精品解析：天津市第四十七中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段性检测数学试题

天津市第四十七中学2025-2026第一学期高二年级 第一次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共9个小题，每题5分，共45分） 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 5. 三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ） A. B. C. D. 6. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题．每题5分共30分） 10. 向量在向量上的投影向量为___________． 11. 两条平行直线与间的距离是__________． 12. 已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则______ 13. 如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________． 14. 若直线与曲线()有一个交点，则实数k的取值范围是_______. 15. 在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为___________；的最小值为___________． 第Ⅲ卷 三、解答题（本大题共5小题．共75分） 16. 在△ABC中，内角的对边分别是，，，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正切值． 18. （1）直线过点，斜率等于直线在轴上的截距的，求直线的点斜式方程； （2）已知和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线的距离为2，求P点坐标； （3）已知点，圆求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 19. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点． （1）求证：； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求实数的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4). （1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2025-2026第一学期高二年级 第一次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共9个小题，每题5分，共45分） 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】A.，故A错误； B.，所以向量与不平行，故B错误； C.，所以，故C正确； D.，故D错误. 故选：C 2. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项. 【详解】 故选：D 4. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是钝角 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；利用共面定理的推论可判断B；假设共面，利用共面定理可否定假设，从而可判断C；考虑共线反向可判断D. 【详解】对A，向量中，若存在，显然满足题意，所以都是非零向量， 不妨设向量共线，则存在实数，使得，故， 由共面向量定理可知，向量共面，正确； 对B，因为，所以，由共面定理的推论可知，P，A，B，C四点共面，正确； 对C，设，则， 因为是空间向量的一个基底，所以， 显然上述方程组无实数解，所以向量不共面，可以作为空间向量的基底，正确； 对D，当时，向量有可能反向，此时若，不是钝角，错误. 故选：D 5. 三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，借助斜率判断形状，再求出圆方程作答. 【详解】依题意，直线AC斜率，直线BC斜率，有，即， 因此外接圆是以线段为直径的圆，AB的中点为，半径， 所以外接圆方程是，即. 故选：A 6. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案. 【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点P到直线EF的距离为． 故选：A 7. 若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 8. 已知直线与圆相交于两点,点分别在圆上运动,且位于直线两侧,则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理结合圆的性质求出的长，由圆的性质可知当为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，从而可求出面积的最大值. 【详解】解：把圆化为标准方程，圆心，半径， 直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距， 由勾股定理的半弦长为，弦长为， 又两点在圆上，并且位于直线的两侧，四边形的面积可以看出是两个三角形和的面积之和， 如图所示，当为如图所示的位置，即为弦的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形的面积最大， 最大面积为， 故选：A． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及圆的内接四边形面积最大问题，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 9. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果. 【详解】 如上图示，连接则，点在平面中，且，，， 在△中，以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则，，， 设点关于直线的对称点为，而直线为①， 所以，故直线为 ②， 联立①②，解得，故直线与的交点， 所以对称点，则，最小值为到直线的距离为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将立体几何问题转化为平面问题，结合将军饮马模型，求点到直线上动点距离最小. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题．每题5分共30分） 10. 向量在向量上的投影向量为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的坐标公式进行求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 11. 两条平行直线与间的距离是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系求得a的值，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，故． 可得符合题意， 由平行线距离公式可得所求为． 故答案为：1 12. 已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求法和弦长公式求解. 【详解】圆的方程为，即①， 又圆：②， ②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为 圆的圆心到直线的距离， 所以． 故答案为: . 13. 如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，再利用已知条件结合直三棱柱的性质得出相关点坐标，进而得出的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】三棱柱是直三棱柱，，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， ，分别是的中点，令，则 ， ， ． 与所成角的余弦值为． 故答案为：． 14. 若直线与曲线()有一个交点，则实数k的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合思想来判断交点情况，就可以得到斜率的取值范围. 【详解】由曲线平方得：， 可得上述方程曲线表示半圆， 再由直线变形得：，从而可知：直线过定点， 如图 当直线与圆相切时有一个交点，此时由圆心到直线的距离等于半径可得： ，解得：或（由图可知，舍去）， 当直线过点时，可得，解得， 当直线过点时，可得，解得， 由直线可知，表示直线的斜率，结合图形要有一个交点， 则斜率满足或， 故答案为：. 15. 在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为___________；的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件有，设，利用向量相等，即可求解；利用数量积的运算，得，令，从而得，即可求解. 【详解】如图以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为为的中点，所以， 设，则， 又， 设，则， 整理得到，又是圆上的动点，所以， 再代入，可得，所以. 因为，又是以为圆心，为半径的圆上的两个动点， 则，所以， 令，则， 所以，所以， 故答案为：；. 第Ⅲ卷 三、解答题（本大题共5小题．共75分） 16. 在△ABC中，内角的对边分别是，，，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理列方程求得. （2）利用正弦定理求得. （3）结合二倍角公式、两角和的正弦公式求得. 【小问1详解】 由余弦定理得，， 解得. 【小问2详解】 由正弦定理得 【小问3详解】 由余弦定理得， ， ， 所以 . 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量法证明即可； （2）求出，利用点到平面的向量公式求解可得； （3）利用向量夹角公式求出面面角的余弦，结合同角三角函数的基本关系计算可得. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量为，， ，令，则，故， ， ，又面，则平面． 【小问2详解】 由上知，， 所以点到平面的距离， 点到平面的距离为． 【小问3详解】 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以， 所以平面与平面夹角的正切值为. 18. （1）直线过点，斜率等于直线在轴上的截距的，求直线的点斜式方程； （2）已知和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线的距离为2，求P点坐标； （3）已知点，圆求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 【答案】（1）； （2）或； （3）切线方程为或，切线长为1 ． 【解析】 【分析】（1）设所求直线的斜率为，结合已知求得斜率，利用点斜式求得直线方程. （2）根据已知条件，先求出直线的垂直平分线，再结合点到直线的距离公式，即可联立求解出答案. （3）分过点的直线斜率不存在与存在两种情况讨论求得切线方程，利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）设所求直线的斜率为，依题意． 又直线经过点，因此所求直线点斜式方程为． （2）设点的坐标为． ， 线段的中点的坐标为． 而， 线段的垂直平分线方程为，即． 点在直线上， ① 又点到直线的距离为2， ，即，② 由①②联立可得或， 所求点的坐标为或． （3）， 点在圆外部． 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，即． 又点到直线的距离， 即此时满足题意，所以直线是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得． 切线方程为，即． 综上可得，过点的圆的切线方程为或． 过点的圆的切线长为． 19. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点． （1）求证：； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1） 由为等边三角形，为的中点，可知， 又因为平面平面，平面平面，平面 所以平面，又平面，则． （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，再由线面垂直的性质，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解； （3）利用（2）中结果，利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为， 则，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 又，，则， 所以， 设平面的法向量 因为， 由，得到，令， 所以， 易知平面的一个法向量为，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因为，设直线与平面所成角为， ， 整理得到，即， 解得，满足题意，所以. 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4). （1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围. 【答案】(1)；(2)2x−y+5=0或2x−y−15=0.(3). 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围. 试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，. （1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切， 所以，于是圆N的半径为，从而，解得. 因此，圆N的标准方程为. （2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为. 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0， 则圆心M到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=-15. 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. （3）设 因为，所以……① 因为点Q在圆M上，所以…….② 将①代入②，得. 于是点既在圆M上，又在圆上， 从而圆与圆有公共点， 所以解得. 因此，实数t的取值范围是. 【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $