精品解析：湖南省常德桃源县三阳中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

2025年下学九年级数学试卷 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能表示是的反比例函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 若，则的值为（） A. 1 B. C. D. 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则等于（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 6. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或 9. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，用直尺和圆规在上确定点，具体操作过程是：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分 11. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第_______象限． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为______． 13. 如图，在中，，，，则____． 14. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为______．（结果保留根号） 15. 如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为____． 16. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为____． 17. 如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为_____ 18. 对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： 20. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长． 21. 已知反比例函数(为常数，)； （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，求的取值范围． 22. 某商场“宝乐”牌童装的进价为120元/件，若每件这种童装以200元出售，则每天可售出20件．为了庆祝该品牌童装上市二周年，商场决定采取适当的降价措施、经调查，如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出1件． （1）若这种童装以180元/件出售：那么每天销售这种童装可盈利多少元？ （2）销售这种童装每天可盈利1750元吗？如果可以，请求出每件童装的销售价格；如果不能，请说明理由． 23. 如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． （1）求证：； （2）请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 24. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 25. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求n的取值范围； （2）设方程的两个实数根为， ①填空： ______，______；（用含n的式子表示） ②是否存在实数n满足式子成立？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 26. 九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 （1）【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； （2）【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； （3）【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学九年级数学试卷 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能表示是的反比例函数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义分析即可得出答案． 【详解】解：① ，是二次函数不是反比例函数；故①不符合题意； ② ，是反比例函数，故②符合题意； ③，不是反比例函数，故③不符合题意； ④，是反比例函数 ，故④ 符合题意； ⑤ ，是正比例函数不是反比例函数，故⑤不符合题意； 综上所述，能表示y是x的反比例函数的有个． 故选：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，正确理解相关定义是解题的关键． 2. 若，则的值为（） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是将拆分为． 将目标表达式拆分为，然后代入已知条件计算． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象所在象限，结合图形判定函数值的大小的方法是关键． 根据反比例函数解析式得到函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，如图所示， ∴， 故选：D ． 4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，根据已知图形得出位似比，进而得出对应点坐标． 【详解】解：如图所示：可得两图形的位似比为2， ∵小鱼上的点， ∴对应大鱼上的点为：． 故选：D． 5. 如图，，，则等于（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，由题意得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵ ∴， 故选：A 6. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断一元二次方程根的情况，先根据一元二次方程得到判别式，根据判别式的取值得到根的情况，根据判别式的大小得到根的情况是解题的关键． 【详解】∵方程的判别式， 又∵， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．设反比例函数解析式为，将，代入求出反比例函数解析式为，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入得：， 反比例函数解析式为， 当时，得： 解得：， 小孔到蜡烛的距离为， 故选：C． 8. 如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程．先解一元二次方程，然后分两种情况，利用勾股定理解答即可． 【详解】∵方程， ∴， 解得，． ∵两根是直角三角形的两条边长， ∴可能情况如下： ① 当5为斜边时，另一直角边为， ∴ 周长为； ②当4和5均为直角边时，斜边为， ∴周长为． 综上，周长为12或． 故选：D． 9. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 10. 如图，在中，，用直尺和圆规在上确定点，具体操作过程是：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 根据直尺和圆规在上确定点的步骤可知，再根据角度的关系可判定与相似，与相似，由此可判断选项． 【详解】解：由题意可知，， 即， ∵， ∴，， ∴，故选项D错误； 在与中， ， ∴， ∴，即，故选项A正确； ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即，故B选项错误； 在中，， ∵，故C选项错误． 故选：A ． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分 11. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第_______象限． 【答案】二、四 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限是解答本题的关键．直接将点代入求出k的值,然后根据k的正负即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限． 故答案为：二、四． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根据代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有一个根为1， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得，再证明，利用相似三角形的性质求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，把代入计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，矩形和菱形的性质，根据反比例函数k值的几何意义求得，再逐步推理解答即可． 【详解】解：如图，连接， 轴，轴， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 点P在反比例函数图象上， ， 四边形是菱形， ， 故答案为：6． 16. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 根据题意，主干、支干和小分支的总数构成一元二次方程，求解后取正值． 【详解】由题意，主干有1个，支干有个，小分支有个，故总数为． 整理得． 因式分解得， 解得（舍去）或． 故答案为：5． 17. 如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为_____ 【答案】秒或4秒 【解析】 【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可 【详解】解：（1）当△APQ∽△ABC时， 设用时t秒，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． ，则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t． 于是=， 解得，t= （2）当△APQ∽△ACB时，， 设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t． 于是， 解得t=4． 故答案为：秒或4秒． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键． 18. 对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设与双曲线的交点是和等积点，利用定义得到，代入一次函数得到，进而得到，求出或，由两个函数图象的相交得到，代入即可求出k的值． 【详解】解：设与双曲线的交点是和等积点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， ∵，则， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，正确理解题意得到是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 20. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出． 【详解】解：由题意知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解． 21. 已知反比例函数(为常数，)； （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，把代入到反比例函数中，进而求解； （2）根据这个函数图象的每一分支上，随的增大而增大，可知，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 ∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得． 故答案是． 【小问2详解】 在函数图象的每一分支上，随的增大而增大， ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，会灵活运用反比例函数图象的性质是解本题的关键． 22. 某商场“宝乐”牌童装的进价为120元/件，若每件这种童装以200元出售，则每天可售出20件．为了庆祝该品牌童装上市二周年，商场决定采取适当的降价措施、经调查，如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出1件． （1）若这种童装以180元/件出售：那么每天销售这种童装可盈利多少元？ （2）销售这种童装每天可盈利1750元吗？如果可以，请求出每件童装的销售价格；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）1800元 （2）可以，每件销售价格为190元或170元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用． （1）利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装的利润，列式即可； （2）设降价元，根据每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装的利润，列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：每天销售这种童装可盈利元； 【小问2详解】 解：设每件这种童装降元出售，每天销售这种童装可盈利1750元， 则有， 解得：，， 或 答：每件这种童装销售价格为元或元时，每天销售这种童装可盈利1750元． 23. 如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． （1）求证：； （2）请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，． ∴； （2） 添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据，结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 【小问1详解】 解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得， 则点坐标为， 所以； 故答案为：； 【小问3详解】 解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 故答案为：或． 25. 若关于x的一元二次方程有实数根． （1）求n的取值范围； （2）设方程的两个实数根为， ①填空： ______，______；（用含n的式子表示） ②是否存在实数n满足式子成立？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2）① ，；②不存在 【解析】 【分析】（）利用一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （）①根据根和系数的关系求解即可； ②根据（）所求的取值范围及一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次根的判别式及根和系数的关系，掌握一元二次根的判别式及根和系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且； 【小问2详解】 解：①由根和系数的关系可得，，； 故答案为：； ②不存在，理由如下： 由（）可知，当且时，方程为一元二次方程且有实数根， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∵不在的取值范围内， ∴不存在的值使得方程有两个根、且满足． 26. 九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 （1）【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； （2）【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； （3）【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 又∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明； （2）通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即），求出的值； （3）作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作， 则，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $