精品解析：天津钢管公司中学2026-2027学年高三年级上学期10月月考数学试卷

天津钢管公司中学2026—2027学年度 第一学期质量检测（一） 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 命题“”的否定是___________． 11. 已知分段函数，，则实数________． 12. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为______． 13. 已知，，，则的最小值为______． 14. 若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 15. 已知函数，若方程有三个不等的实数解，则的取值范围是______ 三、简答题 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）若，求的取值范围． 18. 已知函数，当时取得极小值0． （1）求的值； （2）求在的最大值和最小值． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津钢管公司中学2026—2027学年度 第一学期质量检测（一） 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解法化简集合，再由绝对值不等式的解法化简集合，再由交集运算得出答案. 【详解】， 或， 或. 2. ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质、对数函数性质判断A；利用作差判断BC；举例说明判断D. 【详解】由 ，得， 对于A，因为函数在定义域上单调递增，所以，A正确； 对于B，，即，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，取，得，D错误. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性化简，即可求解. 【详解】由可得， 故不能得到，但可以得到，故“”是“”的必要不充分条件. 4. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称列不等式，由此求得. 【详解】因为是奇函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为，函数是奇函数. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求解判断即可. 【详解】根据指数函数的性质知，，即； ，即. 根据对数函数的性质知，，即. 所以，. 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 所以函数至多有一个零点， 又因为，， 所以函数有且仅有一个零点，且零点所在区间是. 8. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用奇偶性的定义与周期性的定义求解. 【详解】. 9. 函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解. 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数的取值范围为. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 命题“”的否定是___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定形式可知，需要将全称量词替换成存在量词，变量的范围保持不变， 所以题中命题的否定为. 11. 已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【解析】 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 12. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后解不等式即可. 【详解】由图象得在和上单调递增，在上单调递减， 即当时，当时， 即当时，解得， 当时，解得， 综上可得不等式的解集为. 13. 已知，，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先化简对数关系式，再利用均值不等式求得最小值. 【详解】因为，所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时取等， 则，即的最小值为. 14. 若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由是幂函数有，结合基本函数的图象，排除掉与轴有交点时的值，即可求. 【详解】因为是幂函数，则，解得或， 若，则，此时的图象与轴没有交点，故成立； 若，则，此时的图象与轴有交点，故不成立； 综上，，即. 故答案为：. 15. 已知函数，若方程有三个不等的实数解，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据为上的增函数且的取值范围为可得在上有且只有一个实数解，故在上有且仅有2个不同的实数解，利用根分布可求的取值范围. 【详解】当时，， 此时为上的增函数且的取值范围为， 故在上有且只有一个实数解， 故在上有且仅有2个不同的实数解， 设，而对称轴， 故即， 故答案为： 三、简答题 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性化简，即可由交集的定义求解， （2）根据，对讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 所以． 【小问2详解】 由，可得． 因为， 所以当时，，解得，满足题意； 当时，解得． 综上，的取值范围为． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数的真数大于0求函数的定义域. （2）利用奇函数的定义证明函数的奇偶性. （3）根据对数函数的单调性结合函数的定义域解不等式. 【小问1详解】 ， 由， 得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 18. 已知函数，当时取得极小值0． （1）求的值； （2）求在的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为0 【解析】 【分析】（1）先对进行求导，再根据题意列式求解即可； （2）利用导数判断函数的单调性即可求出最大值和最小值． 【小问1详解】 ， 由取得极小值0，可知，即， 由时取得极小值，可知，即， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 令，得，或， 2 （2，3） + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当时，有极大值； 所以当时，有极小值0； 又因为， 所以的最大值为2，最小值为0. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数求解函数单调区间即可； （2）通过参数分离构造出新函数，求得新函数的最值得到参数范围即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，， 令，解得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 原不等式代入整理，由于， 两边同除以得.​ 要求“存在使不等式成立”，等价于. 设，求导得，​ 令，得​； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为. 即的取值范围为 20. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. 【解析】 【分析】（1）代入，求出与，再写切线方程. （2）先求并因式分解，再结合对导数符号分类讨论，确定单调区间. 【小问1详解】 当时，，. ，所以. 所以切线方程为. 【小问2详解】 定义域为. . 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 综上可知：当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $