1.5 三角函数的应用（分层作业）数学北师大版九年级下册

1.5 三角函数的应用 1．（2025·吉林长春·二模）如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 5．（2024·河南信阳·三模）中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（    ）        A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2022年2月4日第24届冬季奥运会在北京举办，某校也开展了丰富多彩的冰雪活动．如图是该校同学参加的冰雪项目学习，小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行，若滑行距离米，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，则他下降的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（21-22九年级上·吉林长春·期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7 m的门框，某人CD高1.8 m，只有当时，他才能开门，那么BD的长为 ．（参考数据：，保留1位小数） 11．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为 米．（结果保留根号） 12．（2025·内蒙古·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 13．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 m． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某厂家新开发的一种电动车如图所示，它的大灯A射出的光线与地面所夹的锐角分别为和，大灯A与地面的距离为，则该车大灯照亮地面的宽度约为 ．（不考虑其他因素，精确到，参考数据：，，，） 15．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 16．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线与地面的夹角分别为和．该大灯照亮地面的宽度为2.1 m，则该大灯距地面的高度约为（参考数据：，，，）（   ） A．1.0m B．1.5m C．2.0m D．2.5m 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川南充·三模）如图，某摩天轮的半径为，轮子的中心距离地面．小伟乘坐的座舱从最低点处上升至点处，若，则点处距离地面 ． 4.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，测量河宽（假设河的两岸平行），在点测得，在点测得．若，则河宽为 m． 6．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 7．（2025·安徽滁州·三模）超速行驶是交通事故的重要原因．合肥市交警在某高速路段进行测速，观测点P位于某古建筑旁，距公路垂直距离为米．一辆新能源汽车由南向北匀速行驶，测得从A处到B处用时秒．已知，，求到的距离，并判断该新能源汽车是否超过该路段千米/小时的限速．（参考数据：，，结果取整数） 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 9．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 10．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． (1)求点A到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）． 11．（2025·山西临汾·二模）手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 12．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 1．（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）． 3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 5．（2025·广西南宁·三模）综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数； (2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 三角函数的应用 1．（2025·吉林长春·二模）如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．根据计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴在中，， ∴米， 故选：A． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：A． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，逐一验证各选项的正确性． 【详解】在中，，则：，，，． 选项A：由，得，而非，故选项A不成立． 选项B：由，两边乘以得，此式恒成立，故选项B正确． 选项C：由，得，而非．若代入，则，化简得，仅当时成立，故选项C不一定成立． 选项D：由，得，而非．若代入，则，化简得，同样仅当时成立，故选项D不一定成立． 综上，只有选项B一定成立． 故选：B 4．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 5．（2024·河南信阳·三模）中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的余弦值解直角三角形可求得的长度，再根据等腰三角形的性质可求的长度． 本题考查解直角三角形的应用和等腰三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【详解】且， ， ， 且， ． 故选C． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2022年2月4日第24届冬季奥运会在北京举办，某校也开展了丰富多彩的冰雪活动．如图是该校同学参加的冰雪项目学习，小嵩乘滑雪板沿斜坡滑雪道直线滑行，若滑行距离米，斜坡滑雪道与水平面的夹角为，则他下降的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．过点作水平面于点，根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点作水平面于点， 在中，，米， ， （米）， 故选：B． 7．（21-22九年级上·吉林长春·期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：； ∴AC=BC÷tanA=米， ∴米． 故选：B． 【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，根据坡比求出AC的长度是解答本题的关键． 8．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来． 【详解】在Rt△ABC中， , 即， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程． 9．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意； B、，原式正确，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项不符合题意； D、，则，原式不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7 m的门框，某人CD高1.8 m，只有当时，他才能开门，那么BD的长为 ．（参考数据：，保留1位小数） 【答案】 【分析】过点作，利用矩形的性质和判定先得到与、与的关系，再利用线段的和差关系求出的长，最后利用直角三角形的边角关系得结论． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，四边形是矩形， ∴，． ∴， 在中， ∵， ∴． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系、矩形的性质和判定是解决本题的关键． 11．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图所示，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，秋千摆至最高位置时与竖直方向的夹角为，且两边的摆动角度相同，那么秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查三角函数求线段长，数形结合是解决问题的关键． 在中，由三角函数列式求解得到，数形结合表示出秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则， 秋千摆至最高位置与摆至最低位置时的高度差为， 故答案为：． 12．（2025·内蒙古·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】750 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 13．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 m． 【答案】 【分析】先在含角的直角三角形中求出的长度，再在含角的直角三角形中利用角的性质求出的长度．本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角的直角三角形性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， （）． 在中，， （）． 故答案为： ． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某厂家新开发的一种电动车如图所示，它的大灯A射出的光线与地面所夹的锐角分别为和，大灯A与地面的距离为，则该车大灯照亮地面的宽度约为 ．（不考虑其他因素，精确到，参考数据：，，，） 【答案】1.4 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过A于点D，分别解，，求出的长，根据线段的和差求出的长即可． 【详解】解：过A于点D，则． 在中，， 在中，， ∴； 故答案为：1.4． 15．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 过点A作，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， 依题意可得， ∴是等腰直角三角形，（海里）， ∴（海里）， 在中，， ∴ （海里）， ∴（海里）， 故答案为： ． 16．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线与地面的夹角分别为和．该大灯照亮地面的宽度为2.1 m，则该大灯距地面的高度约为（参考数据：，，，）（   ） A．1.0m B．1.5m C．2.0m D．2.5m 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，由锐角三角函数的定义得出，，再利用，即可求得． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意，得，， ∴，即， ∴， 故选：B ． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点，，在同一直线上，测得，，．则光线从空气射入水中的折射率的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，勾股定理．过D作于G，则四边形是矩形，利用勾股定理求出，可得，，求解，；代入计算即可． 【详解】解：，，， ， 过D作于G，则四边形是矩形， ，， ， ， ； 折射率． 故选：C． 3．（2025·四川南充·三模）如图，某摩天轮的半径为，轮子的中心距离地面．小伟乘坐的座舱从最低点处上升至点处，若，则点处距离地面 ． 【答案】11 【分析】本题考查了圆的半径，锐角三角函数．过点B作交于C，根据圆的半径可知，根据三角函数求出，即可求出点到地面的距离． 【详解】解：如图，过点B作交于C， ∵摩天轮的半径为， ∴ ∵， ∴， ∵轮子的中心距离地面， ∴点处距离地面， 故答案为：． 4.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，测量河宽（假设河的两岸平行），在点测得，在点测得．若，则河宽为 m． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握并利用三角形的外角性质确定等腰三角形，再结合直角三角形的边角关系求解边长是解题的关键． 本题根据外角性质可得角的关系，结合角的度数，可得，在中，借助三角函数即可解决求的问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为 (2)导气管的长度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 7．（2025·安徽滁州·三模）超速行驶是交通事故的重要原因．合肥市交警在某高速路段进行测速，观测点P位于某古建筑旁，距公路垂直距离为米．一辆新能源汽车由南向北匀速行驶，测得从A处到B处用时秒．已知，，求到的距离，并判断该新能源汽车是否超过该路段千米/小时的限速．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】到的距离为米，该新能源汽车没有超过该路段千米/小时的限速． 【分析】本题考查锐角三角函数，解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 解直角三角形，可得和，作差即可得到的距离，结合题意计算速度，与千米/小时的限速作比较即可． 【详解】解：由题可知，和均为直角三角形，， ∵，米， ∴（米）， ∵，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴从处到处的速度为（千米/小时）， ∵， ∴该新能源汽车没有超过限速， 答：到的距离为米，该新能源汽车没有超过该路段千米/小时的限速． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1)B处到灯塔P的距离为海里 (2)海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【详解】（1）解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． （2）解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 9．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的长约为； （2）解：过点B作交的延长线于D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ， 答：显示屏顶部比原来升高了约． 10．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． (1)求点A到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）． 【答案】(1)约为米 (2)遮阳篷靠墙端离地高的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，如图所示： 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； （2）解：过点A作，垂足为G，如图所示： 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 11．（2025·山西临汾·二模）手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】点到工作台的距离为6.1米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，在和中分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则四边形是矩形，， 米，， ， 在中，， （米）， ， ， 在中，，， （米）， （米）， ， 点到工作台的距离和点到工作台的距离相等． 答：点到工作台的距离为6.1米． 12．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】物体上升的高度约为 【分析】在中，根据求出、的长，再在中，利用锐角三角函数求出的长，根据绳子总长不变可求得的长，最后根据求的长即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，，， ， 即， ， ， ， ， 物体上升的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握各自的性质是解题关键． 1．（2025·湖南株洲·三模）图1是我国古代提水的器具枯槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．当水桶在井里时，．如图2，此支点O到小竹竿的距离是 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，那么水桶水平移动的距离是 米（精确到0.1米）（参考数据：）． 【答案】 / 【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定了，解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数值的计算是关键．如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离，可证四边形是矩形，，，在中，米，米，由勾股定理即可求出此支点O到小竹竿的距离出；如图所示，过点作于点，交于点，根据解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，此时为点到小竹竿的距离， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵米，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 即点到小竹竿的距离为米； 如图所示，过点作于点，交于点， 由（1）可得，米，米，， ∴， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴水桶水平移动的距离米． 故答案为：， 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)米 (2)①；②2 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， 求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米， ∴米 ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米； （2）解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H， ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，， ∴， ∴， ∴r的最大值为2． 3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)； (2)甲先到达点 ． 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，如图： 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图： 在中，， ∴， ∴， ∴甲到达所用的时间为：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴乙到达所用的时间为：， ∵， ∴甲先到达点． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【详解】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2） ，， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 5．（2025·广西南宁·三模）综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数； (2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定和性质，一元一次不等式的应用等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作交与点D，则，由邻补角的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． （2）根据题意可得出，解不等式即可求解． （3）过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，通过解和，分别求出和，然后相减即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作交与点D， 则， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴支架能承受的最大力F为， 则， 解得：， 则小桌板能放置物体的最大质量为． （3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $