1.1锐角三角函数（分层作业·巩固过关，21大题型）数学新教材北师大版九年级下册

分层作业 1.1 锐角三角函数 A组|理解层级|巩固过关 目 录 A组 巩固过关 题型01 正切的概念辨析 题型02 求角的正切值 题型03 已知正切值求边长 题型04 锐角三角函数计算的实际情景问题-坡度坡比 题型05 正弦的概念辨析 题型06 求角的正弦值 题型07 已知正弦值求边长 题型08 余弦的概念辨析 题型09 求角的余弦值 题型10 已知余弦值求边长 题型11 互余两角三角函数的关系 题型12 求30°，45°，60°角的三角函数值 题型13 特殊角三角函数值在几何中的简单应用 题型14 特殊角三角函数值的混合运算 题型15 根据三角函数值求代数式的值 题型16 利用特殊角三角函数值进行化简求值 题型17 锐角的三角函数的增减性 题型18 已知角度比较三角函数值的大小 题型19 用计算器求锐角三角函数值 题型20 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 题型21 锐角三角函数计算的实际情景问题-仰角俯角 正切的概念辨析题型01 1．（2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 2．在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（ ）． A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 【答案】D 【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变． 【详解】∵中，如果每个边都缩小为原来的， ∴锐角A的对边与邻边的比值不变， ∴锐角A的正切值不变． 故选D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值是直角三角形边长比，取值由角的大小决定． 3．在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦，记作．锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 根据三角函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：∵在中，，所对的边分别为a、b、c， ∴，故A选项成立，不符合题意； ，故B选项成立，不符合题意； ，故C选项成立，不符合题意； ，故D选项不成立，符合题意． 故选D． 4．如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 5．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 【答案】当确定时，正弦值确定，余弦值确定，正切值确定． 【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的； 在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的． 在中，．当确定时，它的正切值是随之确定， 理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键． 求角的正切值题型02 1．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键． 根据正切的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，若，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正切值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴根据锐角正切的定义，， 又∵， ∴， 故选：D． 3．在△中，，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出BC，再利用三角函数即可求解. 【详解】在△中，，，， ∴BC= ∴= 故选C. 【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知三角函数的定义. 4．（25-26九年级·质检）如图，在中，，，垂足为D，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求正切值，等角的余角相等． 根据等角的余角相等得到，求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵，，， ∴． 故选：D． 5．如图，锐角中，，的面积为27．求的值． 【答案】 【分析】过点A作于点H，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】如图，过点A作于点H， ∵， ∴， ∴， 又∵， 在Rt△ABH中， 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查与高有关的面积计算，勾股定理，锐角三角函数，掌握与高有关的面积计算，勾股定理解三角形，锐角三角函数定义是解题关键． 已知正切值求边长题型03 1．已知在中，，，，则等于（　　） A．6 B．16 C．12 D．4 【答案】D 【分析】根据题意作图，由正切值的定义可得，，结合已知条件，，，即可求得的值． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正切值的定义，根据题意作图并正确理解正切值的定义是解题的关键． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，利用锐角三角函数的定义，根据正切函数求对边即可. 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 3．已知中，，，，则等于（　　） A．6 B． C．10 D．8 【答案】C 【分析】直接利用锐角三角三角函数关系得出BC的长，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： ，， ， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角三角函数关系及勾股定理解三角形，正确画出图形是解题关键． 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）是直角三角形，，，则的长为_______． 【答案】2或 【分析】本题考查了正切的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是_____ 【答案】2.4 【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD=，得到tan∠B==，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形面积的公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵tan∠ACD=， ∴tan∠B==， 设AC=3x，BC=4x， ∵AC2+BC2=AB2， ∴（3x）2+（4x）2=52， 解得x=1， ∴AC=3，BC=4， ∵S△ABC=AB×CD=AC×BC， ∴CD==2.4， 故答案为2.4． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 锐角三角函数计算的实际情景问题-坡度坡比题型04 1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，已知斜坡，且，则斜坡的坡比指的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坡比的定义，根据坡比是指在水平距离上，上升或下降的高度与水平距离的比值求解即可． 【详解】解：∵已知斜坡，且， ∴斜坡的坡比指， 故选：D 2．如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解． 【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 3．（25-26九年级上·期末）如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为___________． 【答案】26 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数是解题关键． 根据题意，可求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 故答案为：26． 4．（2026·海南·二模）有一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为． (1)求新坡面的坡角； (2)原天桥底部正前方7米处（的长）有一文化墙，若新坡面下处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为）． 【答案】(1) (2)解：需要拆除．理由如下： 如图，过点C作的延长线于点D， ∵坡面的坡度为， ∴， ∵新坡面的坡度为， ∴， ∴米， ∴米， ∴， ∴原天桥底部正前方7米处（的长）的文化墙需要拆除． 【分析】（1）如图，过点C作的延长线于点D，结合坡度与三角函数可得答案． （2）如图，过点C作的延长线于点D，再分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点C作的延长线于点D， ∵新坡面的坡度为， ∴， ∴． （2）略 5．（2026·安徽·模拟）如图，某市畅通二环一座人行天桥的引桥的截面图，其中桥面为，引桥的水平宽度，，，，，的坡比为，求引桥高的长度．（参考数据，，） 【答案】引桥高的长度为 【分析】如图，解求出、，进而求出，根据坡比求出，然后根据即可求解． 【详解】解：作，，垂足分别为F，G，延长交于点H，则， 在中，， ． ， ， 的坡比为， ， ． 答：引桥高的长度为． 正弦的概念辨析题型05 1．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦等于对边比斜边列式即可得解． 【详解】解:由图可知, = 故答案选:B 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，是基础题． 2．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 3．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案． 【详解】，， ， ， ； 故正确的是B选项； 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键． 4．若为锐角，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解一元一次不等式，根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解，理解锐角的正弦值的范围，从而转化为解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．已知（为锐角），满足方程，则________． 【答案】 【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根据锐角三角函数的正弦值取值范围，筛选的值代入即可解题． 【详解】 （为锐角）， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 求角的正弦值题型06 1．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，计算即可； 【详解】解：在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ， ． 2．（25-26下·辽宁沈阳·月考）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵高长为10米，斜道长为30米， ∴． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，求正弦值，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再运用勾股定理，则，即可作答． 【详解】解：如图：过点B分别作轴，作轴， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 4．如图，在中，，平分，，，则__________． 【答案】 【分析】过点作于，利用角平分线的性质得到，再在中用正弦定义求． 【详解】解：过点作于 ∵平分，， ∴ 在中， ∵， ∴． 5．如图，在中，，，．试求出的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】由勾股定理可得，再结合正弦、余弦、正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 已知正弦值求边长题型07 1．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长， 故脚尖与脚后跟的高度差为， 故选：C． 2．如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 【答案】D 【分析】根据求出，再根据垂线段最短求出的最小值，然后得到的取值范围，从而得解． 【详解】解：∵在中，，，， 又∵， ∴， ∴的长不能大于， 根据垂线段最短，则的长不能小于， ∴， 故选：D． 3．中，，，，则____． 【答案】6.5 【分析】直接利用锐角三角函数关系进而得出AB的值． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=， ∴， ∴AB=6.5． 故答案为6.5． 【点睛】锐角三角形正弦（sin）等于对边比斜边；=，正确掌握边角关系是解题关键． 4．如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键． 由题意可得，进而解答，然后求出即可． 【详解】解：由题意可知： ∵， ∴，即，解得：， ∴木杆折断之前高度为． 故答案为． 5．如图，在四边形中，，相交于E，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)10 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，对顶角性质，根据正弦值求边长． （1）直接根据有两角相等证明，再根据相似三角形的性质得出结论； （2）由正弦概念可得，再证明，得出，代入，即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 余弦的概念辨析题型08 1．如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴，，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 2．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，根据锐角三角函数的定义表示出、、、，问题即可解答． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 由锐角三角函数的定义可知，，， ∴，，，， ∴选项B的结论不正确，符合题意． 故选：B． 4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键． 求角的余弦值题型09 1．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 2．如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）在半径为1的圆上，则cosα＝（　　） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据余弦函数的定义即可得出结论． 【详解】如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ=x，PQ=y，OP=1，∴cosα==x． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握余弦函数的定义． 3．（24-25九年级上·福建漳州·质检）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个工匠同时握住绳子的第个结和第个结，两个助手分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，余弦的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 故选：B ． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出． 【详解】解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，，，，，将绕点C逆时针旋转角得到，连接、．当时，________． 【答案】 【分析】本题考查了余弦、旋转的性质等知识，熟练掌握余弦的定义是解题关键．先根据旋转的性质可得，，再根据平行线的性质可得，然后根据余弦的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 已知余弦值求边长题型10 1．（25-26九年级·福建漳州·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，理解余弦的定义是解题的关键．根据余弦的定义回答即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．由直角三角形斜边上中线的性质可求得，再由余弦定义即可求得结果． 【详解】解：∵D 、E分别是边的中点，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 3．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长． 【详解】解：作AD⊥BC于点D， 则BD＝＋0.3＝， ∵cosα＝， ∴cosα＝， 解得，AB＝米， 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．如图，在中，，于点D，，，那么_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 5．在中，，分别是，，的对边． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知直角边和斜边的长，可以利用的余弦即可求解； （2）根据余弦是邻边与斜边的比，已知斜边的长，由比例的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，， ∴， 根据特殊角的三角函数可知，； （2）解：如图所示， ∵，，即， ∴． 【点睛】本题主要考查利用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键． 互余两角三角函数的关系题型11 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦和余弦的定义解答即可. 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝，cosB＝，∴cosB＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，属于应知应会题型，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题关键. 2．（26-27九年级上·山东淄博·学情自测）若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 3．若，且，则________． 【答案】 【分析】观察可得已知角与所求角的和为，利用互余角的三角函数关系即可求解． 【详解】解：， ． 根据互余角的三角函数性质：． 可得． ， ． 4．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【分析】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【详解】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： 5．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 求30°，45°，60°角的三角函数值题型12 1．与的结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算题干中三角函数式的值，再分别计算各选项的三角函数值，即可求解． 【详解】解：，， A、，，故选项A符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C不符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的余弦函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 【详解】解：在中， 则 故选：A ． 3．用特殊角的三角函数填空： ______=______；______=______；1=______；______． 【答案】 【分析】只需熟记，，的三角函数值，对应匹配即可． 【详解】解：根据特殊锐角的三角函数值推导如下： ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 特殊角三角函数值在几何中的简单应用题型13 1．在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质和已知条件判断△ABD为等边三角形，可得∠BAD=60°，由特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD． ∵AB=BD， ∴AB=AD=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD=60°． ∴sin∠BAD=sin60°=． 故选C． 【点睛】本题涉及到菱形及等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，具有一定的综合性，但难度适中． 2．如图，在中，，，，则的长为_____．    【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 3．（2025·青海·模拟）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标，点到轴的距离，等腰三角形的性质，三角函数定义的应用及分类讨论思想．解题的关键是根据点P在y轴上的位置（可能在B点上方或下方），分别计算的长度． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ． ①当点在点下方时，， , ②当点在点上方时，， , 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 4．如下图，在中，．已知的面积为．求： (1)的三角函数值． (2)的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）通过平行四边形的面积求出线段，再通过勾股定理求出线段，根据三角函数公式求出的三角函数值； （2）通过特殊角的函数值求出，再通过平行线的性质求出的度数. 【详解】解：（1）， ， ． 在中，， ， ， ． （2）， 【点睛】本题通过题目提供信息考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，读懂题目信息是解题的关键． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，．求边的长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是含的直角三角形的特征、解直角三角形、勾股定理，解题关键是熟练掌握解直角三角形．过作，先由含的直角三角形的特征得到，，再由解直角三角形可求出，最后根据勾股定理即可得出边的长． 【详解】解：过作，垂足为，如图： ，，， ， ， 即， ， ． 特殊角三角函数值的混合运算题型14 1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意； B、，原式正确，故该选项不符合题意； C、，原式正确，故该选项不符合题意； D、，则，原式不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 根据的正弦值，的余弦值，的正切值计算即可． 【详解】解： ． 3．（25-26上·上海·月考）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的运算以及分母有理化，还有四则运算的顺序．熟练掌握特殊三角函数值、分母有理化的方法以及四则运算规则是解题的关键． 本题是一个包含特殊三角函数值的混合运算题，解题思路是先分别将各个特殊三角函数值代入原式，然后按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】解： ． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数次幂和二次根式的性质． 根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数次幂和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 根据三角函数值求代数式的值题型15 1．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 2．若，是关于x的方程的两个实数根，则（    ） A． B．3 C． D．3或 【答案】C 【分析】利用根与系数的关系得出，进而得出，将代入一元二次方程求出方程的根即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根， ∴，解得：， 即：，则， 解得，， ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数的取值范围及一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：，． 3．（25-26九年级上·上海·期末）已知 (为锐角)，则 ___________ 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 故， 将代入，原式． 故答案为：． 4．在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，求sinA﹣sinB的值． 【答案】± 【分析】根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解． 【详解】∵sinA+sinB=， ∴（sinA+sinB）2=， ∴sin2A+sin2B+2sinAsinB=， ∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90° ∴sinB=cosA， ∴sin2A+cos2A+2sinAsinB=， ∴2sinAsinB=， ∴（sinA﹣sinB）2=1﹣=， ∴sinA﹣sinB=±． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及互余两角的关系，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键． 利用特殊角三角函数值进行化简求值题型16 1．若，则_______． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出，再代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 3．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】先根据整式乘法、分式混合运算规则化简原式，再通过三角函数值和零指数幂的运算求出的值，最后结合分式有意义的条件确定的取值并代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ∵， ， 由分式有意义得，，，， ∴， ， 当时，原式． 锐角的三角函数的增减性题型17 1．（2025·广东惠州·模拟）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 2．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 3．已知锐角A与锐角B的余弦值满足，则与的大小关系是：_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 据此求解即可． 【详解】解：∵锐角A与锐角B的余弦值满足， ∴， 故答案为． 4．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 5．如图①、图②，锐角的正弦和余弦都随着锐角的度数的确定而确定，也随着其变化而变化． (1)试探索随着锐角度数的增大，正弦值和余弦值的变化规律，并说明理由． (2)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，直接比较下列正弦值和余弦值的大小：． 【答案】(1) 随着锐角度数的增大，正弦值逐渐增大，余弦值逐渐减小，理由如下： 如题图①，假设，则． 即． 如题图②，，． 即． (2) 【分析】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律以及正余弦的转换方法． （1）根据锐角三角函数的概念，即可发现随着一个锐角的增大，它的对边在逐渐增大，它的邻边在逐渐减小，故正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，且正弦值随着锐角度数的增大而增大， ∴， 即． 已知角度比较三角函数值的大小题型18 1．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 2．比较大小：_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦的性质， 根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小即可得结论． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：. 3．（25-26九年级上·江苏常州·月考）比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 < = 【分析】本题考查了锐角三角函数；余弦函数与正弦函数有互余关系：，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大， ∵， 因此； 依题意，， 故答案为：<，= 4．将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数比较大小，根据“”将题干三角函数统一，然后根据“锐角的余弦值随角增大而减小”比较大小按要求排列即可. 【详解】解：， 当为锐角时，的值随的增大而减小， ； 故答案为：． 5．（24-25九年级上·北京·期中）以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 【答案】 【分析】本题考查了正弦、余弦和正切的定义及角度正弦、余弦、正切值的大小比较，先将进行转化，分别将，与进行比较，从而得出三者关系，再将和进行比较，得出二者关系，最后比较和发现前者小于1，后者大于1，从而得出最终比较结果． 【详解】解：， ∵， ∴， 又∵， 而在余弦中，角度越大，余弦值越小， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 用计算器求锐角三角函数值题型19 1．若用我们数学课本上的科学计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查科学计算器的操作，掌握计算含分秒角度的正弦值时，正确使用键输入角度的按键顺序是解题的关键． 根据科学计算器计算角度的正弦值的操作规则，判断每个选项的按键顺序是否正确． 解：计算时，需先将角度的分转化为计算器可识别的格式，通常科学计算器中输入带分的角度需使用键． A、无 按键操作，错误，不符合题意； B、仅输入一次，未完成角度格式输入，错误，不符合题意； C、按键顺序符合科学计算器输入并计算正弦值的操作，正确，符合题意； D、键使用错误，无需此操作，错误，不符合题意． 故选：C． 2．如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算器三角函数，掌握是解题的关键．根据正切的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 正确的按键顺序为 故选D 3．用计算器求得 _____________（精确到 ）． 【答案】2.14 【分析】按照计算器的使用方法按按键求出正切值即可． 【详解】先按ON开机，再按tan，再按65，再按= 根据显示的结果精确到0.01得到2.14 故答案为2.14． 【点睛】本题考查利用计算器求三角函数，掌握正确的计算器使用方法是本题关键． 4．用科学计算器计算_____ 【答案】 【分析】首先根据黄金分割及角的正弦值，即可求得与的值，再比较大小即可求解 【详解】解：，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割及求角的正弦值，无理数大小的比较， 5．利用计算器求下列三角函数值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 给出三角函数值，用计算器求锐角度数题型20 1．已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先按 键． 【详解】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先按键， 故选：. 【点睛】本题考查了计算器按键的作用，熟练掌握计算器功能键的作用是解题关键. 2．在中，，，，用科学计算器求约等于 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系，求出的正弦值，运用计算器计算求出的度数，再转换角度形式即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴运用计算器计算可得到， ∴． 3．如果，则____(精确到) 【答案】 【分析】本题考查用计算器求已知锐角三角函数值求锐角．熟练掌握用计算器求已知锐角三角函数值求锐角的按键方法是解题的关键． 首先按键，再按键，再输入0.8888，再按即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 4．等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为__________．（用科学计算器计算，结果精确到） 【答案】 【分析】过等腰三角形顶角顶点作底边的高，构造直角三角形，利用锐角三角函数得到底角的余弦值，再用科学计算器计算出底角度数． 【详解】解：设等腰中，腰，底，底角为, 过点作于点, ∵是等腰三角形，， ∴． 在中，， 用科学计算器计算可得，． 5．已知下列锐角α的各三角函数值，利用计算器求锐角α（精确到）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先分别将数值输入计算器求出，再将度化成分，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 锐角三角函数计算的实际情景问题-仰角俯角题型21 1．（2025·河北邢台·三模）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 【答案】D 【分析】本题主要考查了仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答． 【详解】解：根据仰角与俯角的概念，可知从点观测点的仰角是， 从点观测点的俯角是， 故选：D． 2．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 3．（25-26九年级·期末）如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为____________________ 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形． 如图所示，过点作，则四边形为矩形，米，米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， 则四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 4．为了弘扬“社会主义核心价值观”，区政府在广场上竖立了如图所示的公益广告牌，并在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D到达广告牌立柱的距离为5米，从点D测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别为和，求广告牌的高度． 【答案】米 【分析】根据已知和，求出，根据，求出，根据求出． 【详解】解：在中，，米． ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∴米． 答：广告牌的高度为米． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边及，构造方程关系式，进而即可求出答案． 【详解】解：由已知，可得：，， 在中，． 又在中， ∴ ∵ ∴ ∵ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 锐角三角函数 A组|理解层级|巩固过关 目 录 A组 巩固过关 题型01 正切的概念辨析 题型02 求角的正切值 题型03 已知正切值求边长 题型04 锐角三角函数计算的实际情景问题-坡度坡比 题型05 正弦的概念辨析 题型06 求角的正弦值 题型07 已知正弦值求边长 题型08 余弦的概念辨析 题型09 求角的余弦值 题型10 已知余弦值求边长 题型11 互余两角三角函数的关系 题型12 求30°，45°，60°角的三角函数值 题型13 特殊角三角函数值在几何中的简单应用 题型14 特殊角三角函数值的混合运算 题型15 根据三角函数值求代数式的值 题型16 利用特殊角三角函数值进行化简求值 题型17 锐角的三角函数的增减性 题型18 已知角度比较三角函数值的大小 题型19 用计算器求锐角三角函数值 题型20 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 题型21 锐角三角函数计算的实际情景问题-仰角俯角 正切的概念辨析题型01 1．（2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（ ）． A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 3．在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 5．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？ 求角的正切值题型02 1．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，若，，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．在△中，，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级·质检）如图，在中，，，垂足为D，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 5．如图，锐角中，，的面积为27．求的值． 已知正切值求边长题型03 1．已知在中，，，，则等于（　　） A．6 B．16 C．12 D．4 2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．已知中，，，，则等于（　　） A．6 B． C．10 D．8 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）是直角三角形，，，则的长为_______． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是_____ 锐角三角函数计算的实际情景问题-坡度坡比题型04 1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，已知斜坡，且，则斜坡的坡比指的是（   ） A． B． C． D． 2．如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·期末）如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为___________． 4．（2026·海南·二模）有一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为． (1)求新坡面的坡角； (2)原天桥底部正前方7米处（的长）有一文化墙，若新坡面下处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为）． 5．（2026·安徽·模拟）如图，某市畅通二环一座人行天桥的引桥的截面图，其中桥面为，引桥的水平宽度，，，，，的坡比为，求引桥高的长度．（参考数据，，） 正弦的概念辨析题型05 1．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若为锐角，且，则的取值范围是______． 5．已知（为锐角），满足方程，则________． 求角的正弦值题型06 1．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26下·辽宁沈阳·月考）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为_______． 4．如图，在中，，平分，，，则__________． 5．如图，在中，，，．试求出的三个三角函数值． 已知正弦值求边长题型07 1．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 2．如图，中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（     ） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 3．中，，，，则____． 4．如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为______． 5．如图，在四边形中，，相交于E，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 余弦的概念辨析题型08 1．如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 求角的余弦值题型09 1．（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）在半径为1的圆上，则cosα＝（　　） A．x B．y C． D． 3．（24-25九年级上·福建漳州·质检）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个工匠同时握住绳子的第个结和第个结，两个助手分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，，将绕点C逆时针旋转角得到，连接、．当时，________． 已知余弦值求边长题型10 1．（25-26九年级·福建漳州·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．9 D． 2．如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ） A． B．4 C． D．8 3．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，在中，，于点D，，，那么_______． 5．在中，，分别是，，的对边． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 互余两角三角函数的关系题型11 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·山东淄博·学情自测）若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 3．若，且，则________． 4．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 5．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 求30°，45°，60°角的三角函数值题型12 1．与的结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．用特殊角的三角函数填空： ______=______；______=______；1=______；______． 特殊角三角函数值在几何中的简单应用题型13 1．在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的长为_____．    3．（2025·青海·模拟）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 4．如下图，在中，．已知的面积为．求： (1)的三角函数值． (2)的度数． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，．求边的长． 特殊角三角函数值的混合运算题型14 1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算： 3．（25-26上·上海·月考）计算：． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）计算： 根据三角函数值求代数式的值题型15 1．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 2．若，是关于x的方程的两个实数根，则（    ） A． B．3 C． D．3或 3．（25-26九年级上·上海·期末）已知 (为锐角)，则 ___________ 4．在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，求sinA﹣sinB的值． 利用特殊角三角函数值进行化简求值题型16 1．若，则_______． 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中x满足． 锐角的三角函数的增减性题型17 1．（2025·广东惠州·模拟）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 3．已知锐角A与锐角B的余弦值满足，则与的大小关系是：_____． 4．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 5．如图①、图②，锐角的正弦和余弦都随着锐角的度数的确定而确定，也随着其变化而变化． (1)试探索随着锐角度数的增大，正弦值和余弦值的变化规律，并说明理由． (2)利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，直接比较下列正弦值和余弦值的大小：． 已知角度比较三角函数值的大小题型18 1．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小：_____ 3．（25-26九年级上·江苏常州·月考）比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 4．将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． 5．（24-25九年级上·北京·期中）以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 用计算器求锐角三角函数值题型19 1．若用我们数学课本上的科学计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．用计算器求得 _____________（精确到 ）． 4．用科学计算器计算_____ 5．利用计算器求下列三角函数值（精确到0.0001）： (1)； (2)； (3)． 给出三角函数值，用计算器求锐角度数题型20 1．已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，用科学计算器求约等于 (    ) A． B． C． D． 3．如果，则____(精确到) 4．等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为__________．（用科学计算器计算，结果精确到） 5．已知下列锐角α的各三角函数值，利用计算器求锐角α（精确到）： (1)； (2)； (3)． 锐角三角函数计算的实际情景问题-仰角俯角题型21 1．（2025·河北邢台·三模）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 2．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级·期末）如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为____________________ 米． 4．为了弘扬“社会主义核心价值观”，区政府在广场上竖立了如图所示的公益广告牌，并在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D到达广告牌立柱的距离为5米，从点D测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别为和，求广告牌的高度． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（结果保留根号） 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $