1.1锐角三角函数（分层作业·能力进阶+思维拔高，9大题型）数学新教材北师大版九年级下册

分层作业 1.1 锐角三角函数 B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 B组 能力进阶 题型01 由正弦、余弦、正切的值求坐标 题型02 在方格纸中的三角函数 题型03 有理数与无理数的有关判断 题型04 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 题型05 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型06 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型07 同角的三角函数的关系 C组 思维拔高 题型01 锐角三角函数的几何运用 题型02 特殊角三角函数值的综合运用 由正弦、余弦、正切的值求坐标题型01 1．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与x轴正半轴的夹角为，点P在射线上，如果且，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____．    在方格纸中的三角函数题型02 1．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）若在正方形网格纸的位置如图所示，点，，均在格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在格点上，则_____． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为___________． 5．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使． (2)在图②中画一个钝角，使． (3)在图③中画一个锐角，使． 有理数与无理数的有关判断题型03 1．下列各数：（两个3之间0的个数依次增加1个），其中无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状题型04 1．在中，已知，均为锐角，且有，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．在中，、为锐角，且，是方程的实数根，则这个三角形是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 3．（25-26九年级上·四川·月考）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 根据特殊角三角函数值求角的度数题型05 1．如果sinα =，那么锐角α =_____. 2．（25-26九年级上·山东东营·联考）已知是锐角，若，则的值为______． 3．已知为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，则的大小为___________． 4．求下列等式中锐角的度数． (1)； (2)． 5．已知为锐角，且，求的度数． 根据三角函数值判断锐角的取值范围题型06 1．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 3．红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角（    ） A．小于30° B．大于30°且小于45° C．等于30° D．大于45°且小于60° 4．若锐角满足，则的取值范围是 _____． 5．已知，则锐角的取值范围是________． 同角的三角函数的关系题型07 1．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．若是锐角，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）_______． 4．（24-25九年级上·河南周口·月考）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 5．在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 锐角三角函数的几何运用题型01 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 2．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 5．如图，在中，． (1)作的平分线，交于点E，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求点E到线段的距离． 特殊角三角函数值的综合运用题型02 1．如图，在中，．若D是边上的动点，则 的最小值是________． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为___________． 3．如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么的度数是________． 4．如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 锐角三角函数 B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 B组 能力进阶 题型01 由正弦、余弦、正切的值求坐标 题型02 在方格纸中的三角函数 题型03 有理数与无理数的有关判断 题型04 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状 题型05 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型06 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型07 同角的三角函数的关系 C组 思维拔高 题型01 锐角三角函数的几何运用 题型02 特殊角三角函数值的综合运用 由正弦、余弦、正切的值求坐标题型01 1．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 2．已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与x轴正半轴的夹角为，点P在射线上，如果且，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数；过点P作轴于点H，根据“锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦”可得，再由勾股定理求出，即可． 【详解】解：如图，过点P作轴于点H， ∵且， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标是． 故选：B 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长，过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴，则： ∴，即：， ∴； 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 _____．    【答案】 【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， ∵， ∴， 过点作于点，    ∵，是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 设，则， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 在方格纸中的三角函数题型02 1．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）若在正方形网格纸的位置如图所示，点，，均在格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，以及正方形网格纸特点，记正方形网格纸边长为，得到，，再根据正切的定义求解，即可解题． 【详解】解：记正方形网格纸边长为， 有， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 取格点，求出后，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知，， 在中，． 故选：． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在格点上，则_____． 【答案】 【分析】如图，取格点，连接．利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题． 【详解】解：如图，取格点，连接． 易知，，， ， ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 4．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，格点三角形的面积和勾股定理，掌握格点中三角形面积的计算方法是解题关键． 作，垂足为H，取格点、、，先利用网格计算出的面积，然后结合三角形面积算出高的长．用勾股定理算出和的长，根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为H，取格点、、， ， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， 在直角中，， ∴． 故答案为：． 5．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使． (2)在图②中画一个钝角，使． (3)在图③中画一个锐角，使． 【答案】(1) 如图：即为所求， (2) 如图②、图③、图④，即为所求， (3) 如图⑤，即为所作， 【分析】本题考查了利用网格作图，正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用网格作，，则； （2）利用网格特点，结合，为钝角三角形，作图即可； （3）利用网格特点，结合，为锐角三角形，作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：取格点，连接， 由勾股定理可得：，，， ∴，，， ∴为直角三角形， ∴． 有理数与无理数的有关判断题型03 1．下列各数：（两个3之间0的个数依次增加1个），其中无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，特殊角的三角函数值，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：是无理数，是有理数，是有理数，是有理数，（两个3之间0的个数依次增加1个）是无理数， ∴无理数有2个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 由正弦、余弦、正切的值判断三角形的形状题型04 1．在中，已知，均为锐角，且有，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用非负数的性质与特殊锐角的三角函数值，求出各角度数后判断三角形形状． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∵ 、均为锐角， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形 2．在中，、为锐角，且，是方程的实数根，则这个三角形是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】首先进行对方程求解，再根据，的值运用三角函数以及题目中所强调的、为锐角进行度数转换，最终判断三角形形状. 【详解】由题得，解得==；因为，的值是方程的实数根；所以；又因为、为锐角，所以=30=60，则该三角形为直角三角形. 故答案选B. 【点睛】本题主要考查了对于一元二次方程的求解以及基础三角函数与度数的转换，熟练掌握并仔细斟酌题意即可. 3．（25-26九年级上·四川·月考）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 4．如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形，三角函数，勾股定理的逆定理．直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． 【详解】A、，，，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意； B、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意； C、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确； D、，，，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误； 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 根据特殊角三角函数值求角的度数题型05 1．如果sinα =，那么锐角α =_____. 【答案】30° 【分析】根据三角函数的值，求角的度数. 【详解】∵sin30°= ， ∴α=30°， 故答案为：30°. 【点睛】本题考查三角函数.确定所求的角是锐角是解题的关键. 2．（25-26九年级上·山东东营·联考）已知是锐角，若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 3．已知为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，则的大小为___________． 【答案】45 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根可得，再结合题意可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程有相等的实数根， ， 即， 为锐角， ， 解得 ． 4．求下列等式中锐角的度数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理等式求出的值，对照特殊锐角的三角函数值得到的度数． （2）整理等式求出的值，对照特殊锐角的三角函数值得到的度数． 【详解】（1）解：， 移项得 ， 化简得 ， ∵是锐角， ∴． （2）解：， ， 化简得 ， ∵是锐角， ∴． 5．已知为锐角，且，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值，解特殊角的三角函数方程是解题的关键． 先根据因式分解法解一元二次方程，再根据特殊角的三角函数值求锐角即可求解． 【详解】解：设，则，即， 解得，即或． 为锐角， 或． 根据三角函数值判断锐角的取值范围题型06 1．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 2．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴45°﹤α﹤90° ∵，且 ∴0°＜α＜60° ∴45°＜α＜60°． 故选：B． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 3．红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角（    ） A．小于30° B．大于30°且小于45° C．等于30° D．大于45°且小于60° 【答案】B 【分析】过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，再利用锐角三角函数的增减性进行判断进而得到结论． 【详解】如图，过作于 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质锐角三角函数的定义以及性质，熟练掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键． 4．若锐角满足，则的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 5．已知，则锐角的取值范围是________． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 同角的三角函数的关系题型07 1．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 2．若是锐角，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数．根据三角函数的定义和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图，，    则：， ∵， ∴；故A正确； ∵， ∴；故B错误； ∵， ∴；故C错误； ∵， ∴；故D错误； 故选：A． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）_______． 【答案】1 【分析】根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键． 根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 根据三角函数值定义：， ， 在中，， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河南周口·月考）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 锐角三角函数的几何运用题型01 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 2．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠C=∠D=90°， 由折叠得AF=AD=BC=10，∠AFE=∠D=90°， 在Rt△ABF中，有AB=8，AF =10， ∴BF==6， ∵∠B=∠C=∠D=90°， ∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠EFC=tan∠BAF=． 故选A． 【点睛】考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．锐角三角函数的定义． 3．（25-26九年级·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、求正弦等知识．设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为，根据正方形的边长求出,用勾股定理求出矩形的对角线长，根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为， 由题意可知，, ∴, ∴矩形的对角线长为， ∴， 故选：A 4．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果sinA＝，求的值． 【答案】 （1）∵BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高 ∴ 又∵ ∴ ∴，即 又∵ ∴ （2） 【分析】（1）先求证，得到，再根据，即可求证； （2）根据三角函数的定义以及关系，求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）在，， 由锐角三角函数关系可得：，即 由（1）得， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键． 5．如图，在中，． (1)作的平分线，交于点E，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求点E到线段的距离． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 【分析】（1）根据角平分线的作法即可得出答案． （2）过点E作于点F，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点E作于点F， ∵为的平分线且， ∴， 在中， ∵，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 即点E到线段的距离为． 【点睛】本题考查了角平分线的作法和性质，正确做出辅助线是解题关键． 特殊角三角函数值的综合运用题型02 1．如图，在中，．若D是边上的动点，则 的最小值是________． 【答案】6 【分析】本题考查了正切，正弦，垂线段最短等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 由题意得，如图，作，使，过作于，过作于，则，，，可知当三点共线且时，最小，为，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 如图，作，使，过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴当三点共线且时，最小，为， ∴， 故答案为：6． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，二次函数求最值，熟练掌握三角函数是解题的关键； 设，根据，可得，根据，利用二次函数求最值即可求解． 【详解】解：设， ， 的最大值为：， ， ， ， 则， ， ， 当时，的面积取得最大值为：； 故答案为： 3．如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么的度数是________． 【答案】 【分析】设，，根据两个正方形的面积关系求出，连接交于点E，证明，表示出，进而求出，可得，结合可得答案． 【详解】解：设，， 则正方形的面积，正方形的面积， 正方形的面积是正方形面积的一半， ， 整理得：， ， ， 解得（舍），， ， 如图，连接交于点E， ，， ， ， ， ， ， 又正方形中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，特殊角三角函数，解一元二次方程等，有一定难度，求出是解题的关键． 4．如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长． 【答案】 【分析】过A作，在中，因为，，得到，，在中，由，得到，从而得到，再结合垂直平分，得到，，在中，根据，得到，进而根据图形上线段关系得到． 【详解】过A作，垂足为点H，如图所示： 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角函数求线段长问题，涉及含角的直角三角形性质、正切函数、垂直平分线的性质、余弦函数等知识，熟练掌握三角函数求线段长是解决问题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $