少时间后到达地（结果保留小数点后一位）． 5．（2026·重庆·月考）重庆两江新区麓溪湖绿心公园是新晋网红打卡地，为方便游客游览，工作人员将园内四处主要打卡点抽象为平面内的四个点：A为绿心之环，B为山谷湖景观景台，C为马鞭草花海步道，D为绿心大草坪．已知点B在点A的正东方向，点C在点D的正东方向，点C在点B的西北方向，点D在点A的北偏东方向；绿心之环A到大草坪D的直线距离，绿心之环A到山谷湖景观景台B的直线距离．（参考数据：，） (1)求之间的距离；（结果保留根号） (2)周末小明、爸爸相约在公园游玩，小明从观景台B出发，沿方向匀速前往绿心之环A，爸爸从绿心之环A出发，沿方向匀速前往大草坪D，两人同时出发．已知小明的速度是爸爸速度的2倍，当两人首次相距时，求此时爸爸与绿心之环A的距离．（结果保留一位小数） 三角函数综合题型 1．如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B．小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为 2．（2026·重庆·二模）如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 4．问题提出 图1                  图2                             图3 （1）如图1，已知矩形的面积为42，点、分别在边、上，连接，若，，则四边形的面积为__________； 问题探究 （2）如图2，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，过点作，垂足为．求、的长； 问题解决 （3）现要对一块四边形空地进行规划，其示意图如图3所示，其中，，连接，，，在上找点，过点作于点，连接，根据规划在与区域种植花卉，其余区域种植草坪． ①设的长为，和的面积之和为，求与之间的函数关系式； ②种植花卉每平方米需花费0.01万元，种植花卉至少需要总费用多少万元？ 5．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3 三角函数的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 方向角的概念理解 题型02 利用三角函数求高度 题型03 方向角问题 题型04 仰角俯角问题 题型05 坡度坡角问题 题型06 实物建模问题 题型07 物理实验问题 题型08 其它问题 B组 能力进阶 题型01 方案设计问题 题型02 临界值问题 题型03 解直角三角形综合应用问题 C组 思维拔高 题型 三角函数综合 方向角的概念理解题型01 1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题考查方向角，根据方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， ∵一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上， ∴由图可得，这艘渔船的大致位置可以在点处． 故选：B． 2．（25-26七年级·贵州遵义·期末）如图，小嘉站在点，小淇站在点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东方向上，则我位于你的什么方向上（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的概念是解题关键．根据位置是相对的，画出图形，结合方向角的定义解答即可得． 【详解】解：如图，小淇位于小嘉的北偏东方向上， 则小嘉位于小淇的南偏西方向上， 故选：A． 3．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转80°，则结果指针的指向（　　） A．南偏东30° B．北偏西40° C．南偏东40° D．北偏西50° 【答案】D 【分析】根据南偏西50°顺时针转80°，可得指针的指向． 【详解】一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转80°，则结果指针的指向是北偏西50°， 故选：D． 【点睛】本题考查了方向角，注意旋转方向，旋转的度数． 4．（25-26七年级下·广东湛江·期中）如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 【答案】南偏东 【分析】根据方位角的定义，通常以正北或正南方向为基准线，图中给出了与正东方向的夹角，利用互余关系求出与正南方向的夹角即可确定方向． 【详解】解：由图可知，射线与正东方向的夹角为， 正东方向与正南方向互相垂直，夹角为， 射线与正南方向的夹角为， 货船B在港口A的南偏东方向． 5．如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线， (1) 南偏东25°；(2) 北偏西60°. 【答案】 如图所示，OB表示南偏东25°，OC表示北偏西60°， 【详解】试题分析：本题考查了方位角，根据方向角的表示方法画出图形即可． 利用三角函数求高度题型02 1．（2025·吉林长春·一模）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为．为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（        ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握三角函数的定义． 由题意得，然后由 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， 故选：． 2．（2025·广西柳州·三模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出． 【详解】解：∵，为高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．山西的饮食文化以面食文化为主，常见的面食品种有刀削面、刀拨面、剔尖等等，同时山西人也会自制一些其他面食，比如利用“杠杆原理”压制出来的饸饹面本是西北常见的一种面食，山西人也会经常吃．如图①，是一个手动饸饹机的实物图，图②是其示意图，已知手柄的长度，，支架的高度，抬至最高时与水平方向的夹角约为，此时点，，，四点共线． （结果精确到，参考数据：，，） (1)求饸饹机手柄上的点到水平面的距离； (2)李师傅压制饸饹时，某一时刻与水平方向的夹角为，则手柄上点的高度降低了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，选择适当的三角函数是解题的关键． (1)先证明四边形是矩形，再根据，计算即可． (2)根据，计算新高度，前后的高度差就是降低的高度，计算即可． 【详解】（1）在中， ∵，，， ∴，         ∵， ∴四边形是矩形， ∴．         又∵， ∴，         答：饸饹机手柄上的点到水平面的距离约为． （2）由（1）知，， 当时，，         ∴， 答：手柄上点的高度降低了． 4．如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据： 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点C作于点，分别求出，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：如图，过点C作于点， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 答：可调节活动点 C到水平面的距离为． 5．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量建筑物的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 测量示意图 测量过程 小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走28步到达点C，又沿坡角为的斜坡行走了40步到达点D，此时建筑物在太阳光线下的影子端点落在E处，测量为100步，同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，，小明每一步的长度为米．参考数据：，，． 请根据以上测量数据，求建筑物的高度． 【答案】 【分析】过点C作于点F，延长交于点G，解直角三角形求解即可； 【详解】解：过点C作于点F，延长交于点G， 因为，， 所以， 所以四边形是矩形， 所以， 根据题意，得，，, 因为坡角为， 所以， ， ， 所以， 因为同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米， 所以物高与影长成正比， 所以， 所以， 解得 所以． 方向角问题题型03 1．在一次“新希望杯”数学夏令营活动中，某同学从营地点A出发，到与点A的距离为1000米的C地去，她先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向走了500米到达目的地C，此时这名同学在营地点A的（　　） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏东方向上 【答案】D 【分析】本题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，再结合三角函数的知识求解．本题求出是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 米，米，即， ， ， 此时这名同学在营地点A的北偏东方向上， 故选：D． 2．如图，是三艘军舰，舰在舰正东方向海里处，舰在舰北偏西方向 海里处．某日，三艘军舰同时收到渔船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则舰与渔船相距（    ）    A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】本题考查了方位角解直角三角形，矩形的性质，勾股定理的运用，掌握方位角解直角三角形的计算，图形结合分析思想是解题的关键．根据题意，可确定点在线段垂直平分线的交点处，如图所示，可得，作，与交于点，可得四边形是矩形，根据，运用特殊角的三角函数可得的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，点到三艘军舰的距离相等，即点在线段垂直平分线的交点处，作图如下，    ∴，，垂足分别为点，作，过点作于点，与交于点，连接， 由题意得海里，海里，四边形是矩形， ∴海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴海里，且， ∴在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， 故选：C ． 3．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：在Rt△APC中，∵AP= 海里，∠APC=45°， ∴海里． 在Rt△BPC中，∵∠ PBC=30°， ∴海里； ∴AB=AC+BC=海里． 故答案为． 【点睛】本题考查了方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 4．（2025·湖北·三模）某校九年级学生开展利用三角函数知识解决实际问题的综合与实践活动．如图，直角三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 点在点的正东方向，点在点的正北方向，点都在点的正北方向． 测量数据 米，米． 点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上． 参考数据 ，，． (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的总长度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，理解图示，合理作出辅助线，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作交的延长线于点，由题意可知米，在中，，由此即可求解； （2）在中，，，（米），（米），在中，（米），由围栏总长度为：代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点， 由题意可知米， 在中，， ∴米． ∴步道的长度为米． （2）解：在中，，， ∴（米），（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴围栏总长度为： 米． 5．如图，为了测量河对岸A、B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得点A，B均在点C的北偏东方向上，沿正东方向行走105米至观测点D，测得点A在点D的正北方向，点B在点D的北偏西方向上．求A、B两点间的距离． 同学甲：在纸上利用“比例尺”画出相应的图，并测得纸上长度约为，长度约为，再求出实际A、B两点间的距离． 同学乙：通过计算器得到数据：，，，再结合三角函数知识求出A、B两点间的距离． 请按照同学甲、乙的方法分别计算出A、B两点间的距离． 【答案】100米 【分析】本题考查了比例的应用、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．同学甲：利用比例的性质求解即可得；同学乙：作，垂足为，先解直角三角形可得，，设米，则米，从而可得米，米，再根据米可求出的值，从而可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：同学甲：， 解得（米）． 答：实际、两点间的距离为100米． 同学乙：如图，作，垂足为， 由题意，，，， ∴，． ∴设米，则米， ∴米，米． ∴． ∴（米）． ∴米． 在中，， ∴米． ∴（米）． 答：、两点间的距离为100米． 仰角俯角问题题型04 1．如图，为了测量一棵树的高度，小明在离这棵树10米处的点测得树的最顶端的仰角为，小亮在离这棵树25米处的点测得树的最顶端的仰角为.已知．则这棵树的高度是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中和在中，分别解直角三角形即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， ， 在中，米， ，即， 在中，米， ，即， ，即：， 解得：， 答：这棵树的高度是米， 故选A． 2．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（    ）．（结果精确到0.1米，） A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米 【答案】C 【分析】过点B作于F，过点作于E，证明，利用角平分线的性质得到，解得到，再解得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于F，过点作于E， 由题意得四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，为测量旗杆的高度，在水平地面的处用测角仪测得旗杆顶端的仰角为，在三楼窗台处测得旗杆顶端的仰角为，已知，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．作于，则，四边形是矩形，得出，，求出，证出，得出，在中，由直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：作于E，如图所示： 则，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； 故答案为14.4． 4．在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） 【答案】187米 【分析】过点作于点，设，先证明四边形是矩形，得到后列方程求解，继而求出． 【详解】解：过点作于点， 设， 则，， ， ， 平行于， ， 四边形是矩形， ， ， 即， ， 解得：， ． 答：操作员到搜寻目标的水平距离为187米． 5．（2025·山西运城·一模）太原市晋阳湖之眼摩天轮计划于年月正式试灯营业，该摩天轮位于晋阳湖北岸，采用双侧通透立柱和全拉索轮盘设计，配备台球形吊舱，兼具安全性与科技感．图是太原市晋阳湖之眼摩天轮，图2是测量晋阳湖之眼摩天轮高度示意图．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量晋阳湖之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量晋阳湖之眼摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为． 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上．（参考数据：，，，） 任务 求晋阳湖之眼摩天轮的高度．（结果精确到） 【答案】太原晋阳湖之眼摩天轮的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，延长交于点，设，得出四边形是矩形，然后在中，，，则，在中，，，则，在中，，，则，最后通过线段和差即可求解，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，设， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 依题意得，， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，，则， ∵， ∴， 解得，， ∴（米）， 答：太原晋阳湖之眼摩天轮的高度约为米． 坡度坡角问题题型05 1．如图，某水渠的横断面是一个梯形．已知其斜坡AD的坡度为，斜坡BC的坡度为．现测得放水前的水面宽EF为，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为，则放水后水面上升的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、矩形的性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形． 过点E作于点M，过点F作于点N，得四边形EFNM为矩形，设，利用坡度知得，同理，所以，解得，即上升高度． 【详解】解：如图，过点E作于点M，过点F作于点N． 易知四边形矩形，则． 设． 在中， 斜坡的坡度为， ． 同理可得， 则， 解得，即放水后水面上升的高度为． 故选： C． 2．如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶C与坝脚B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点C作交延长线于点F．在中，，在中，，可求出，再解，即可求出 【详解】解：过点C作交延长线于点F． 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 答：石坝坝顶C与坝脚B之间的距离为米． 3．（2025·一模）如图，大坝的横截面是Rt△ABC，坝高AC为16 m．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面AB改造成长为36 m的折线形坝面AD—DE，坝面AD的倾斜角α为36.87°，坝面DE的倾斜角β为22.62°．（参考数据：sin 36.87°≈，sin 22.62°≈．） (1)求坝面DE的长度； (2)求坡脚向前推进的距离BE的长度． 【答案】(1)DE＝26 m (2)BE＝4 m 【详解】解：（1）过点D分别作DM⊥AC交AC于M，作DN⊥BC交BC于N． ∴  ∠DNC＝∠DMC＝90°． 又∵  在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． ∴  四边形DNCM为矩形． ∴  MC＝DN，DM＝NC． 在Rt△ADM中，sin 36.87°＝． ∴ AM＝AD·sin 36.87°＝AD． 在Rt△DEN中，sin 22.62°＝． ∴  DN＝DE·sin 22.62°＝DE． 又∵  AD＋DE＝36m，AC＝AM＋MC＝AM＋DN＝16 m， (36－DE)＋DE＝16 m． ∴  DE＝26 m． （2）由（1）可知DE＝26 m，AD＝36－26＝10 m． ∴  AM＝AD＝6 m，DN＝DE＝10 m． 在Rt△ADM中，DM＝＝8 m． 同理，NE＝24 m． 由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等． ∴  BC·AC＝DM·AM＋NE·DN＋DN·DM， ∴  ×16·BC＝×8×6＋×24×10＋8×10， ∴  BC＝28 m． ∴  BE＝24＋8－28＝4 m． 4．（24-25九年级下·安徽淮南·期中）某铁路路基的横断面是四边形，其中，路基顶宽，路基底宽，斜坡的坡度，斜坡的坡度，因路基一侧靠近河流，现需要对斜坡进行加固，使得改造后的坡角（）减小，求改造后的路基底宽长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题．分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G．设，则，根据的坡度， 可得，，，从而得到．在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】解：分别过点A，D作，，垂足分别为点F，G． 由题意知，． 的坡度， ， 可设，则． 的坡度， ，，， ，解得， ． 在中，， ． 答：改造后的路基底宽长约为． 5．（25-26八年级·浙江金华·期中）如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高为米，坝顶宽为米，求大坝横截面的面积和周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值，结果保留根号） 【答案】横截面积为平方米，周长为米 【分析】求出、的长，又知道，，求出的长，利用梯形面积公式即可求出横截面积，再利用勾股定理求出和，即可得到周长． 【详解】解：依题意，，， ， ， ，， ， ， （米）， （平方米）． ∵， ， 大坝横截面的周长（米）， 大坝的横截面积为平方米，周长为米． 实物建模问题题型06 1．如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点D，米．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴米 故选：B． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】延长交延长线于点E，过点A作于点F，则，利用正切的概念求出，判断为等边三角形，求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点E，过点A作于点F，则， ∵河堤的坡度为， ∴， ∴设， ∵米， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ，， ∵， ∴是等边三角形， ∵米， ∴米， ∴米， 即浮漂D与河堤下端B之间的距离为米． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（2026·上海·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，，，由，代入计算即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 4．为了提升学生防灾减灾意识，某学校组织学生到贵州省消防总队进行参观学习．同学们现场观看了消防员的消防演习，小明回家后，想利用自己所学的知识解决下面问题：如图（1），线段是消防车上的云梯，可自由伸缩，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为． (1)若，求此时云梯的长； (2)如图（2），云梯上的消防员为了到达上一层楼，联系下方的消防员调整云梯的角度，使得，若云梯伸长的速度为米/秒，则云梯完成伸长最快需要多长时间？（结果精确到小数点后一位）（参考数据：，，） 【答案】(1)云梯的长度为米 (2)云梯完成伸长最快需要秒 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）在中，，，根据，可得云梯伸长的长度，因为云梯伸长的速度为1米/秒，根据路程除以速度即可求出时间． 【详解】（1）解：在中，，， 中， 米， 答：此时云梯的长度为米； （2）解：在中，，， ， 又， ， 云梯伸长的长度约为：（米）， 又云梯伸长的速度为1米/秒， 云梯完成伸长最快需要3.3秒． 5．如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．    (1)如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； (2)如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 【答案】(1)36cm； (2)变化了，长度增加了4cm． 【分析】（1）如图1，过点D作于点F，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F， 由题意知， ∴，， ∴． （2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N， 由题意知四边形是矩形， ∴， 在中， ，， 在中，， ∴由勾股定理可得， 则， 原来， ， ∴变形前后两轴心的长度增加了．    【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 物理实验问题题型07 1．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（    ）    A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意可知：在中，，厘米， ， （厘米）， 故选：C． 2．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是_________．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：． 3．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______（单位：N）（参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先利用平行线的性质得到，再在中利用正弦的定义求出，接着利用平角的定义计算出，然后在中利用余弦的定义求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴． 故答案为：． 4．（2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中． (1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？ (2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）． 【答案】(1)上升了厘米 (2)厘米 【分析】（1）根据坡比的定义进行计算即可； （2）设楔子从P点开始前进的距离为，表示出两个木桩上升的高度，然后建立方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 答：木桩①上升了2厘米． （2）解：设楔子从P点开始前进的距离为， 根据题意，可得：， 解得， 答：两个木桩之间的施工预留水平间隙为厘米． 5．（2025·河北邯郸·一模）情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 (1)请求出长（结果保留一位小数）； (2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 【答案】(1)cm (2) 解：淇淇看法正确．理由如下： 延长，交底部于C，D． 由题意得，， 四边形是平行四边形， ． 同理，． ． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）作于，利用矩形的性质，通过求得，然后根据锐角三角函数解直角三角形； （2）延长，交底部于C，D，结合平行四边形的判定和性质进行推理说明． 【详解】（1）解：如图，作于， 由题意可得四边形是矩形， ． 又∵， ，． 在Rt中，． （2）略 其它问题题型08 1．（2025·广东深圳·二模）深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】2.1 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据的正切值求解即可． 【详解】∵，， ∴（米）． ∴冬至日正午表落在圭面的影长为2.1米． 故答案为：2.1． 2．天坑是喀斯特地貌中的一种，它的形成是因为地下水不断侵蚀固体基岩，使溶洞顶部发生坍塌，最终在地表形成一个巨大的深坑，这个深坑被称作天坑．如图1所示是位于兴文石海具有天下第一漏斗美称的天坑最深处达208米．是天坑坑洞洞口最大口径．现在同一平面内的天坑边沿再另取两点C、D，使．测量示意图如图2所示，在点D处测得，，在点C处测得，，求天坑坑洞洞口最大口径的长度．（结果精确到；参考数据：） 【答案】天坑坑洞洞口最大口径的长度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作延长线于点，设，则，再利用三角函数，分别求出，，进而得出，即，再根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作延长线于点， 设， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即天坑坑洞洞口最大口径的长度为米． 方案设计问题题型01 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 如图：设为x米，则有在中可利用得到米，在中利用得到米，则，列方程可得，解得x的值即可． 【详解】解：如图：设为x米， 在中，， ∵， ∴米， 在中，， ∵， ∴米， ∵， ∴，解得：． ∴米． 故选：B． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·月考）为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 【答案】A 【分析】分别根据两方案数据计算的值即可． 【详解】解：方案一：∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 方案二：过点G作交于点F， 可知四边形是矩形， ∴，米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 无数据，无法判断树高度； 即能计算出树高度的是方案一． 3．某小区打算在一块长，宽的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计），已知规划的倾斜式停车位每个车位长，宽，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于，那么最多可以设置停车位________个．（参考数据：，） 【答案】14 【分析】根据，，，可得，，则有，，可求得，取整数解即可得到结果． 【详解】解：如图示， ∵矩形空地宽,矩形空地用于行走的道路宽度不小于， ∴可用于设置停车位的垂直高度为， ∵，， ∴， ∴，， 则依题意可得：， ∴， ∴， ∴取整数，即最多可以设置停车位14个. 4．（2025·重庆·月考）小明一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，小明一家从轻轨站出口处沿北偏东方向行走200米到达景点处．再从处沿正东方向行走300米到达景点处．然后从处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边处．从处沿正西方向到处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点在处南偏西方向上．（都位于的正南方向上） (1)求巴渝风情步行街的长；（结果保留根号） (2)结束游玩之后小明爸爸需要赶到重庆西站乘坐高铁．小明爸爸从处出发，现可沿①路线回到处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1小时；也可沿②路线到达出租车乘车点处打车到达西站，出租车到达西站需23分钟，但会堵车半小时．已知小明爸爸步行速度是20米/分，请问小明爸爸选择哪条路线能更快到达重庆西站？（参考数据：） 【答案】(1)的长度为米 (2)选择②号路线更快 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）过C作于H，延长相交于F，解，求得的长，即可求出答案； （2）分别计算出两条路线的长度，可求得时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过C作于H，延长相交于F， 则，，四边形是矩形， 由题意得：，，米，米，米， ∵中，， ∴米， 米， ∵中，米， ∴米， 答：的长度为米 ． （2）解：由题意得：，， ∵中，， ∴， ， ②号路线所用时间（分钟）， ①号路线所用时间（分钟）， ∵， ∴选择②号路线更快． 5．（25-26上·上海·期中） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道一休息平台一坡道）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为，水平长度最大，休息平台宽度最小，轮椅入口宽度最小． 甲 组 ，，． 乙 组 丙 组 休息平台宽为，轮椅入口宽为，点到连廊的距离为． (1)根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（或），并判断是否安全； (2)为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道、坡道）的坡度和坡高以及设计过程． 【答案】(1)坡度，坡高，不安全 (2)解：坡道的坡高为，坡度为，坡道的坡高为，坡度为，理由如下， 如图，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S的距离为时，过点作，过点V作，可知四边形为矩形， 根据题意可知，， ， ∴， ， 当坡道的坡度为时，， 由（1）可知， 四边形为矩形， ，， ， 故坡道的坡度为， ， 故坡道符合题目要求． 【分析】（1）根据题意可知，，由勾股定理可得，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S的距离为时，过点V作，可知四边形为矩形，先求出，即可求出坡道的坡高和坡度，再求出，即可求出坡道的坡高和坡度． 【详解】（1）解：由图1可知，， ， ， 故原坡道的坡度为， ， 原坡道不安全． （2）略． 临界值问题题型02 1．要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．如图，现有一个长的梯子，用这个梯子最高可以安全攀上的墙高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据正弦的定义以及正弦函数的性质解答即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 在中，， ∴， ∵随着的增大而增大，， ∴当时，最大，最大值为， 故选：A． 2．某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据：，，） 【答案】该车从点到点的平均速度为，该车超速 【分析】本题考查了解直角三角形，利用了锐角三角函数，直角三角形的性质，画出直角三角形得出的长是解题关键．过作于点，根据等腰直角三角形得出，进而利用三角函数解答即可． 【详解】解：如图，过作于点， 由题意得：， 在中，， ， （）， 在中，， （m）， （）， （）， ， 超速了． 答：该车从点到点的平均速度为，该车超速． 3．随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【答案】2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握坡度是坡角的正切值． 延长交于点E，根据坡道的坡比，可得，即可求出米，进而得出米，再证明，则，设，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， ， ， ， ， ， ． ， ． ∴， 设，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴米． 答：点D到的距离的长为2.4米． 4．（2025·四川成都·模拟）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 【答案】(1) (2) 能，理由如下： 如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则， 在中，， ， ， ， ， ． ∵， ∴ ∴小兰能被识别． 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键． （1）如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出最大身高； （2）如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，再求出长度，然后与头部以下身高比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F， 在中，． ． ， ∴， ， ， ∴该人脸识别系统能识别的最大身高． （2）略 5．在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】地不受台风影响； 【分析】如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，，求解，此时地不受台风影响；再求解，，，，此时地不受台风影响；从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 综上：地不受台风影响． 【点睛】本题考查的是与方位角相关的解直角三角形的应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的画出图形是解本题的关键． 解直角三角形综合应用问题题型03 1．（25-26九年级上·期末）为促进学生身心健康发展，学校组织全体师生开展秋季远足实践活动．如图A，B，C，D是四个打卡地，此次远足路线分为“访山”线：和“寻海”线：，其中B在A的正东方向处，C在A的南偏东方向，C也在B的南偏西方向，D在A的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求“寻海”线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)若七年级选择走“访山”线，九年级选择走“寻海”线，已知“访山”线长度约为，七年级比九年级提前6分钟出发，两个年级全程匀速前进（忽略全程途中停留时间），九年级的平均行走速度是七年级的1.2倍，结果两个年级同时返回到出发点A，求七年级的平均行走速度． 【答案】(1)“寻海”线为； (2)七年级的平均行走速度为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，分式方程的应用． （1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得“寻海”线的长度即可； （2）设七年级的平均行走速度为，结合题意可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：“寻海”线为； （2）解：设七年级的平均行走速度为， ∴， 解得：， 经检验符合题意； ∴七年级的平均行走速度为． 2．我市为满足广大市民的锻炼需求，拟将郊区的一座山打造为健身公园，山体的横截面示意图如图1，计划修建两段登山步道、和两段平台、．其中，平台、均与水平地面平行，平台长75米，在点处观察点的仰角为（即），步道的坡角为，平台距离地面的竖直高度为900米，步道的坡度．（参考数据：，，，） (1)求步道的长度； (2)为方便市民徒步登山，市规划局预备将步道全部修建成石梯，石梯的修建方式及尺寸（包括踏步高和踏步宽）均如图2所示．每一步石梯的安全标准是踏步高不小于，不大于，且踏步宽不小于，不大于．若计划修建3600个相同尺寸的连续石梯，请你通过计算说明这样修建的石梯是否符合安全标准？ 【答案】(1) (2)这样修建的石梯是不符合安全标准． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰俯角问、解直角三角形的应用：坡度坡角问题以及矩形的性质， （1）过点D作，延长交于点N，设，在中，，，，列出方程并求解即可； （2）过点B作，可得四边形是矩形，在中，的坡度，求出的长，再求出每一段踏步高和踏步宽，最后进行判断即可． 【详解】（1）解：过点D作，延长交于点N，设， ，， ∴， 由题意得在中，， ∴，， 在中，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， （2）如图，过点B作，可得四边形是矩形， ∵，， ∴，即， 由题意得在中，的坡度， ∴， ∴， ∵计划在上修建3600个相同尺寸的连续石梯， ∴如图，， ∴，， ∵每一步石梯的安全标准是踏步高不小于，不大于，且踏步宽不小于，不大于． ∴这样修建的石梯是不符合安全标准． 3．（2026·安徽合肥·一模）某山林瞭望塔建在山坡上，用于观测火情或特殊目标．山坡的坡度为，坡长为26米，瞭望塔高3米，塔顶为观测点．巡山员在将某信号弹从地面点垂直发射前，在观测点测得点的俯角为37°，发射3秒后，测得信号弹升至处的仰角为53°，请根据以上数据，估算巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度．（参考数据：，，） 【答案】巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度约为 【分析】过点作于点，延长交直线于点，设，则，结合勾股定理求得，，再由正切函数求出、即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交直线于点， ，， ， 的坡度为， 设，则， 在中，， 由， 解得， ，， 在中，， 在中，， ． ． 答：巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度约为． 4．为弘扬志愿服务精神，传承红色基因，杨家坪中学的志愿者们积极行动，通过清理社区周边垃圾、宣讲环保知识，将红岩精神融入实践．如图，是某社区的平面勘测图，在的北偏东方向，千米，在的正东方向，千米，在的东南方向，且在的正东方向．（参考数据：，） (1)求的长度；（结果保留小数点后一位） (2)小皆和小能作为志愿者，同时从地出发，小皆沿路线前往地，小能沿路线前往地，已知小皆与小能的速度之比为，出发0.6小时后小皆在由到的途中恰好位于小能的西北方向．求小皆从地出发多少时间后到达地（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)2.5千米 (2)1.4小时 【分析】（1）过B作于E，过C作于F，根据矩形判定与性质得出，，在中，解直角三角形求出、的长度，在中，解直角三角形求出，即可； （2）设出发0.6小时后小皆在由到的位置为M、小能的位置N，过M作于H，根据矩形的判定与性质得出，，在中，解直角三角形求出，设小皆的速度为，小能的速度为，根据列方程为，解出x的值，最后根据时间路程速度求解即可． 【详解】（1）解：过B作于E，过C作于F， 则四边形是矩形， ∴，， 根据题意，得，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，，， 答：的长度约为2.5千米； （2）解：设出发0.6小时后小皆在由到的位置为M、小能的位置N， ∵M在N的西北方向，在的东南方向， ∴， 如图，过M作于H， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵小皆与小能的速度之比为， ∴设小皆的速度为，小能的速度为， ∴， 解得， ∴小皆从地出发到达地所需要的时间为（小时）． 5．（2026·重庆·月考）重庆两江新区麓溪湖绿心公园是新晋网红打卡地，为方便游客游览，工作人员将园内四处主要打卡点抽象为平面内的四个点：A为绿心之环，B为山谷湖景观景台，C为马鞭草花海步道，D为绿心大草坪．已知点B在点A的正东方向，点C在点D的正东方向，点C在点B的西北方向，点D在点A的北偏东方向；绿心之环A到大草坪D的直线距离，绿心之环A到山谷湖景观景台B的直线距离．（参考数据：，） (1)求之间的距离；（结果保留根号） (2)周末小明、爸爸相约在公园游玩，小明从观景台B出发，沿方向匀速前往绿心之环A，爸爸从绿心之环A出发，沿方向匀速前往大草坪D，两人同时出发．已知小明的速度是爸爸速度的2倍，当两人首次相距时，求此时爸爸与绿心之环A的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)小明的爸爸与绿心之环A的距离约为 【分析】（1）先过点C作于点E，过点D作于点F，则，再根据解直角三角形的相关计算，等角对等边，矩形的判定和性质，得到，，由此即可求解； （2）先设两人首次相距时，小明在点M处，小明的爸爸在点N处，过点作于点P，则，设，则，再根据解直角三角形的相关计算得到，，进一步得到，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F， 则，． 根据题意可得，，，，， ，，， ，，． 根据题意可知，， 又， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形， ，， ， ． （2）解：如图所示，设两人首次相距时，小明在点M处，小明的爸爸在点N处，过点作于点P， 则，． 小明的速度是爸爸速度的2倍， 设，则． 由（1）可知，，． ，， ， ． 在中，，， ，， ． 在中，， ， 整理得，， ， ，． 当时，则，，不符合题意，舍去； 当，则，即小明的爸爸与绿心之环A的距离约为． 综上，小明的爸爸与绿心之环A的距离约为． 三角函数综合题型 1．如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B．小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为 【答案】D 【分析】求出当时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D．本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 ∴当时，， 整理得 ， 解得， ∴当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为，选项A的说法是正确，不符合题意； ， 则抛物线的对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B的说法是正确，不符合题意； ， 解得，，， 则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C的说法是正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数刻画， ∴当时，， ∴斜坡的坡度为，选项D的说法是不正确，符合题意； 故选D． 2．（2026·重庆·二模）如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据等角对等边可知，根据可得，根据，可证，根据相似三角形的对应边比例可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 3．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)BM的长度为36.7米 【分析】（1）设 ，根据 与边的关系设出 ，再设 ，在 中利用勾股定理求出 关于 的表达式，最后根据正切函数的定义求出 的值． （2）利用矩形对边相等的性质得到 ，再根据 中 与边的关系求出 的长度． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线EF，连结，如图示：    ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 由题意得：，． 设，则．设， 在中，由勾股定理得：， 解得：． ∴． （2）解：∵的坡度为， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：BM的长度为36.7米． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坡度的概念以及三角函数的应用．解题的关键在于通过作辅助线构造等腰三角形，利用相关性质和定理建立边与角的关系，再结合已知条件逐步求解． 4．问题提出 图1                  图2                             图3 （1）如图1，已知矩形的面积为42，点、分别在边、上，连接，若，，则四边形的面积为__________； 问题探究 （2）如图2，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，过点作，垂足为．求、的长； 问题解决 （3）现要对一块四边形空地进行规划，其示意图如图3所示，其中，，连接，，，在上找点，过点作于点，连接，根据规划在与区域种植花卉，其余区域种植草坪． ①设的长为，和的面积之和为，求与之间的函数关系式； ②种植花卉每平方米需花费0.01万元，种植花卉至少需要总费用多少万元？ 【答案】（1），（2），，（3）①，，②种植花卉至少需要总费用万元 【分析】本题主要考查了解直角三角形，二次函数的应用，勾股定理等知识， （1）先求出，再根据即可作答； （2）先求出，根据垂直平分，，，即可求出，； （3）①根据，可得，即有，则可得，，进而有，再根据，即可求解，②将所得的关系式化为顶点式即可作答． 【详解】（1）∵在矩形中，其面积为42，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴、是直角三角形， ∵， ， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 整理：， ∵， ∴， ∴，， ②∵， ∴当时，面积的最小值为：， ∵种植花卉每平方米需花费0.01万元， ∴最少的费用为：（万元）， 答：种植花卉至少需要总费用万元． 5．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 【答案】(1) (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F.理由如下： 如图，连接， ∵点P到点A的水平距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵山高为，山顶F到点A的水平距离为． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴ ， ∴人眼在点Q处能直接看到山顶F. ②（a） 【分析】（1）如图，以为轴，为轴，建立坐标系，设抛物线为，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，求解，，，求解直线为，计算，进一步结合配方法可得答案； ②（a）如图，连接，过作于，求解，如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即，设，则，可得，可得（a）符合题意；（b）不符合题意；当在段，可得，计算，，时的值，可得（c）（d）都不符合题意. 【详解】（1）解：如图，以为轴，为轴，建立坐标系， ∵，， ∴，，， 设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. （2）解：①略 ②（a）如图，连接，过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即， 设，则，即， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（与重合）， ∴（a）符合题意； （b）由（a）可得在拱桥的段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）（d）当在段， ∵，， ∴ 当时， ， 当时， ， 当时， ； ∴（c）（d）都不符合题意. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $