精品解析：湖南常德市桃源县文昌中学2026-2027学年上学期九年级期中检测试卷

桃源县文昌中学2026年下学期期中检测试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，满分30分，每小题的选项中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在括号中） 1. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 2. 河堤横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是（ ） A. 10米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度的概念，即坡面的铅直高度与水平宽度的比，列出比例式求解即可． 【详解】解： 迎水坡的坡比是， ， 又， ， （米）．  3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. sinB＝ C. cosA＝ D. tanB＝2 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用未知数表示出各边长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝， 故sinA＝，故A选项错误； sinB＝，故B选项错误； cosA＝，故C选项错误； tanB＝＝2，故D选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了锐角三角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键． 4. 如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点O，且，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，由变形得到，则，然后解一元一次方程． 【详解】解：根据题意得，解得， ，， ， ， ， ． 故选：C． 6. 已知函数y=（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，则m的取值是（　　） A. m=2 B. m=﹣2 C. m=±2 D. m≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可. 【详解】解：由题意得：，且m-2≠0， 解得：m=-2， 故选B. 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，其一般形式为：（a≠0）. 7. 商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设降价元，则每件利润为元，销售量为，根据“每天将盈利1120元”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为， 由题意得：， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用位似求坐标．根据以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以， ∵点B的坐标是， ∴点的坐标为或． 故选 9. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接BD． ∵E、F分别是AB、AD的中点． ∴BD=2EF=4 ∵BC=5，CD=3 ∴△BCD是直角三角形． ∴tanC== 故选B． 10. 如图，在中，，点D，E分别在边上，且．若以C，D，E为顶点的三角形与相似，则的长度为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当时，可得，当时，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，，， ∴， 当时， ∴，即， ∴，， 当时，如图， ∴，即， ∴， ∴， 综上：的长为：或． 故选C 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，在中，，点在边上，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件利用勾股定理求出三角形各边的长，再根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 12. 某服装原价为元，连续两次涨价后，售价为元，则的值为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据服装原价及连续两次涨价后的售价，列一元二次方程，结合实际意义取正解即可得到的值． 【详解】解：根据题意列方程得 解得，（舍去） 即． 13. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】在中，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：由题意得海里，，，， ∴， ∴在中，（海里） 即P处与B处的距离约是海里． 14. 下面是某同学在“一元二次方程”单元检测中解答的部分填空题：①方程的解是；②把二次三项式配成的形式，则；③若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是；④若是一元二次方程的一个根，则的值为或．你认为该同学答对的题有 ___________．（只填序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】结合一元二次方程的求解、配方法、根的判别式、方程根的定义及一元二次方程的概念，逐一判断该同学的作答正误，筛选出答对的序号． 【详解】解： ① 求解方程， 移项得， 因式分解得， ∴ 方程的解为或， 该同学仅给出解，漏了，故①错误； ② 对二次三项式配方， ， 与该同学的结果一致，故②正确； ③ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 判别式， 即， 解得， 当时，满足，符合要求，故③正确； ④ 将代入方程， 得， 整理得，即， 因式分解得，解得或， ∵ 该方程为一元二次方程， ∴ 二次项系数，即， ∴ 的取值只能为， 该同学未舍去不符合一元二次方程定义的，故④错误． 该同学答对的题有②③． 15. 如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为___（用a的代数式表示）． 【答案】12a 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF． ∴S△DEF：S△CEB=（DE：CE）2，S△DEF：S△ABF=（DE：AB）2， ∵CD=2DE，∴DE：CE=1：3，DE：AB=1：2， ∵S△DEF=a，∴S△CBE=9a，S△ABF=4a， ∴S四边形BCDF=S△CEB﹣S△DEF=8a．∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a 16. 如图，在矩形中，，P是边上一动点（不含端点A，D），E是边上一点，连接．设，若存在一点P使，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，借助，构造二次函数，利用函数的最值，解答即可． 【详解】解：设， ∵矩形，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， 此时取得最小值，且最小值为， ∵P是边上一动点且不与端点A，D重合， ∴， 综上所述，a的取值范围为． 三、解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ， ，； 【小问2详解】 解：， 或， ， 19. 已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B． （1）求证：△ABE∽△DEA； （2）若AB=4，求AE•DE的值． 【答案】（1）如图， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠1=∠2. 又∵∠B=∠AED，∴△ABE∽△DEA． （2）16 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据菱形的对边平行，可得出∠1=∠2，结合∠AED=∠B即可证明两三角形都得相似．（2）根据（1）的结论可得出 ，进而代入可得出AE•DE的值． 试题解析：（1）略 （2）∵△ABE∽△DEA，∴.∴AE•DE=AB•DA． ∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=DA=4． ∴AE•DE=AB2=16． 考点：1.菱形的性质；2.相似三角形的判定和性质． 20. 已知关于的一元二次方程，． （1）若方程有实数根，试确定之间的大小关系； （2）若，和是原方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程的应用等知识，熟练掌握了一元二次方程的根的判别式的定义和应用、解一元二次方程的常用方法是解题关键． （1）根据该方程有实数根，可得，整理可得，再结合，即可获得答案； （2）根据题意，可设，，代入原方程并求解，结合确定的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，整理可得， 又∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴可设，， ∴可得， ∴ 解得 或， 又∵， ∴当时，可得，解得， 当时，可得，解得（不合题意，舍去）， ∴． 21. 如图，在中，，为上一点，，． （1）求的长；（2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求； （2）过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果． 【详解】解：（1）∵，可设，得， ∵， ∴， 解得，（舍去），或， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点作于点， ∵，可设，则， ∵， ∴， 解得，（舍），或， ∴， ∴． 【点睛】考核知识点：解直角三角形.理解三角函数的定义是关键. 22. 如图所示，一幢楼房背后有一台阶，台阶每层高米，宽米，且米．设太阳光线与地面的夹角为，当时，测得楼房在地面上的影长米．现有两只小猫分别睡在台阶的第一层和第二层上晒太阳．（取） （1）求楼房的高度约为多少米？ （2）当时，问两只小猫是否都能晒到太阳？请说明理由． 【答案】（1）米 （2） 当时，两只小猫都能晒到太阳．理由如下： 假设没有台阶，当时，从点射下的光线与地面的交点为点，与的交点为点， ， ， 此时的影长米， 米， ∴米， ∴大楼的影子落在台阶这个侧面上， ∴两只小猫都能晒到太阳． 【解析】 【分析】（1）在中，由，即可求出米； （2）如图所示，假设没有台阶，当时，从点射下的光线与地面的交点为点，与的交点为点，由，可得米，那么米，米，大楼的影子落在台阶这个侧面上，两只小猫都能晒到太阳． 【小问1详解】 解：当时，在中， ， （米）， 即楼房的高度约为米； 【小问2详解】 略 23. 为了倡导绿色出行，某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，方便学生停放自行车，车棚其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． （1）如图1，为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图2，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚的长为11米，宽为10米 （2）小路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设与墙垂直的一面为米，根据另外三边用总长为的木板墙．与墙平行的一边上开一个宽的门，得出另一面则为米，再结合面积为的矩形车棚，进行列式计算，即可作答． （2）先设小路的宽为米，再根据停车区的面积为，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米， 依题意，另一面则为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为11米，宽为10米． 【小问2详解】 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 24. 如图，矩形中，E为上一点，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点G，若，，求的值； （3）如图3，，，连接分别交、于点M、N，若，则的长是______． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3）11或 【解析】 【分析】（1）证明即可得结论； （2）由，四边形是矩形，可得，由（1）可知，，可得，则，可得，由，可得，设，则，，，再可得，设，则，，在中，，可得，则，即可得结论； （3）由，可得，过点作于点，过点作于点，设，则，由（1）可知，，可得，则，证明，可得，再证明，可得，再证明，可得，则，再有，可得，最后由，可得，最后证明，即可求得的值，则可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则，，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴，即， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴在中，， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 设，则， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得，， ∴， ∴，， ∴或3， ∴或， ∴的长为11或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桃源县文昌中学2026年下学期期中检测试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，满分30分，每小题的选项中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在括号中） 1. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 河堤横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是（ ） A. 10米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. sinB＝ C. cosA＝ D. tanB＝2 4. 如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点O，且，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6 6. 已知函数y=（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，则m的取值是（　　） A. m=2 B. m=﹣2 C. m=±2 D. m≠0 7. 商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点D，E分别在边上，且．若以C，D，E为顶点的三角形与相似，则的长度为（　　） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，在中，，点在边上，若，则的值为___________． 12. 某服装原价为元，连续两次涨价后，售价为元，则的值为___________． 13. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 14. 下面是某同学在“一元二次方程”单元检测中解答的部分填空题：①方程的解是；②把二次三项式配成的形式，则；③若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是；④若是一元二次方程的一个根，则的值为或．你认为该同学答对的题有 ___________．（只填序号） 15. 如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为___（用a的代数式表示）． 16. 如图，在矩形中，，P是边上一动点（不含端点A，D），E是边上一点，连接．设，若存在一点P使，则a的取值范围是___________． 三、解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B． （1）求证：△ABE∽△DEA； （2）若AB=4，求AE•DE的值． 20. 已知关于的一元二次方程，． （1）若方程有实数根，试确定之间的大小关系； （2）若，和是原方程的两个实数根，且，求的值． 21. 如图，在中，，为上一点，，． （1）求的长；（2）求的值． 22. 如图所示，一幢楼房背后有一台阶，台阶每层高米，宽米，且米．设太阳光线与地面的夹角为，当时，测得楼房在地面上的影长米．现有两只小猫分别睡在台阶的第一层和第二层上晒太阳．（取） （1）求楼房的高度约为多少米？ （2）当时，问两只小猫是否都能晒到太阳？请说明理由． 23. 为了倡导绿色出行，某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，方便学生停放自行车，车棚其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． （1）如图1，为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图2，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 24. 如图，矩形中，E为上一点，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点G，若，，求的值； （3）如图3，，，连接分别交、于点M、N，若，则的长是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $