精品解析：天津市北辰区华辰学校2026-2027学年高二年级上学期第一次学习成果阶段性检测数学试题

北辰区华辰高中2026-2027（一）高二年级 第一次数学学习成果阶段性检测 一､单选题（每小题5分，共45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线一般式化为斜截式，利用斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线，可化为， 所以直线的斜率为（其中为直线的倾斜角）， 又，所以. 故选：C. 2. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解. 【详解】如图，连接， 因为点，分别是，的中点， 所以. 因为点是的中点， 所以 . 因为点是的中点， 所以， 则. 故选：D. 4. 在以下命题中，不正确的个数为(　　) ①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式||﹣||≤||等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断④；代入向量数量积公式验证即可判断⑤． 【详解】对①，∵向量、同向时，，∴不满足必要性，∴①错误； 对②，当为零向量，不是零向量时，不存在λ使等式成立，∴②错误； 对③，若P，A，B，C四点共面，则存在唯一使得. 则，即. 又＝2－2－，所以，方程无解，故③错误； 对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底； 设⇒x（x﹣1）⇒x（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确； 对⑤，∵|（）|＝||×||×|cos，|×||≤||||||，∴⑤错误． 故选C． 【点睛】本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于中档题. 5. 已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，再结合图形求出斜率的取值范围即可. 【详解】解：因为P，， 所以，   因为直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或 故直线的斜率的范围为. 故选：D. 6. 如图，在正方体中，，分别是棱的中点，下列说法错误的是（　　） A. 平面 B. 与所成角为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A选项；连接，由，知或其补角即为所求线线角，再根据是等边三角形，即可判断B选项；建立空间直角坐标系分别求出与，即可判断C选项；利用等体积法求点到面的距离即可判断D选项. 【详解】 对于A，由正方体知，， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，则，所以或其补角即为与所成角， 由正方体知，，所以为正三角形， 所以，所以与所成角为，故B正确； 对于C，由正方体知，两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，所以，， 所以，所以，即与不垂直，故C错误； 对于D，的面积为， 所以三棱锥的体积为； 的面积为，设点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为； 因为，所以，解得， 即点到平面的距离为，故D正确. 故选：C. 7. 已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令直线的参数的系数等于零，求得定点的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得的最小值. 【详解】直线，即，过定点， 点在直线上，， ， 故当时，取得最小值为，故选B. 【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题. 8. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. 13 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】求出点所在圆关于直线对称的圆，将距离等价转化为点到对称圆上的对应点的距离，根据三角形中任意两边之差小于第三边的关系即可解决本题. 【详解】 设直线：，圆，圆， 易知点关于直线的对称点为，以为圆心，以1为半径的圆即为圆关于直线的对称圆.设点关于直线的对称点为，则有， ∴， 如图，连接， 在中，有，当且仅当三点共线时取得等号， 故求解的最大值问题转换为求最大值问题， 故当直线过圆心和圆心且距离最远且点恰好为直线与直线的交点时可取得最大值. 由题意知点和点坐标分别为：，，两圆半径分别为1和2， 故最大值为：. 故选：B. 9. 若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况,再用数形结合,先求出相切时的斜率,再得到有两个交点的情况. 【详解】将方程转化为:半圆,与直线有两个不同交点. 当直线与半圆相切时,有，， 半圆与直线有两个不同交点时. 直线,一定过, 由图象知直线过时直线的斜率k取最大值为， . 故选：D. 【点睛】本题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况,关键是能够转化为一些特定的曲线才能用数形结合求解. 二､填空题（每小题5分，共30分.双空题对一空得3分） 10. 已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，所以. 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为， 其中为方向上的单位向量， 令，.则； ； 所以投影向量的坐标为. 11. 如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 12. 直线与直线平行，实数_________，两直线间距离为_________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求解参数 ，再代入平行直线距离公式计算两直线间距，注意排除两直线重合的情况. 【详解】因为直线与直线平行， 则 ，即 ，解得 或 （舍去）， 根据两直线间的距离公式为 ，得：. 13. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_________. 【答案】或（即或） 【解析】 【详解】当两截距均为0时，函数图象过原点， 设直线方程为，又直线过点，代入得， 直线方程为，整理得； 当两截距不为0时， 设直线方程为，又直线过点，代入得，解得， 直线方程为，整理得或； 综上所述，直线方程或（即或）. 14. 已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质及弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 直线，由，解得， 则直线过定点，显然点在圆内，当时，直线被圆所截弦长最短， 而，所以最短弦长为. 故答案为： 15. 已知点满足关系式：，求：（1）的最小值_______；（2）的最大值_______ 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程配方得到圆心坐标与半径，将转化为过原点的直线斜率，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离与半径的关系求解斜率的最小值； （2）将转化为圆上点到原点距离的平方，结合圆上点到定点的距离最值计算其最大值. 【详解】（1）可化为，即P点的轨迹为以为圆心，半径的圆； 设，即原点和圆上点连线的斜率，直线，整理得， 直线与圆相切时，斜率取得最值，即圆心到直线的距离， ，解得，故； （2）由题意得，，为圆上点到原点的距离， 原点到圆心的距离：， 圆上点到原点距离的最大值为：， 故. 三､解答题（每题15分，共75分） 16. 已知 （1）设向量，求； （2）若，求的值. （3）若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出，从而求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. （3）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【小问1详解】 由，得； 所以，而， 因此，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 得 ，所以. 【小问3详解】 ，则， 因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． ,解得 ， 若向量与同向共线，则存在，使得， 即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 17. 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线所在直线的一般方程； （3）求点关于直线：对称的点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）判断是以B为直角的等腰直角三角形，角平分线过B和AC中点，点斜式化简得方程； （3）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【小问1详解】 由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； 【小问2详解】 直线AB的斜率，得，则， 又，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形，故角的平分线为边上的中线， 因中点为，又因，则角平分线的斜率， 由点斜式得方程， 即角平分线所在直线的一般方程为； 【小问3详解】 设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 18. 如图，平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，即，， 又，平面，所以平面. AI （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，，设平面的法向量为， 则，取，又平面的法向量可以为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 点到平面的距离. 19. 求下列圆的方程： （1）在平面直角坐标系中，求经过三点、、的圆的方程； （2）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，将点的坐标代入即可求解； （2）由题意设圆心坐标为，根据题意可知且，根据弦长列方程即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为（其中）， 由题意得，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题意设圆心坐标为， 因为圆与轴的正半轴相切，则且圆的半径， 又圆截轴所得弦的长为， 则，解得， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 20. 四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，是线段上的动点，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角为， ①求线段的长； ②求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）①2② 【解析】 【分析】（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴 ，建立空间直角坐标系，利用数量积证出，，再利用线面垂直的判定定理即可证出. （2）①求出平面的一个法向量，利用，即可求线段的长；②求出平面的一个法向量，再根据为平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）依题意，以点为原点，为轴，为轴，为轴 ， 建立空间直角坐标系（如图）， 可得，，，， ，，. ，，， ，，. 即，，，. 所以平面. （2）①设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量， 于是有，. 所以，得或（舍）. ，，线段的长为；. ②设为平面的法向量，， 则即， 不妨令，可得为平面的一个法向量，. 又为平面的一个法向量，. 所以. 【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、线面垂直的判定定理、根据线面角求长度，考查了运算求解能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北辰区华辰高中2026-2027（一）高二年级 第一次数学学习成果阶段性检测 一､单选题（每小题5分，共45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ） A. B. C. D. 4. 在以下命题中，不正确的个数为(　　) ①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，，分别是棱的中点，下列说法错误的是（　　） A. 平面 B. 与所成角为 C. D. 点到平面的距离为 7. 已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. 13 B. 16 C. 17 D. 18 9. 若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每小题5分，共30分.双空题对一空得3分） 10. 已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 11. 如图，平行六面体中，，，则__________． 12. 直线与直线平行，实数_________，两直线间距离为_________. 13. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_________. 14. 已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为_________ 15. 已知点满足关系式：，求：（1）的最小值_______；（2）的最大值_______ 三､解答题（每题15分，共75分） 16. 已知 （1）设向量，求； （2）若，求的值. （3）若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围. 17. 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，. （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求中角平分线所在直线的一般方程； （3）求点关于直线：对称的点的坐标. 18. 如图，平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 求下列圆的方程： （1）在平面直角坐标系中，求经过三点、、的圆的方程； （2）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，求圆的标准方程. 20. 四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，是线段上的动点，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角为， ①求线段的长； ②求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $