精品解析：天津市第一百中学2025届高三上学期第二次月考数学试卷

高三数学第二次月考 一、单选题 1. 已知集合，，则（   ） A.  B.  C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的部分图象如图，则可能的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 243 B. 244 C. 81 D. 82 6. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________. 11. 在的展开式中，项的系数为________.（用数字作答） 12. 已知，，是不同的平面，，，是不同的直线，下列命题中所有真命题的序号是_____ （1）若，，，则；（2）若，，，则且； （3）若，，，则；（4）若，，，则. 13. 紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______． 14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 15. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为________；若，则的最大值为________. 三、解答题 16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求角的大小； （2）设， （i）求的值； （ii）求的值. 17. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 18. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. （1）求椭圆的标准方程; （2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. （3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 19. 已知数列的前项和公式为，数列满足. （1）求数列的通项公式和； （2）若求数列的通项公式； （3）若数列满足，求. 20. 已知函数，，． （1）若，求的极值； （2）当时，讨论零点个数； （3）当时，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学第二次月考 一、单选题 1. 已知集合，，则（   ） A.  B.  C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可判断. 【详解】解：因为， ，所以. 故选：B. 2. 已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列通项和求和公式可推导得到充分性成立；将代入，可得，进而得到必要性成立，从而得到结论. 【详解】设等差数列的公差为， 由得：，， ， ，即，充分性成立； 由得：，，即， ， 即，必要性成立； “”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数图像性质比较与的大小关系即可. 【详解】根据题意，， ，， 所以. 故选：D 4. 已知的部分图象如图，则可能的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域判断． 【详解】由图可知的定义域为且， 选项A，，则的定义域是，错； 选项B，，因此的定义域是，B错； 选项C，，因此的定义域是，C错； 选项D，若，则的定义域为且，只有D满足题意． 故选：D． 5. 设等比数列的前项和为，且，则（ ） A. 243 B. 244 C. 81 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】由等比中项进行转化，得到公比，再由等比数列的前项和公式得到比值.： 【详解】由等比数列性质可得， 设的公比为，则， 故． 故选：B． 6. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用不同放置方式体积相等，再根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】设当底面水平放置时，液面高为， 依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，， 所以水的体积， 解得. 故选：B. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可. 【详解】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ， 解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得，故正确. 故选：. 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程. 【详解】设双曲线焦距为，则、， 不妨设渐近线的方程为，如图： 因为直线与直线垂直，则直线的方程为， 联立可得，即点， 所以，， 因为，所以， 又，故， 所以， ， 整理可得， 所以，又， 所以， 故该双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 9. 已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得在上的取值范围要包含上的取值范围，分别求函数在，上的取值范围，列不等式可求结论. 【详解】若，，使成立， 则在上的取值范围要包含上的取值范围， 当时，，， 当时，，， 当时，，不合题意， 当时，，函数在单调递增， 则时，， 符合题意， 当时，我们进行如下讨论， 若时，，函数在单调递减， 若时，，函数在上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值为， ， 所以，解得，所以， 综上的范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件，，使成立，转化为在上的取值范围要包含上的取值范围. 二、填空题 10. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得， 故答案为：. 11. 在的展开式中，项的系数为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据展开项的通项公式求解出的值，代入求解出可知项的系数. 【详解】展开项的通项公式为，， 令，解得， 所以， 所以项的系数为， 故答案为：. 12. 已知，，是不同的平面，，，是不同的直线，下列命题中所有真命题的序号是_____ （1）若，，，则；（2）若，，，则且； （3）若，，，则；（4）若，，，则. 【答案】（2）（4） 【解析】 【分析】根据空间位置关系的判定定理及性质定理直接判断. 【详解】对于（1）由已知，，，存在直线，满足，此时不成立，（1）错误； 对于（2）由，，则，又，即，，则且，（2）正确； 对于（3）若，，，则或与异面，（3）错误； 对于（4）若，，，则，（4）正确. 故答案为：（2）（4）. 13. 紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：根据全概率公式即可得到答案；空2：设事件，再利用条件概率即可得到答案. 【详解】根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为： ； 设事件“失踪的飞机后来被找到”， 事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，则， ，，， 安装有紧急定位传送器的飞机失踪， 它被找到的概率为： ， 故答案为：；． 14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得，    则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 15. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为________；若，则的最大值为________. 【答案】 ①. ②. ； 【解析】 【分析】对于第一问，根据向量的加法、减法以及中点的性质，逐步将用和表示出来.对于第二问，先求出，再利用向量数量积公式（这里是与的夹角），结合已知条件求出的表达式，再求其最大值. 【详解】（1）(1)因为点D为AB的中点，所以. 又因为，根据向量加法，可得. 因为点E为CD的中点，所以，即. 再根据向量加法，可得. （2）因为，，所以. . ， 在中，，根据向量数量积公式， 可得.由， 根据余弦定理， 即. 根据基本不等式，可得，即. 将代入的表达式： 因为，，取得最大值，最大值为. 故答案为：；. 三、解答题 16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知. （1）求角的大小； （2）设， （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角的范围可求得答案； （2）（i）运用余弦定理求得；（ii）再运用正弦理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及两角差的正弦公式可求得答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为，所以，， 故； 【小问2详解】 （i）由（1）知：，在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则. （ii）在中，由正弦定理可得：， 即，所以， 因为，所以，则为锐角，所以， 则， ， 所以 17. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 【答案】（1）证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE. （2） （3） 【解析】 【分析】本题可通过建立空间坐标系求解． 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ＝(1，－2，－1)． 设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)， 则,即 消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2,1)． 由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量． 于是cos〈，〉＝＝＝－，从而sin〈，〉＝， 故二面角B1－CE－C1的正弦值为. 【小问3详解】 ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)． 设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量． 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 sinθ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝. 于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)， ∴AM＝. 18. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. （1）求椭圆的标准方程; （2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. （3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 【答案】（1）； （2）是， （3）和 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得的值，进而分析可得，由公式求出，代入椭圆方程即得； （2）根据题意，设直线PM方程，将其与椭圆方程联立，由根与系数的关系得的坐标，利用PM与PN的关系，得的坐标，然后利用斜率的计算公式化简计算即得. （3）由原点到直线的距离及弦长公式可求出面积，利用二次函数求出最值即得直线的方程. 【小问1详解】 由题意可知椭圆的半焦距， 由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得， ， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由已知得， 由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数， 可设直线的方程为， 代入，消去得. 设， 所以，可得， 因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数， 所以在上式中以代替，可得， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值. 【小问3详解】 由（1）已得， ,可设直线的方程为：， 代入，整理得：， 则，即， 设，则， 于是，， 点到直线的距离为， 则的面积为： ， 因，则，故当时，取得最大值， 此时直线的方程为, 即和. 19. 已知数列的前项和公式为，数列满足. （1）求数列的通项公式和； （2）若求数列的通项公式； （3）若数列满足，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，再由可求出通项，然后由前项和公式求出即可； （2）用错位相减法求出即可； （3）结合已知数列的通项将所求，代入求出即可； 【小问1详解】 由，可得， 当时，对也成立， 所以； 因，， 故 【小问2详解】 ， ， 即有， 则，， 上面两式相减可得 ， 可得. 【小问3详解】 ， ， 两式作差可得， 所以， 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够理解数列的通项公式，然后将所求转化为求解即可. 20. 已知函数，，． （1）若，求的极值； （2）当时，讨论零点个数； （3）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值，无极小值 （2） 当时，无零点； 当时，有1个零点， 当时，有2个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出极值； （2）对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出最小值，设，再根据导数确定的正负，结合，当时，，即可得出零点情况； （3）将问题转化为，当时，，设，根据导数确定单调性，再根据当时，，所以，即可求解． 【小问1详解】 当时，，则， 令，解得， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以有极大值，无极小值． 【小问2详解】 ， 令，则，因为，所以， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 设，则， 因为，所以，所以在单调递减， 又因为， 所以当时，，则，无零点； 当时，，有1个零点， 当时，，又，当时，，有2个零点． 【小问3详解】 ， 因为时，， 所以， 两边同时取自然对数得，， 当时，成立， 当时，，则， 设， 则， 设， 则， 设， 则， 设， 则，所以在单调递增， 又，所以， 所以，则在单调递增， 又，所以， 所以，则在单调递增， 又，所以， 所以，则在单调递增， 又当时，，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $