精品解析：天津市小站第一中学2026-2027学年高二上学期10月随堂检测数学试题

小站一中2026—2027学年度第一学期高二10月随堂检测—数学试卷 一．单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 已知直线经过点和，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用斜率公式，即可求解. 【详解】因为点和，由斜率公式，可得， 所以过点的直线的斜率为. 2. 已知向量，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 3. 如图，在空间四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 4. 向量在向量上的投影长为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 6. 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 7. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 8. 已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出平面的法向量，结合向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】设， 则，即，令，则，所以. 因为，所以，即，整理得， 解得. 9. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 10. 已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 二．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11. 在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量________. 【答案】 【解析】 【分析】由中点公式求得的坐标，再由向量的点坐标表示写出. 【详解】由题意，而，则. 故答案为： 12. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为________． 【答案】 【解析】 【详解】设直线与平面所成的角为， 则，所以， 即直线与平面所成的角为. 13. 如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直， 因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意，可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以， 所以的坐标为， 从而． 14. 已知向量，,则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 15. 在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值可得. 【详解】由于直三棱柱中，且侧棱底面， 故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系. 设，可得，，，，. 因为为的中点，因此的坐标为. 则直线的方向向量，直线的方向向量. 设异面直线与所成角为，， ， ，； 所以. 因此直线与所成角的余弦值为. 三．解答题（本大题共5小题，每题12分，共60分） 16. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 ， ， ， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 ， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 17. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【小问1详解】 由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． 【小问2详解】 由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 18. 在直四棱柱中，底面四边形满足，，且，，侧棱． （1）设是的中点，求证：直线平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）因为该四棱柱为直四棱柱，则平面，， 以为原点，分别为的正半轴，建立空间直角坐标系， 且，，侧棱， 则， ， 所以， 所以，即且， 故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量的坐标运算可得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）由二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 设二面角的平面角为，显然二面角为锐二面角， 则， 所以二面角的余弦值为. 19. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点，则： ， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量数量积计算得出线线垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）求出平面相关向量及平面法向量，进而利用线面角公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设平面的法向量为， 则，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式得：． 20. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． （1）求点N到直线的距离； （2）点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】（1） （2）结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【解析】 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【小问1详解】 由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小站一中2026—2027学年度第一学期高二10月随堂检测—数学试卷 一．单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 已知直线经过点和，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 如图，在空间四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 向量在向量上的投影长为（   ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 6. 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 二．填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 11. 在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量________. 12. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为________． 13. 如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 14. 已知向量，,则___________． 15. 在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 三．解答题（本大题共5小题，每题12分，共60分） 16. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 17. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在直线的斜率； （2）求边上的高所在直线的斜率． 18. 在直四棱柱中，底面四边形满足，，且，，侧棱． （1）设是的中点，求证：直线平面； （2）求二面角的余弦值． 19. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． （1）求点N到直线的距离； （2）点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $